【正文】 起過程量（功）與狀態(tài)量（動(dòng)能）變化間的關(guān)系，利用這一關(guān)系，也可以通過比較狀態(tài)達(dá)到了解過程之目的。重力做功的特點(diǎn)與重力勢能。 （1）重力做功的特點(diǎn)：重力做功與路徑無關(guān)，只與始末位置的豎直高度差有關(guān)，當(dāng)重力為的物體從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，無論走過怎樣的路徑，只要A、B兩點(diǎn)間豎直高度差為，重力所做的功均為 （2）重力勢能：物體由于被舉高而具有的能叫重力勢能。其表達(dá)式為： 其中h為物體所在處相對(duì)于所選取的零勢面的豎直高度，而零勢面的選取可以是任意的，一般是取地面為重力勢能的零勢面。由于零勢面的選取可以是任意的，所以一個(gè)物體在某一狀態(tài)下所具有的重力勢能的值將隨零勢面的選取而決定，但物體經(jīng)歷的某一上過程中重力的勢能的變化卻與零勢面的選取無關(guān)。（3）重力做功與重勢能變化間的關(guān)系：重力做的功總等于重力勢能的減少量，即機(jī)械能守恒定律。（1）機(jī)械能：動(dòng)能和勢能的總和稱機(jī)械能。而勢能中除了重力勢能外還有彈性勢能。所謂彈性勢能批量的是物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能。（2）機(jī)械能守恒守律：只有重力做功時(shí)，動(dòng)能和重力勢能間相互轉(zhuǎn)換，但機(jī)械能的總量保持不變，這就是所謂的機(jī)械能守恒定律；只有彈力做功時(shí)，動(dòng)能和彈性勢能間相互轉(zhuǎn)換，機(jī)械能的總量也保持不變，這也叫機(jī)械能守恒定律。（3）機(jī)械能守恒的條件：只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能總量將保持不變。三、典型例題。例1．如圖121所示，恒定的拉力大小F=8N，方向與水平線夾θ=60176。角，拉著繩頭使物體沿水平面移動(dòng) =2m的過程中，拉力做了多少功？分析：常會(huì)有同學(xué)做這樣的分析與計(jì)算：力的大小為S= =2m，力與位移的方向間夾角為60176。，所以： ( 圖121)其實(shí)，這樣的計(jì)算是錯(cuò)誤的。解答：如圖122所示，隨著物體沿水平面前進(jìn) =2m，繩頭從A點(diǎn)被拉到B點(diǎn)，由此可見：拉F所作用的物體（繩頭）的位移S可由幾何關(guān)系求得為而力F與位移S間的夾角為 所以，這過程中拉F作用于繩頭所做的功為 (圖122)例2．質(zhì)量為m=1kg的物體以v0=10m/s的速度水平拋出，空氣阻力不計(jì)，取g=10m/s2,則在第1s內(nèi)重力做功為________________J；第1s內(nèi)重力做功的平均功率為__________W；第1s末重力做功的瞬時(shí)功率為____________W；第1s內(nèi)物體增加的動(dòng)能為____________J；第1s內(nèi)物體減少的重力勢能____________J。分析：此道題考察了功、功率、動(dòng)能、重力勢能等概念以及與上述概念相關(guān)的動(dòng)能定理，機(jī)械能守恒定律等規(guī)律。解答：重力做的功等于重力與物體沿重力方向（豎直方向）上位移的乘積，而第1s內(nèi)物體沿豎直方向的位移為 所以有： 由平均功率的定義得 瞬時(shí)功率一般計(jì)算可用力與力的方向上的瞬時(shí)速度的相乘而得，第1s末物體沿重力方向上的速度為所以有考慮到平拋運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，于是由動(dòng)能定理得又由于只有重力做功其機(jī)械能守恒，增加的動(dòng)能應(yīng)與減少的重力勢能相等。于是又可直接得此例應(yīng)依次填充：50；50；100；50；50。例3：質(zhì)量4t的機(jī)車，發(fā)動(dòng)機(jī)的最大輸出功率為100kW，運(yùn)動(dòng)阻力恒為，試求；（1），能達(dá)到的最大速度和達(dá)到該最大速度所需的時(shí)間。（2）若機(jī)車保持額定功率不變行駛，能達(dá)到的最大速度以及速度為10m/s時(shí)機(jī)車的加速度。 