【正文】 N ??? ??? mgF B )c o s2c o s3(s i n430N ??? ?? mgF A于是得 A、 B處的反力為 根據(jù) 質(zhì)心運(yùn)動定理 ，得 ?????????,yCyxCxFmaFma)s i nc o s(N ??? nCCA aamF ??)c o ss i n(N ??? nCCB aammgF ????AB桿 脫離墻壁的條件 ： FNA= 0。 0)c o s2c o s3(s i n43 0N ??? ???mgF A )c o s32a r c c o s (0?? ?得 AB桿開始脫離墻壁的角度為 理論力學(xué) 動力學(xué) 55 解 3： （較好） )( )( eDD FmJ ???????????)c o s()s i n(??lyyalxxaCCCyCCCx?????????????)()(eCyeCxYmaXma?（積分得 ?） FNA FNB 無需解聯(lián)立方程 解 4： （較好） FKK WEE ??? 0? )( )( eDD FmJ ???? ? ???????)c o s()s i n(??lyyalxxaCCCyCCCx????????????)()(eCyeCxYmaXmaFNA FNB 無需解聯(lián)立方程 A B ? l l C mg FNB FNA CxaCya理論力學(xué) 動力學(xué) 56 例 69 均質(zhì)桿長 l， 質(zhì)量 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 桿受微小干擾而倒下 ， 求桿剛到達(dá)地面時的角速度和地面約束力 。 解： ① 地面光滑 ， 桿沿水平方向不受力 ， 倒下過程中質(zhì)心鉛直下落 。 桿運(yùn)動到任一位置 (與水平夾角為 ? )時的角速度為： 2c o sCCvvC P l? ???此時桿的動能為 2222 )c o s311(212121CCCK vmJmvE ?? ????初動能為零 ， 此過程只有重力作功 ， 由 )s i n1(2)c o s3 11(21 22 ?? ??? lmgvm C當(dāng) ?＝ 0176。 時解得： glvC 321?lg3??P C A ? ? vC vA ?? ??tdd?法 1：上式兩邊求導(dǎo)： ?????? ?? ?????? c o s2c o s3s i n)c o s311( 232lmgmvavmCCCCCCC m g vmvlavm ????342 c o s3s i n2)c o s311(??? )c o sc o s3(c o s3s i n22442??????? gva CC??? 1212 WEE KK理論力學(xué) 動力學(xué) 57 ② 桿剛剛達(dá)到地面時受力及加速度如圖所示 ， 由 剛體平面運(yùn)動微分方程 ， 得 : ( 1 )ACm g F m a??21 ( 2 )2 1 2AClF J m l????桿作 平面運(yùn)動 ， 以 A為基點(diǎn) ， 則 C點(diǎn)的加速度為 : tnC A C A C A? ? ?a a a a沿鉛垂方向投影 ， 得 聯(lián)立 (1)~(3)求解 ， 得 14AF m g?mg FA A C aC ? ? an CA aA at CA 2lBAlGBA討論： 圖示均質(zhì)桿長 2l, 重 G， 細(xì)繩長 l， f =0，不計(jì)摩擦 桿由靜止滑到虛線位置時，求 vB及 A, B處反力。 ① 動能定理求速度，但 不方便求加速度 ② 運(yùn)動學(xué)知識求加速度。 nAaAa?BAa?BanAaAa?nBAaCanAaAa?CAa?( 3 ) 2 ?laa tCAC ??理論力學(xué) 動力學(xué) 58 O θ s O 例 610 已知三棱柱 m1；圓柱 m2；純滾動；光滑水平面；求 a△ 。 ve 解： 研究整個系統(tǒng)，受力如圖， ∵ ∑Fx = 0， ∴ 水平方向 動量守恒 ， 所以 0)c o s(21 ?????? ?? ?rx vvmvmp)1(c os221 ?????????vmmmvr ?FN m1g m2g v△ vr 設(shè)圓柱體 O質(zhì)心由靜止沿斜面向下滾動距離 s時，三棱柱的速度為 v△ ，圓柱中心速度為 vo，系統(tǒng)動量為 Omm vvp 21 ??? ?? ?系統(tǒng)動量在 x方向的投影 選 O為動點(diǎn)，三棱柱為動系，則由 rea vvv??? ??所以 rO vvv ??? ?? ΔvO ?co srOx vvv ??? ?理論力學(xué) 動力學(xué) 59 對上式求導(dǎo)且知 ?? ?? atvvtsr dd,dd解得 gmmm ma ?? 22212s i n232s i n????并將式 (1)代入， )c o s2(2121 22221 ?rr vvvvmvm ??? ???