2矩陣典型習(xí)題解析-資料下載頁
2025-03-24 04:35本頁面
【正文】 理：(1)定義法（最基本，也較常用，本題就是利用次方法來證明出矛盾來的的）；(2)來說明A的所有特征值全部都大于零；(3)來說明A的所有順序主子式都大于零（這種方法再給出具體的矩陣表達(dá)形式時(shí)較常用）。(4)存在可逆矩陣，使得A=。(5)存在正交矩陣，使得A=。(6)存在正交矩陣，使得。已知二次型， (1)寫出該二次型的矩陣表達(dá)式；(2)用正交矩陣的方法把該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)性，并寫出對(duì)應(yīng)的正交矩陣。解：（1）f的矩陣表達(dá)式為 ；（2）由（1）得知該二次型的矩陣為 ， A的特征方程為 ，由此可得出A的特征值：，對(duì)應(yīng)的特征向量為 。對(duì)應(yīng)的單位特征向量為： 。因此可得正交矩陣 ，那么對(duì)二次型f做正交變換，則該二次型就可以化為標(biāo)準(zhǔn)型 。點(diǎn)評(píng)：化二次行為標(biāo)準(zhǔn)形式二次型矩陣最常見的一種題型 ，在研究生入學(xué)考試中也是個(gè)重要的考察知識(shí)點(diǎn)，但題目一般難度不大，解答事業(yè)都有固定的模式，但它卻要求我們必須仔細(xì)對(duì)待，切不可有所懈怠。二次曲面S在空間直角坐標(biāo)系中的方程為 ，做直角坐標(biāo)變換，把它化成標(biāo)準(zhǔn)方程，并且指出S是什么樣的二次曲面？解：首先把方程左端的二次項(xiàng)部分 經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型。而二次型矩陣A為 ，同時(shí)，根據(jù)上題知，我們可以找到正交矩陣T=，使得。于是我們做正交變換則，可以把原而次型（*）化成下述的標(biāo)準(zhǔn)型： ，因此，這里我們只需要做直角變換（），原二次曲面在新坐標(biāo)系中的方程是 。并且，由此方程我們可以看出，S是單葉雙曲面。點(diǎn)評(píng)：通過正交變換把二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是矩陣在幾何上的一個(gè)重要的應(yīng)用；除此方法之外，有時(shí)我們還可以用配方法來代替正交變換法對(duì)二次曲面方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，坐標(biāo)變換，從而得到其標(biāo)準(zhǔn)方程。
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