分析：注意到機(jī)車勻加速運(yùn)動(dòng)所能達(dá)到的最大速度Vm和機(jī)車在運(yùn)動(dòng)形式不加制約時(shí)所能達(dá)到的最大速度一般是不同的。解答：（1）機(jī)車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 F = P=FVm Vm=at由此可解得 Vm=25m/s t=50s（2）機(jī)車行駛時(shí)運(yùn)動(dòng)形式不加限制而機(jī)車輸出功率保持額定功不變時(shí)則可在大小等于阻力牽引力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)又有 由此又可解得例4：如圖123所示，小滑塊從斜面頂點(diǎn)A由靜止滑至水平部分C點(diǎn)而停止。已知斜面高為h，滑塊運(yùn)動(dòng)的整個(gè)水平距離為s設(shè)斜面和水平部分與小滑塊的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，求此動(dòng)摩擦因數(shù)分析：可以運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理分析求解：解答：取物體為研究對(duì)象，考察人A處靜止釋放下直至到C點(diǎn)處于 (圖123)靜止的過程，運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理有。 由此即可求得 (圖124)例5：如圖124所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細(xì)線跨過定滑輪，兩端分別與物塊A和B連結(jié)，A的質(zhì)量為4m，B的質(zhì)量為m。開始時(shí)將B按在地面上不動(dòng)， 然后放開手,. 分析：可以運(yùn)用機(jī)械能守恒定律分析求解解答：取A與B構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，考察以剛放手起直到強(qiáng)剛斷的過程，這過程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。有再取B為研究對(duì)象，考察從強(qiáng)剛斷直到B升至最高點(diǎn)的過程，這過程中B的機(jī)械能守恒，又有而B所上升的最大高度為 H= +s由此即得 H=八、幾種典型的力學(xué)問題復(fù)習(xí)要點(diǎn)1．“碰撞過程”的分析2．“人船模型”的研究3．“fd=△EK”的運(yùn)用二、難點(diǎn)剖析 1．“碰撞過程”的分析（1）“碰撞過程”的特征. “碰撞過程”作為一個(gè)典型的力學(xué)過程其特征主要表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面：第一，經(jīng)歷的時(shí)間極短，通常情況下，碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間在整個(gè)力學(xué)過程中都是可以初忽略的；第二碰撞雙方相互作用的內(nèi)力往往是遠(yuǎn)大于來自外部物體的作用力（2）“碰撞過程”的規(guī)律正是因?yàn)椤芭鲎策^程”所具備的“作用時(shí)間短”和“外力很小”（甚至外力為零）這兩個(gè)特征，才使得碰撞雙方構(gòu)成的系統(tǒng)在碰撞前后的總動(dòng)量遵從守恒定律，即 m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2（3）“碰撞過程”的分類。按照形變恢復(fù)情況劃分：碰撞過程中所產(chǎn)生的形變能夠完全恢復(fù)的稱為彈性碰撞；碰撞過程中所產(chǎn)生的形變不能夠完全恢復(fù)的稱為非彈性碰撞；碰撞過程中所產(chǎn)生的形變完全不能夠恢復(fù)的稱為完全非彈性碰撞。按照機(jī)械能損失的情況劃分：碰撞過程中沒有機(jī)械能損失的稱為彈性碰撣撞；碰撞過程中有機(jī)械能損失的稱為非彈性碰撞；碰撞過程中機(jī)械能損失最多的稱為完全非彈性碰撞。（4）“碰撞過程”的特例.彈性碰撞作為碰撞過程的一個(gè)特例，它是所有碰撞過程的一種極端的情況：形變能夠完全恢復(fù)；機(jī)械能絲毫沒有損失。