【正文】 黃金律表現了事物的相對靜止狀態(tài)，而“自然律”則表現了事物運動發(fā)展的普遍狀態(tài)。因此，從某種意義上說，黃金律是凝固的“自然律”，“自然律”是運動著的黃金律。 “自然律”之美 “自然律”是e 及由e經過一定變換和復合的形式。e是“自然律”的精髓，在數學上它是函數： 1（1+——） X的X次方，當X趨近無窮時的極限。 人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究 1（1+——） X的X次方，當X趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發(fā)展（當X趨向正無窮大的時，上式的極限等于e=……，當X趨向負無窮大時候，上式的結果也等于e=……）得來的共同形式，充分體現了宇宙的形成、發(fā)展及衰亡的最本質的東西。 現代宇宙學表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前還在膨脹，這種描述與十九世紀后半葉的兩個偉大發(fā)現之一的熵定律，即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出，物質的演化總是朝著消滅信息、瓦解秩序的方向，逐漸由復雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極限就是無序的平衡，即熵最大的狀態(tài)，一種無為的死寂狀態(tài)。這過程看起來像什么？只要我們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。如果我們一定要找到亞里士多德所說的那種動力因，那么，可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發(fā)條組織，或者干脆把整個宇宙看成是一個巨大的發(fā)條，歷史不過是這種發(fā)條不斷爭取自由而放出能量的過程。 生命體的進化卻與之有相反的特點，它與熱力學第二定律描述的熵趨于極大不同，它使生命物質能避免趨向與環(huán)境衰退。任何生命都是耗散結構系統，它之所以能免于趨近最大的熵的死亡狀態(tài)，就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環(huán)境中不斷吸取負熵。新陳代謝中本質的東西，乃是使有機體成功的消除了當它自身活著的時候不得不產生的全部熵。 “自然律”一方面體現了自然系統朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另一方面又顯示了生命系統只有通過一種有序化過程才能維持自身穩(wěn)定和促進自身的發(fā)展（如細胞繁殖）的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓于同一形式的特點，“自然律”才在美學上有重要價值。 如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是“自然律”無序死寂的熵增狀態(tài)，那么廣闊無垠、生機盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向榮的動態(tài)穩(wěn)定結構。因此，大漠使人感到肅穆、蒼茫，令人沉思，讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷；而草原則使人興奮、雀躍，讓人感到生命的歡樂和幸福。 e=……是“自然律”的一種量的表達。“自然律”的形象表達是螺線。螺線的數學表達式通常有下面五種：（1）對數螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）回旋螺線。對數螺線在自然界中最為普遍存在，其它螺線也與對數螺線有一定的關系，不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數螺線是1638年經笛卡爾引進的，后來瑞士數學家雅各伯努利曾詳細研究過它，發(fā)現對數螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數螺線，極點在對數螺線各點的切線仍是對數螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數螺線畫在自己的墓碑上。 英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到：旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。事實上，我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什么我們的感覺、我們的“精神的”眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣一種螺線的形式中得到滿足呢？這難道不意味著我們的精神，我們的“內在”世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構對應關系嗎？ 我們知道，作為生命現象的基礎物質蛋白質，在生命物體內參與著生命過程的整個工作，它的功能所以這樣復雜高效和奧秘無窮，是同其結構緊密相關的?；瘜W家們發(fā)現蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺螺狀的。 古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器，當它的琴弦在風中振動時，能產生優(yōu)美悅耳的音調。這種音調就是所謂的“渦流尾跡效應”。讓人深思的是，人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便于欣賞古希臘人的風鳴琴嗎？還有我們的指紋、發(fā)旋等等，這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應，也就是“內在”與“外在”和諧的自然基礎。 有人說數學美是“一”的光輝，它具有盡可能多的變換群作用下的不變性，也即是擁有自然普通規(guī)律的表現，是“多”與“一”的統一，那么“自然律”也同樣閃爍著“一”的光輝。誰能說清e=……給數學家?guī)矶嗌俜奖愫统晒?？人們贊揚直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優(yōu)美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有人說美是主體和客體的同一，是內在精神世界同外在物質世界的統一，那么“自然律”也同樣有這種統一。人類的認識是按否定之否定規(guī)律發(fā)展的，社會、自然的歷史也遵循著這種辯證發(fā)展規(guī)律，是什么給予這種形式以生動形象的表達呢？螺線！ 有人說美在于事物的節(jié)奏，“自然律”也具有這種節(jié)奏；有人說美是動態(tài)的平衡、變化中的永恒，那么“自然律”也同樣是動態(tài)的平衡、變化中的永恒；有人說美在于事物的力動結構，那么“自然律”也同樣具有這種結構——如表的游絲、機械中的彈簧等等。 “自然律”是形式因與動力因的統一，是事物的形象顯現，也是具象和抽象的共同表達。有限的生命植根于無限的自然之中，生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整著運動和節(jié)奏……有機的和無機的，內在的和外在的，社會的和自然的，一切都合而為一。這就是“自然律”揭示的全部美學奧秘嗎？不！“自然律”永遠具有不能窮盡的美學內涵，因為它象征著廣袤深邃的大自然。