【正文】 黃金律表現(xiàn)了事物的相對靜止?fàn)顟B(tài)，而“自然律”則表現(xiàn)了事物運(yùn)動(dòng)發(fā)展的普遍狀態(tài)。因此，從某種意義上說，黃金律是凝固的“自然律”，“自然律”是運(yùn)動(dòng)著的黃金律。 “自然律”之美 “自然律”是e 及由e經(jīng)過一定變換和復(fù)合的形式。e是“自然律”的精髓，在數(shù)學(xué)上它是函數(shù)： 1（1+——） X的X次方，當(dāng)X趨近無窮時(shí)的極限。 人們在研究一些實(shí)際問題，如物體的冷卻、細(xì)胞的繁殖、放射性元素的衰變時(shí)，都要研究 1（1+——） X的X次方，當(dāng)X趨近無窮時(shí)的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個(gè)相反方向發(fā)展（當(dāng)X趨向正無窮大的時(shí)，上式的極限等于e=……，當(dāng)X趨向負(fù)無窮大時(shí)候，上式的結(jié)果也等于e=……）得來的共同形式，充分體現(xiàn)了宇宙的形成、發(fā)展及衰亡的最本質(zhì)的東西。 現(xiàn)代宇宙學(xué)表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前還在膨脹，這種描述與十九世紀(jì)后半葉的兩個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)之一的熵定律，即熱力學(xué)第二定律相吻合。熵定律指出，物質(zhì)的演化總是朝著消滅信息、瓦解秩序的方向，逐漸由復(fù)雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極限就是無序的平衡，即熵最大的狀態(tài)，一種無為的死寂狀態(tài)。這過程看起來像什么？只要我們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。如果我們一定要找到亞里士多德所說的那種動(dòng)力因，那么，可以把宇宙看成是由各個(gè)預(yù)先上緊的發(fā)條組織，或者干脆把整個(gè)宇宙看成是一個(gè)巨大的發(fā)條，歷史不過是這種發(fā)條不斷爭取自由而放出能量的過程。 生命體的進(jìn)化卻與之有相反的特點(diǎn)，它與熱力學(xué)第二定律描述的熵趨于極大不同，它使生命物質(zhì)能避免趨向與環(huán)境衰退。任何生命都是耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，它之所以能免于趨近最大的熵的死亡狀態(tài)，就是因?yàn)樯w能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環(huán)境中不斷吸取負(fù)熵。新陳代謝中本質(zhì)的東西，乃是使有機(jī)體成功的消除了當(dāng)它自身活著的時(shí)候不得不產(chǎn)生的全部熵。 “自然律”一方面體現(xiàn)了自然系統(tǒng)朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另一方面又顯示了生命系統(tǒng)只有通過一種有序化過程才能維持自身穩(wěn)定和促進(jìn)自身的發(fā)展（如細(xì)胞繁殖）的本質(zhì)。正是具有這種把有序和無序、生機(jī)與死寂寓于同一形式的特點(diǎn)，“自然律”才在美學(xué)上有重要價(jià)值。 如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是“自然律”無序死寂的熵增狀態(tài)，那么廣闊無垠、生機(jī)盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向榮的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。因此，大漠使人感到肅穆、蒼茫，令人沉思，讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷；而草原則使人興奮、雀躍，讓人感到生命的歡樂和幸福。 e=……是“自然律”的一種量的表達(dá)?！白匀宦伞钡男蜗蟊磉_(dá)是螺線。螺線的數(shù)學(xué)表達(dá)式通常有下面五種：（1）對數(shù)螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）回旋螺線。對數(shù)螺線在自然界中最為普遍存在，其它螺線也與對數(shù)螺線有一定的關(guān)系，不過目前我們?nèi)晕凑业铰菥€的通式。對數(shù)螺線是1638年經(jīng)笛卡爾引進(jìn)的，后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各伯努利曾詳細(xì)研究過它，發(fā)現(xiàn)對數(shù)螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數(shù)螺線，極點(diǎn)在對數(shù)螺線各點(diǎn)的切線仍是對數(shù)螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質(zhì)驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數(shù)螺線畫在自己的墓碑上。 英國著名畫家和藝術(shù)理論家荷迦茲深深感到：旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。事實(shí)上，我們也很容易在古今的藝術(shù)大師的作品中找到螺線。為什么我們的感覺、我們的“精神的”眼睛經(jīng)常能夠本能地和直觀地從這樣一種螺線的形式中得到滿足呢？這難道不意味著我們的精神，我們的“內(nèi)在”世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構(gòu)對應(yīng)關(guān)系嗎？ 