彈性碰撞除了遵從上述的動(dòng)量守恒定律外，還具備：碰前、碰后系統(tǒng)的總動(dòng)能相等的特征，即 m1υ12+m2υ22=m1u12+m1u12由此即可把彈性碰撞碰后的速度u1和u2表為 u1=υ1+υ2 u2=υ1+υ2如對(duì)彈性碰撞的速度表達(dá)式進(jìn)一步探討，還會(huì)發(fā)現(xiàn)另一特征：彈性碰撞前，碰后，碰撞雙方的相對(duì)速度大小相等，即 u2－u1=υ1－υ2完全非彈性碰撞作為碰撞過程的一個(gè)特別，它是所有碰撞過程的另一種極端的情況：形變完全不能夠恢復(fù)；機(jī)械能損失達(dá)到最大。正因?yàn)橥耆菑椥耘鲎簿邆淞恕靶巫兺耆荒軌蚧謴?fù)”。所以在遵從上述的動(dòng)量守恒定律外，還具德：碰撞雙方碰后的速度相等的特征，即 u1=u2由此即可把完全非彈性碰撞后的速度u1和u2表為 u1=u2=而完全非彈性碰撞過程中“機(jī)械能損失最大”的特征可以給出如下證明：碰撞過程中機(jī)械能損失表為 △E=m1υ12+m2υ22―m1u12―m2u22由動(dòng)量守恒的表達(dá)式中得 u2=(m1υ1+m2υ2－m1u1)代入上式可將機(jī)械能的損失△E表為u1的函數(shù)為△ E=－u12+u1+[(m1υ12+m2υ22)－( m1υ1+m2υ2－m1u1)2]這是一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)小于零的二次三項(xiàng)式，顯然：當(dāng) u1=u2=時(shí)，即當(dāng)碰撞是完全非彈性碰撞時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能的損失達(dá)到最大值△Em=m1υ12+m2υ22－（5）“碰撞過程”的制約通常有如下三種因素制約著“碰撞過程”。①動(dòng)量制約：即碰撞過程必須受到“動(dòng)量守恒定律的制約”；②動(dòng)量制約：即能機(jī)械碰撞過程，碰撞雙方的總動(dòng)能不會(huì)增加；③運(yùn)動(dòng)制約：即碰撞過程還將受到運(yùn)動(dòng)的合理性要求的制約，比如，某物體向右運(yùn)動(dòng)，被后面物體迫及而碰撞后，其運(yùn)動(dòng)速度只會(huì)增大而不應(yīng)該減小。（6）“碰撞過程”的推廣。相互作用的雙方在相互作用過程中系統(tǒng)所受到的合外力為零時(shí)，我們可以將這樣的過程視為“廣義的碰撞過程”加以處理。2．“人船模型”的研究 （1）“人船模型” 典型的力學(xué)過程通常是典型的模型所參與和經(jīng)歷的，而參與和經(jīng)歷力學(xué)過程的模型所具備的特征，將直接影響著力學(xué)過程的發(fā)生，發(fā)展和變化，在將直接影響著力學(xué)過程的分析思路，在下列力學(xué)問題中我們將面臨著一個(gè)典型的“人船模型”。問題：如圖—1所示，質(zhì)量為M的小船長L，靜止于水面，質(zhì)量為M的小船長為L，靜止于水面，質(zhì)量為m的人從船左端走到船右端，不計(jì)水對(duì)船的運(yùn)動(dòng)阻力，則這過程中船將移動(dòng)多遠(yuǎn)？（2）“人船模型”的力學(xué)特征 圖—1如能關(guān)注到如下幾點(diǎn)就可以說基本上把握住了“人船模型”的力學(xué)特征了：“人船模型”是由人和船兩個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)；該系統(tǒng)在人和船相互作用下各自運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中該系統(tǒng)所受到的合外力為零；而系統(tǒng)的合外力為零則保證了系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中總動(dòng)量守恒。（3）“人船模型”的分析思路。①分析“人船模型”運(yùn)動(dòng)過程中的受力特征，進(jìn)而判斷其動(dòng)量守恒，得 mυ=Mu②由于運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻人，船速度大小υ和u均滿足上述關(guān)系，所以運(yùn)動(dòng)過程中，人、船平均速度大小，和也應(yīng)滿足相似的關(guān)系。