正因為如此，它才吸引并且值的人們進行不懈的探索，從而顯示人類不斷進化的本質力量。（原載《科學之春》雜志1984年第4期，原題為：《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》） 2，尤拉的自然對數底公式 （——e） 尤拉被稱為數字界的莎士比亞，他是歷史上最多產的數學家，也是各領域（包含數學中理論與應用的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫(yī)藥等）最多著作的學者。數學史上稱十八世紀為“尤拉時代”。 尤拉出生于瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力，使他在13個小孩子吵鬧的環(huán)境中仍能精確思考復雜問題。 尤拉一生謙遜，從沒有用自己的名字給他發(fā)現的東西命名。，被他命名為e。但因他對數學廣泛的貢獻，因此在許多數學分支中，反而經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。 我們現在習以為常的數學符號很多都是尤拉所發(fā)明介紹的，例如：函數符號f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虛數i等。高中教師常用一則自然對數的底數e笑話，幫助學生記憶一個很特別的微分公式：在一家精神病院里，有個病患整天對著別人說，“我微分你、我微分你?！币膊恢獮槭裁?，這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，“我是e的x次方。” 這個微分公式就是：e不論對x微分幾次，結果都還是e！難怪數學系學生會用e比喻堅定不移的愛情！ 相對于π是希臘文字中圓周第一個字母，e的由來較不為人熟知。有人甚至認為：尤拉取自己名字的第一個字母作為自然對數。 而尤拉選擇e的理由較為人所接受的說法有二：一為在a，b，c，d等四個常被使用的字母后面，第一個尚未被經常使用的字母就是e，所以，他很自然地選了這個符號，代表自然對數的底數；一為e是指數的第一個字母，雖然你或許會懷疑瑞士人尤拉的母語不是英文，可事實上法文、德文的指數都是它。 雙曲余弦函數coshx=(e^x+e^(x))/2 判斷雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的奇偶性并證明 求詳解！雙曲正弦函數sinhx=(e^xe^(x))/2是奇函數 證明如下： 設f(x)=[e^xe^(x)]/2 則f(x)=[e^(x)e^x]/2=[e^xe^(x)]/2=f(x) 所以雙曲正弦函數sinhx=(e^xe^(x))/2是奇函數 雙曲余弦函數coshx=[e^x+e^(x)]/2是偶函數 證明如下： 設g(x)=[e^x+e^(x)]/2 則g(x)=[e^(x)+e^x]/2=g(x) 所以雙曲余弦函數coshx=[e^x+e^(x)]/2是偶函數公式表達式乘法與因式分解 a2b2=(a+b)(ab) a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) a3b3=(ab)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |ab|≤|a|+|b| |a|≤b=b≤a≤b |ab|≥|a||b| |a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 b+√(b24ac)/2a bb+√(b24ac)/2a 根與系數的關系 X1+X2=b/a X1*X2=c/a 注：韋達定理 判別式 b24a=0 注：方程有相等的兩實根 b24ac0 注：方程有一個實根 b24ac0 注：方程有共軛復數根 三角函數公式 兩角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(AB)=sinAcosBsinBcosA cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1tanAtanB) tan(AB)=(tanAtanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB1)/(ctgB+ctgA) ctg(AB)=(ctgActgB+1)/(ctgBctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1tan2A) ctg2A=(ctg2A1)/2ctga cos2a=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1cosA)/2) sin(A/2)=√((1cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=√((1cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1cosA)) 和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(AB) 2cosAsinB=sin(A+B)sin(AB) 2cosAcosB=cos(A+B)sin(AB) 2sinAsinB=cos(A+B)cos(AB) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((AB)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((AB)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanAtanB=sin(AB)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些數列前n項和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c22accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角 圓的標準方程 (xa)2+(yb)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標 圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E24F0 拋物線標準方程 y2=2px y2=2px x2=2py x2=2py 直棱柱側面積 S=c*h 斜棱柱側面積 S=c39。*h 正棱錐側面積 S=1/2c*h39。 正棱臺側面積 S=1/2(c+c39。)h39。 圓臺側面積 S=1/2(c+c39。)l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2 圓柱側面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側面積 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數r 0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱體積 V=S39。L 注：其中,S39。是直截面面積， L是側棱長 柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h1. 若不給自己設限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經病。既糾結了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。