我們知道，作為生命現(xiàn)象的基礎(chǔ)物質(zhì)蛋白質(zhì)，在生命物體內(nèi)參與著生命過程的整個(gè)工作，它的功能所以這樣復(fù)雜高效和奧秘?zé)o窮，是同其結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的?；瘜W(xué)家們發(fā)現(xiàn)蛋白質(zhì)的多鈦鏈主要是螺旋狀的，決定遺傳的物質(zhì)——核酸結(jié)構(gòu)也是螺螺狀的。 古希臘人有一種稱為風(fēng)鳴琴的樂器，當(dāng)它的琴弦在風(fēng)中振動(dòng)時(shí)，能產(chǎn)生優(yōu)美悅耳的音調(diào)。這種音調(diào)就是所謂的“渦流尾跡效應(yīng)”。讓人深思的是，人類經(jīng)過漫長歲月進(jìn)化而成的聽覺器官的內(nèi)耳結(jié)構(gòu)也具渦旋狀。這是為便于欣賞古希臘人的風(fēng)鳴琴嗎？還有我們的指紋、發(fā)旋等等，這種審美主體的生理結(jié)構(gòu)與外在世界的同構(gòu)對應(yīng)，也就是“內(nèi)在”與“外在”和諧的自然基礎(chǔ)。 有人說數(shù)學(xué)美是“一”的光輝，它具有盡可能多的變換群作用下的不變性，也即是擁有自然普通規(guī)律的表現(xiàn)，是“多”與“一”的統(tǒng)一，那么“自然律”也同樣閃爍著“一”的光輝。誰能說清e(cuò)=……給數(shù)學(xué)家?guī)矶嗌俜奖愫统晒Γ咳藗冑潛P(yáng)直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優(yōu)美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有人說美是主體和客體的同一，是內(nèi)在精神世界同外在物質(zhì)世界的統(tǒng)一，那么“自然律”也同樣有這種統(tǒng)一。人類的認(rèn)識是按否定之否定規(guī)律發(fā)展的，社會(huì)、自然的歷史也遵循著這種辯證發(fā)展規(guī)律，是什么給予這種形式以生動(dòng)形象的表達(dá)呢？螺線！ 有人說美在于事物的節(jié)奏，“自然律”也具有這種節(jié)奏；有人說美是動(dòng)態(tài)的平衡、變化中的永恒，那么“自然律”也同樣是動(dòng)態(tài)的平衡、變化中的永恒；有人說美在于事物的力動(dòng)結(jié)構(gòu)，那么“自然律”也同樣具有這種結(jié)構(gòu)——如表的游絲、機(jī)械中的彈簧等等。 “自然律”是形式因與動(dòng)力因的統(tǒng)一，是事物的形象顯現(xiàn)，也是具象和抽象的共同表達(dá)。有限的生命植根于無限的自然之中，生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調(diào)整著運(yùn)動(dòng)和節(jié)奏……有機(jī)的和無機(jī)的，內(nèi)在的和外在的，社會(huì)的和自然的，一切都合而為一。這就是“自然律”揭示的全部美學(xué)奧秘嗎？不！“自然律”永遠(yuǎn)具有不能窮盡的美學(xué)內(nèi)涵，因?yàn)樗笳髦鴱V袤深邃的大自然。正因?yàn)槿绱?，它才吸引并且值的人們進(jìn)行不懈的探索，從而顯示人類不斷進(jìn)化的本質(zhì)力量。（原載《科學(xué)之春》雜志1984年第4期，原題為：《自然律——美學(xué)家和藝術(shù)家的瑰寶》） 2，尤拉的自然對數(shù)底公式 （——e） 尤拉被稱為數(shù)字界的莎士比亞，他是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，也是各領(lǐng)域（包含數(shù)學(xué)中理論與應(yīng)用的所有分支及力學(xué)、光學(xué)、音響學(xué)、水利、天文、化學(xué)、醫(yī)藥等）最多著作的學(xué)者。數(shù)學(xué)史上稱十八世紀(jì)為“尤拉時(shí)代”。 尤拉出生于瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力，使他在13個(gè)小孩子吵鬧的環(huán)境中仍能精確思考復(fù)雜問題。 尤拉一生謙遜，從沒有用自己的名字給他發(fā)現(xiàn)的東西命名。，被他命名為e。但因他對數(shù)學(xué)廣泛的貢獻(xiàn)，因此在許多數(shù)學(xué)分支中，反而經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。 我們現(xiàn)在習(xí)以為常的數(shù)學(xué)符號很多都是尤拉所發(fā)明介紹的，例如：函數(shù)符號f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虛數(shù)i等。高中教師常用一則自然對數(shù)的底數(shù)e笑話，幫助學(xué)生記憶一個(gè)很特別的微分公式：在一家精神病院里，有個(gè)病患整天對著別人說，“我微分你、我微分你?！币膊恢獮槭裁?，這些病患都有一點(diǎn)簡單的微積分概念，總以為有一天自己會(huì)像一般多項(xiàng)式函數(shù)般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個(gè)不為所動(dòng)的人，他很意外，而這個(gè)人淡淡地對他說，“我是e的x次方。” 這個(gè)微分公式就是：e不論對x微分幾次，結(jié)果都還是e！難怪?jǐn)?shù)學(xué)系學(xué)生會(huì)用e比喻堅(jiān)定不移的愛情！ 相對于π是希臘文字中圓周第一個(gè)字母，e的由來較不為人熟知。有人甚至認(rèn)為：尤拉取自己名字的第一個(gè)字母作為自然對數(shù)。 