即 m=M③在上式兩端同乘以時(shí)間，就可得到人，船相對(duì)于地面移動(dòng)的距離S1和S2的關(guān)系為 mS1=MS2④考慮到人、船相對(duì)運(yùn)動(dòng)通過的距離為L，于是得 S1+S2=L⑤由此即可解得人、船相對(duì)于地面移動(dòng)的距離分別為 S1=L S2=L（4）“人船模型”的幾種變例. ①把“人船模型”變?yōu)椤叭塑嚹Ｐ汀?變例1：如圖—2所示，質(zhì)量為M，長為L的平板小車靜止于光滑水平面上，質(zhì)量為m的人從車左 圖—2端走到車右端的過程中，車將后退多遠(yuǎn)？ ②把水平方向的問題變?yōu)樨Q直方向。變例2：如圖—3所示，總質(zhì)量為M的足球下端懸著質(zhì)量為m的人而靜止于高度為h的空中，欲使人能完全沿強(qiáng)著地，人下方的強(qiáng)至少應(yīng)為多長？③把直線運(yùn)動(dòng)問題變?yōu)榍€運(yùn)動(dòng).變例3：如圖—4所示，質(zhì)量為M的物體靜止于光滑水平面上，其上有一個(gè)半徑為R的光滑半球形凹面軌道，今把質(zhì)量為m的小球自軌道右測與球心等高處靜止釋放，求M向右運(yùn)動(dòng)的最大距離。 圖—3④把模型雙方的質(zhì)量比變?yōu)闃O端情況.變例4：如圖—5所示，光滑水平桿上套有一個(gè)質(zhì)量可忽略的小環(huán)，長L的強(qiáng)一端系在環(huán)上下，另一端連著質(zhì)量為M的小球，今使小球與球等高且將繩拉直，當(dāng)把小球由靜止釋放直到小球與環(huán)在同一豎直線上，試分析這一過程中小球沿水平方向的 圖—4移動(dòng)距離. 3．“fd=△EK”的運(yùn)用（1）公式“fd=△EK”的含意.如圖—6所示，：質(zhì)量M的木塊放在光滑水 圖—5平面上，質(zhì)量為m的子彈以水平速度υ0射入木塊，若射入的深度為d，后子彈與木塊的共同速度為υ，射入時(shí)子彈與木塊間相互作用的力的大小為f，則：相互作用的力f與相時(shí)位移的大小d的乘積，恰等于：fd=△EK=mυ02－(m+M)υ2 圖—6(2)公式“fd=△EK”的依據(jù).實(shí)際上公式“fd=△EK”是過立在動(dòng)能定理的基礎(chǔ)之上的：仍如圖—6所示，對(duì)子彈和木塊分別運(yùn)用動(dòng)能定理可得.―f(s+d)=mυ2―mυ02fs=Mυ2將此兩代勞相加后整理即可得 fd=mυ02―(m+M)υ2=△EK.（3）公式“fd=△EK”的運(yùn)用如果是兩個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中除了相互作用的滑動(dòng)摩擦力外，系統(tǒng)的外力為零，則都可以運(yùn)用公式 fd=△EK 來制約系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中的能量的轉(zhuǎn)多與轉(zhuǎn)化，應(yīng)該注意的是：當(dāng)構(gòu)成系統(tǒng)的雙方相對(duì)運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)往復(fù)的情況時(shí)，公式中的d就理解為“相對(duì)路程”而不應(yīng)該是“相對(duì)位移的大小”。三、典型例題例1．A、B兩小球在光滑水平面上沿同一直線同方向運(yùn)動(dòng)共動(dòng)量分別為PA=5kgm/s，PB=7kgm/s，若A追上B后與B碰撞，碰后B的動(dòng)量為PB/ =10kgm/s，則A、B的質(zhì)量之比可能為 A．1 ：1 B．1 ：2 C．1 ：5 D．1 ：10 分析：此例的求解除了運(yùn)用碰撞的規(guī)律外，還需要關(guān)注到碰撞的特征與制約碰撞過程的相關(guān)因素。 解答：由“動(dòng)量制約”知：碰撞過程中A、B兩球的總動(dòng)量應(yīng)守恒即：PA+PB=PA/+PB/ 由此得：碰后A球動(dòng)量為 PA/=PA+PB－PB/=2kgm/s 由“動(dòng)能制約”知：碰前總動(dòng)能不小于碰后總動(dòng)能，即 +≥+代入數(shù)據(jù)有 +≥+于是可得 ≤