20xx-20xx學年江蘇省徐州市高二(下)期末數(shù)學試卷(理科)(解析版)-(1)-資料下載頁
2025-04-04 02:43本頁面
【正文】 18．盒中共有9個球，其中紅球、黃球、籃球各3個，這些球除顏色完全相同，從中一次隨機抽取n個球（1≤n≤9）．（1）當n=3時，記“抽取的三個小球恰有兩個小球顏色相同”為事件A，求P（A）；（2）當n=4時，用隨機變量X表示抽到的紅球的個數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學期望E（X）．【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）由已知利用等可能事件概率計算公式能求出抽取的三個小球恰有兩個小球顏色相同的概率．（2）隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出X的概率分布和數(shù)學期望E（X）．【解答】解：（1）．…（2）隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3．，，．…∴隨機變量X的概率分布為：X0123P因此隨機變量X的數(shù)學期望．… 19．已知集合A={1，2}，B={1，2，…，4n}（n∈N*），設C={（x，y）|x整除y或y整除x，x∈A，y∈B}，令f（n）表示集合C所含元素的個數(shù)．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）由（1）猜想f（n）的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想．【考點】數(shù)學歸納法；函數(shù)的值．【分析】（1）列舉出所有符合條件的元素，（2）驗證n=1時猜想是否成立，假設n=k時猜想成立，則n=k+1時，C中多出的元素是可數(shù)的，即可驗證n=k+1時，猜想是否成立．【解答】解：（1）當n=1時，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，4），（2，1）}，∴f（1）=7；當n=2時，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，1）}，∴f（2）=13；當n=3時，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（1，10），（1，11），（1，12），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（2，1）}，∴f（3）=19．（2）猜想：f（n）=6n+1．①當n=1時，由（1）知f（1）=7=61+1，結論成立；②假設當n=k（k≥1，k∈N*）時，結論成立，即f（k）=6k+1，那么當n=k+1時，C中新增加的元素為（1，4k+1），（1，4k+2），（1，4k+3），（1，4k+4），（2，4k+2），（2，4k+4），所以f（k+1）=f（k）+4+2=6k+1+6=6（k+1）+1，所以當n=k+1時，結論也成立．根據(jù)①和②可知，f（n）=6n+1當n∈N*時都成立． 20．設（1+mx）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，x∈N*．（1）當m=2時，若a2=180，求n的值；（2）當m=，n=8時，求（a0+a2+a4+a6+a8）2﹣（a1+a3+a5+a7）2的值；（3）當m=﹣1，n=2016時，求S=的值．【考點】二項式系數(shù)的性質．【分析】（1）利用x2的系數(shù)為180得到關于n的方程解之；（2）利用賦值法，將x分別賦值為1和﹣1，得到各項系數(shù)關系，對所求分解因式求值；（3）將m，n代入，求出ak，分析S表達式，得到即，k=0，1，2，…，2016． 從而累加求和．【解答】解：（1）當m=2時，即，解得n=10或n=﹣9（舍），所以n的值為10． …（2）當，n=8時，令x=1，則，令x=﹣1，則，所以．…（3）當m=﹣1，n=2016時，則，k=0，1，2，…，2016，所以． …考慮==，即，k=0，1，2，…，2016． …所以=．故的值為． … 2016年8月27日第15頁（共15頁）
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