而尤拉選擇e的理由較為人所接受的說法有二：一為在a，b，c，d等四個(gè)常被使用的字母后面，第一個(gè)尚未被經(jīng)常使用的字母就是e，所以，他很自然地選了這個(gè)符號，代表自然對數(shù)的底數(shù)；一為e是指數(shù)的第一個(gè)字母，雖然你或許會(huì)懷疑瑞士人尤拉的母語不是英文，可事實(shí)上法文、德文的指數(shù)都是它。 雙曲余弦函數(shù)coshx=(e^x+e^(x))/2 判斷雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的奇偶性并證明 求詳解！雙曲正弦函數(shù)sinhx=(e^xe^(x))/2是奇函數(shù) 證明如下： 設(shè)f(x)=[e^xe^(x)]/2 則f(x)=[e^(x)e^x]/2=[e^xe^(x)]/2=f(x) 所以雙曲正弦函數(shù)sinhx=(e^xe^(x))/2是奇函數(shù) 雙曲余弦函數(shù)coshx=[e^x+e^(x)]/2是偶函數(shù) 證明如下： 設(shè)g(x)=[e^x+e^(x)]/2 則g(x)=[e^(x)+e^x]/2=g(x) 所以雙曲余弦函數(shù)coshx=[e^x+e^(x)]/2是偶函數(shù)公式表達(dá)式乘法與因式分解 a2b2=(a+b)(ab) a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) a3b3=(ab)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |ab|≤|a|+|b| |a|≤b=b≤a≤b |ab|≥|a||b| |a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 b+√(b24ac)/2a bb+√(b24ac)/2a 根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=b/a X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理 判別式 b24a=0 注：方程有相等的兩實(shí)根 b24ac0 注：方程有一個(gè)實(shí)根 b24ac0 注：方程有共軛復(fù)數(shù)根 三角函數(shù)公式 兩角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(AB)=sinAcosBsinBcosA cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1tanAtanB) tan(AB)=(tanAtanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB1)/(ctgB+ctgA) ctg(AB)=(ctgActgB+1)/(ctgBctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1tan2A) ctg2A=(ctg2A1)/2ctga cos2a=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1cosA)/2) sin(A/2)=√((1cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=√((1cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1cosA)) 和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(AB) 2cosAsinB=sin(A+B)sin(AB) 2cosAcosB=cos(A+B)sin(AB) 2sinAsinB=cos(A+B)cos(AB) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((AB)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((AB)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanAtanB=sin(AB)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些數(shù)列前n項(xiàng)和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c22accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (xa)2+(yb)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo) 圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E24F0 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=2px x2=2py x2=2py 直棱柱側(cè)面積 S=c*h 斜棱柱側(cè)面積 S=c39。*h 正棱錐側(cè)面積 S=1/2c*h39。 正棱臺(tái)側(cè)面積 S=1/2(c+c39。)h39。 圓臺(tái)側(cè)面積 S=1/2(c+c39。)l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2 圓柱側(cè)面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r 0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱體積 V=S39。L 注：其中,S39。是直截面面積， L是側(cè)棱長 柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。用一些事情，總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。