【正文】 的幫助．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，證明△PME≌△PNF可推出PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE，PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．解答：解：（1）如圖1，AE=AF．理由：證明△ABE≌△ADF（ASA）
（2）如圖2，PE=PF．理由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，則PM=PN．由此可證得△PME≌△PNF（ASA），從而證得PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：幾何綜合題．分析：（1）證明△ABE≌△ADF可推出AE=AF．（2）本題要借助輔助線(xiàn)的幫助．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，證明△PME≌△PNF可推出PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE，PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．解答：解：（1）如圖1，AE=AF．理由：證明△ABE≌△ADF（ASA）
（2）如圖2，PE=PF．理由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，則PM=PN．由此可證得△PME≌△PNF（ASA），從而證得PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定．例8．（2005年馬尾）用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△176。角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60176。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，.（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，（如圖13—1），通過(guò)觀(guān)察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)（如圖13—2），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.解：（1）BE=CF. 證明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60176。， ∴∠BAE=∠CAF.∵AB=AC，∠B=∠ACF=60176。，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ∴BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明△ABE和△ACF用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△176。角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60176。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、.（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖所示），通過(guò)觀(guān)察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖所示），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由。 已知∠AOB=90176。，∠AOB的平分線(xiàn)OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB或它們的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交于D、E。當(dāng)三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），易證：CD=CE當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明。如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合）， 以C為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長(zhǎng)線(xiàn)于H。（1）說(shuō)明：△BCG≌△DCE；（2）BG與CD有何關(guān)系？為什么？（3）將正方形GCEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）、（2）中的結(jié)論還成立嗎？畫(huà)出一個(gè)圖形，直接回答，不必說(shuō)明理由。如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱(chēng)點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．試說(shuō)明這種作法的依據(jù)．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB；（2）連接MN，由（1）的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）根據(jù)（2）中費(fèi)爾馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)在線(xiàn)段EC上，同理也在線(xiàn)段BF上．因此線(xiàn)段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．解答：解：（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，∴AB=BE，∠ABE=60176。．而∠MBN=60176。，∴∠ABM=∠EBN．又∵BM=BN，∴△AMB≌△ENB．
（2）連接MN．由（1）知，AM=EN．∵∠MBN=60176。，BM=BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+BM+CM的值最小．此時(shí)，∠BMC=180176?！螻MB=120176。；∠AMB=∠ENB=180176?！螧NM=120176。；∠AMC=360176?！螧MC∠AMB=120176。．（3）由（2）知，△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)在線(xiàn)段EC上，同理也在線(xiàn)段BF上．因此線(xiàn)段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目難度很大．1.(2004河北)如圖，已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且． 求證：．2.、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證：． ，AC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)M，N，D為外一點(diǎn)，且，，探究：當(dāng)點(diǎn)M，N分別愛(ài)直線(xiàn)AB，AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式__________；此時(shí)=__________⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且時(shí)，猜想(1)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；⑶如圖③，當(dāng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若AN=x，則Q=_________(用x，L表示)，正方形中，．求證：． ：中，是中線(xiàn)．求證：．，在等腰中，是的中點(diǎn)，過(guò)作，且．求證：．22