正方形基礎(chǔ)專題練習(xí)-資料下載頁
2025-03-25 05:00本頁面
【正文】 。，∴PF=PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPE+∠QPE=90176。，∠QPE+∠QPF=90176。，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；（2）PB=PQ，證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C為正方形對角線AC上的點(diǎn)，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90176。，∴PF=PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPF+∠QPF=90176。，∠BPF+∠BPE=90176。，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ．點(diǎn)評： 此題考查了正方形，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想．16．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過A、C兩點(diǎn)作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、ND分別交l2于Q、P．求證：四邊形PQMN是正方形．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題；壓軸題．分析： 可由Rt△ABM≌Rt△DAN，AM=DN同理可得AN=NP，所以MN=PN，進(jìn)而可得其為正方形．解答： 證明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，∴∠QMN=∠P=∠N=90176。，∴四邊形PQMN為矩形，∵AB=AD，∠M=∠N=90176?！螦DN+∠NAD=90176。，∠NAD+∠BAM=90176。，∴∠ADN=∠BAM，又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（AAS），∴AM=DN同理AN=DP，∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．∴四邊形PQMN是正方形．點(diǎn)評： 本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種幾何圖形的性質(zhì)和判定方法．17．在正方形ABCD各邊上一次截取AE=BF=CG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．試問四邊形EFGH是否是正方形？考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，然后求出BE=CF=DG=AH，再利用“邊角邊”證明△AHE和△BEF和△CFG和△DGH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=FG=GH=EH，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，再求出∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90176。，從而得到四邊形EFGH是正方形．解答： 解：四邊形EFGH是正方形．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，∵AE=BF=CG=DH，∴AB﹣AE=BC﹣BF=CD﹣CG=AD﹣DH，即BE=CF=DG=AH，∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH，∴EF=FG=GH=EH，∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，∴∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90176。，∴四邊形EFGH是正方形．點(diǎn)評： 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出被截取的四個(gè)小直角三角形全等是解題的關(guān)鍵．18．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AP于點(diǎn)E，BF⊥AP于點(diǎn)F，CH⊥DE于點(diǎn)H，BF的延長線交CH于點(diǎn)G．（1）求證：AF﹣BF=EF；（2）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；分析： （1）利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA，進(jìn)而得出AE=BF，即可證明結(jié)論；（2）首先得出四邊形EFGH是矩形，再利用△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，進(jìn)而得出EF=EH，即可得出答案；解答： （1）證明：∵DE⊥AP于點(diǎn)E，BF⊥AP于點(diǎn)F，CH⊥DE于點(diǎn)H，∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90176。，∴∠ADE+∠DAE=90176。，又∵∠DAE+∠BAF=90176。，∴∠ADE=∠BAF，在△AED和△BFA中，∴△AED≌△BFA，∴AE=BF，∴AF﹣AE=EF，即AF﹣BF=EF；（2）證明：∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90176。，∴四邊形EFGH是矩形，∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，∴△AED≌△BFA≌△DHC，∴DH=AE=BF，AF=DE=CH，∴DE﹣DH=AF﹣AE，∴EF=EH，∴矩形EFGH是正方形；19．如圖，△ABC中，∠C=90176。，∠BAC、∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．問四邊形CFDE是正方形嗎？請說明理由．考點(diǎn)： 正方形的判定；角平分線的性質(zhì)．分析： 首先利用垂直的定義證得四邊形CFDE是矩形，然后利用角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，從而判定該四邊形是正方形．解答： 證明：∵∠C=90176。，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴四邊形DECF為矩形，∵∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，∴DF=DE，∴四邊形CFDE是正方形．點(diǎn)評： 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是利用正方形的判定方法證得四邊形CFDE是正方形．20．如圖，在△ABC中，∠BAC=90176。，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形DEAF是正方形．考點(diǎn)： 正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題．分析： 由題意先證明□AEDF是矩形，再根據(jù)兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等來證△BDE≌△CDF，根據(jù)有一組對邊相等的矩形證明□AEDF是正方形．解答： 證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED=90176。，∠AFD=90176?！摺螧AC=90176?！唷螮DF=90176?！唷魽EDF是矩形在△BDE和△CDF中∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠DFC又∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=DC∴△BDE≌△CDF∴DE=DF∴□AEDF是正方形點(diǎn)評： 本題考查的是正方形的判定方法，考查了矩形、全等三角形等基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用，判別一個(gè)四邊形是正方形主要是根據(jù)正方形的定義及其性質(zhì)．
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