由 動能定理 ， 有 系統(tǒng)動能為 2212221 21212121 ?rmvmvmEOk ??? ?O θ s O ve FN m1g m2g v△ vr vO a△ 二個自由度要二個動力學(xué)方程 ?s in2 gsm? 02121 222 ????????rvrm r理論力學(xué) 動力學(xué) 60 O A B C ?? )( iOOO FMJ ?? ?a 21 2 RFmR O ??? ??O?C?F F’ OA Ra ???? OAB Raa ??????? iyC Fym ?? ? ?b Fmgym C ??????? )( iCCC FMJ ? ? ?c 21 2 RFmRC ???? ??y x 解： 建立坐標(biāo)系如圖，分別取兩輪做研究對象，受力分析，運(yùn)動分析，列 運(yùn)動微分方程 ： mg對繩子 對定滑輪： 對動滑輪： 例 611 有兩個相同的滑輪，視為圓盤，質(zhì)量為 m，半徑為 R，用繩纏繞連接 ,如圖示。若系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動，求輪心 C的加速度和繩 AB的內(nèi)力。 理論力學(xué) 動力學(xué) 61 τ BCn BCCB aaaa ??? ??? ????CCτBCCyBBRyaaaa????? ????? ?? )(OCC Ry ?? ?????? ??OC ?? ???? ?可知：和據(jù) c)(a)(RgOC 52?? ?? ????mgmRF O 5121 ?? ??? gyC 54???分析 C輪可知： B‘為輪 C上的點(diǎn) 沿 Y軸投影，得： 代入（ b）（ c）解得： 再解得： C ynBCa ?CaτBCa ?B‘ C?聯(lián)合求解得出角加速度，再求繩子內(nèi)力。 FKK WEE ??? 0τ BCn BCCB aaaa ??? ??? ????解 2： )( )( eOO FMJ ???? 聯(lián)合求解得出角加速度，再求繩子內(nèi)力。 τ BCn BCCB aaaa ??? ??? ????解 3： 理論力學(xué) 動力學(xué) 62 C B ? mg FOy F FN mg FOx ?C ?B vC D A mg vA aC aA 例 612 有三個相同的滑輪，視為圓盤，質(zhì)量為 m，半徑為 R，用繩纏繞連接 ,如圖示。斜面粗糙，不計(jì)滾阻。求 A、 C二輪質(zhì)心的加速度，斜面的摩擦力。 解： 單獨(dú)研究三個滑輪，受力分析，運(yùn)動分析，列動力學(xué)方程： Ra CC ?? ?E BC ?? ?… .① )(21212 RFFmRB ?????s i n2 mgFFma C ????RFmR C ???221對定滑輪 B： 對動滑輪 C： 1Fmgma A ??RFmR A ?? 1221 ?對動滑輪 A： …. ② ……. ③ .... ⑥ …….. ⑦ ….. ④ …… ⑤ AA Rga ?21?? …….. ⑧ F2′ F1 F1′ F2 理論力學(xué) 動力學(xué) 63 τ AEn AEAE aaaa ??? ??? ????AAτAEAyEERaaaaa?????? ?? AACE Raaa ?????分析 A輪可知： E′為輪 A上的點(diǎn) 沿 Y軸投影，得： A yn AE?aAa? AE?aE′ C?…… ⑩ 聯(lián)合 ⑧⑨⑩ 求解得出 : 先③④② +（④⑤①） +⑥ 得出： )s i n1(2 ???? gaa AC …… ⑨ ga A 7 )s i n5( ??? ga C 7)s i n31( ???gRA 7 )s i n2(2 ?? ?? mgF 14 )s i n31( ???理論力學(xué) 動力學(xué) 64 D mg A B C Kl mg ? A B C ND Fmax ? ? nCa?CavC 例 613 均質(zhì)桿 AB，質(zhì)量為 m，長度為 l，偏置在粗糙的平臺上，自水平位置無初速度繞臺角轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)至某角度時開始滑動。若已知質(zhì)心偏置系數(shù) K和靜滑動摩擦系數(shù) f，求桿開始滑動時的角度。 解： ① . 桿要滑動時角度為 ? ，畫受力、運(yùn)動如圖。 定軸轉(zhuǎn)動微分方程： )(Σ )( eDD FMJ ????? c o s)(121 22 ????????? ? KlmgKlmml (1) ② 桿從水平到 ? 時， 應(yīng)用動能定理： FKK WEE Σ0 ???? s i n0)(12121 222 ?????????? ? KlmgKlmml (2) 理論力學(xué) 動力學(xué) 65 ③ 桿要滑動時 ， 應(yīng)用 質(zhì)心運(yùn)動定理： ???????)()(ΣΣennCeCFmaFma ???????????2???KlaKlanCC式中 ????????????m a x2 s i nc o sFmgKlmNmgKlm D????(3) (4) 補(bǔ)充： DfNF ?ma x(5) ④ 聯(lián)立方程 (1)~(5)，解得 21361t a n Kf????可見，桿滑動時的角度只與質(zhì)心 偏置系數(shù) K 和 摩擦系數(shù) f 有關(guān)，與桿的長度和質(zhì)量無關(guān)。 D mg ? A B C ND Fmax ? ? nCa?CavC 理論力學(xué) 動力學(xué) 66 1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動能 2 力的功 3 質(zhì)點(diǎn)動能定理 4 質(zhì)點(diǎn)系動能定理 5 功率、功率方程、機(jī)械效率 6 機(jī)械能守恒定律 本章主要內(nèi)容