【正文】 ???（（設(shè)其不顯含時(shí)間，則對全同粒子是一樣的，II 單粒子波函數(shù) 稱為單粒子波函數(shù)。.)2,1()( ?nq ni?（一） 2 個(gè)全同粒子波函數(shù) III 交換簡并 粒子 1 在 i 態(tài)，粒子 2 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為： ?????????)()(), 2121 qqqqEjiji????（驗(yàn)證： ),),?2121 qqEqqH （（ ???粒子 2 在 i 態(tài)，粒子 1 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為： ?????????)()(), 1212 qqqqEjiji????（。故稱該簡并為交換簡并互換得到，狀態(tài)可通過兩種能量是簡并的，由于這（和（狀態(tài)211221 ),),qqqqqq???)()()](?)(?[),)](?)(?[ 212022212022 qqqHqHqqqHqH ji ?????? （)]()(?)[()()]()(?[ 22022110 qqHqqqqH jiji ???? ??)()()()( 2121 qqqq jijjii ?????? ??)()()( 21 qq jiji ???? ?? ), 21 qqE （??IV 滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成 全同粒子體系要滿足對稱性條件，而 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 僅當(dāng) i = j 二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對稱波函數(shù)； 當(dāng) i ? j 二態(tài)不同時(shí)，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 不能用來描寫全同粒子體系。 構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù) )],),[),)],),[),122121122121qqqqCqqqqqqCqqAS（（（（（（??????????C 為歸一化系數(shù) 顯然 ?S (q1,q2) 和 ?A (q1,q2) 都是 H 的本征函數(shù)，本征值皆為 ： jiE ?? ??V ?S 和 ?A 的歸一化 若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的， 則 ? (q1,q2) 和 ? (q2 , q1) 也是正交歸一化的 證： 1)()()))())()),),222*111*21212*1*212121*?????? ?????dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjjiijiji????????（（（（（（同理： 1),),211212* ????? dqdqqqqq （（0)()()))())()),),222*111*21211*2*212112*?????? ?????dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjiijjiji????????（（（（（（而 同理： 0),), 211221* ????? dqdqqqqq （（證畢 首先證明 21122112*21*221*)],),)][,),[1dqdqqqqqqqqqCdqdqSS（（（（ ??????????????然后考慮 ?S 和 ?A 歸一化 211212*1221*2112*2121*2)],),),),),),),),[dqdqqqqqqqqqqqqqqqqqC（（（（（（（（????????????? ??212]1001[ 22 ???????? CCC則歸一化的 ?S )],),[21),122121 qqqqqqS （（（ ?????同理對 ?A 有： )],),[21),122121 qqqqqqA （（（ ?????上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時(shí)， ?????????)()(),)()(),12122121qqqqqqqqjiji????（（ 但是下式仍然成立 ???????????),),),?),),),?121221212121qqEqqqqHqqEqqqqH（（（（（（)],),[21), 122121 qqqqqqAS （（（ ?????歸一化的 ?S ?A 依舊 因 H 的對稱性式 2成立 （ 1） Shrodinger 方程的解 上述對 2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到 N個(gè)全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用，單粒子 H0 不顯含時(shí)間，則體系 )(?)(?)(?)(?? 0102022 nNnNqHqHqHqHH ??????? ???????????)()()?)()()?)()()?022201110NkkNkNjjjiiiqqqHqqqHqqqH?????????（（（????????????????????????)()()(),(?2121 NkjiNkjiqqqqqqEEHS h r od i n ge r?????????其解為：方程：體系單粒子本征方程： （二） N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù) （ 2） Bose 子體系和波函數(shù)對稱化 )]())()[21)],),[21),1221122121qqqqqqqqqqjijiS???? （（（（（???????2 個(gè) Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)是： 1， 2 粒子在 i， j態(tài)中的一種排列 N 個(gè) Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是： )]()()[), 2121 NkjipNSqqqpCqqq ??? ?? （（ ???N 個(gè) 粒子在 i， j … k 態(tài)中的一種排列 歸一化系數(shù) 對各種可能排列 p 求和 !!1NnC kk???歸一化系數(shù)： nk 是單粒子態(tài) ?k 上的粒子數(shù) 例 : N = 3 Bose 子體系 ,，設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別記為 ?1 、 ?2 、 ?3 ，求：該體系對稱化的波函數(shù)。 )]()())()())()())()())()())()()[31),233211331221132231231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS??????????????????（（（（（（（???????I。 n1=n2=n3=1 II。 n1=3， n2=n3=0 n2=3， n1=n3=0 n3=3， n2=n1=0 )()()), 312111321300 qqqqqqS ???（（ ??)()()), 322212321030 qqqqqqS ???（（ ??)()()), 332313321003 qqqqqqS ???（（ ??III。 n1=2， n2=1， n3=0。 )]()())()())()()[!3 !0!1!2), 122131223111322111321210 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ???? 另外還有 5 種可能的狀態(tài)，分別是： n1=1， n2=0， n3=2 )]()())()())()()[!3 !2!0!1), 132331331321332311321102 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=0， n2=1， n3=2 )]()())()())()()[!3 !2!1!0), 132332331322332312321012 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=0， n2=2， n3=1 )]()())()())()()[!3 !1!2!0), 132232233212332212321021 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=1， n2=2， n3=0 )]()())()())()()[!3 !0!2!1), 122231321221322211321120 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=2， n2=0， n3=1 )]()())()())()()[!3 !1!0!2), 132131233111332111321201 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????附注： 關(guān)于重復(fù)組合問題 從 m 個(gè)不同元素中每次取 n 個(gè)元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為： （ m 可大于、等于或小于 n ） nmC~)!1(!)!1(1~??????? mnnmCC nnmnm重復(fù)組合與通常組合不同，其計(jì)算公式為： 通常組合計(jì)算公式： )!(!!nmnmC nm ??重復(fù)組合計(jì)算公式表明： 從 m個(gè)不同元素中每次取 n個(gè)元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（ m+n1）個(gè)不同元素中每次取 n個(gè)元素的普通組合的種數(shù)。 應(yīng)用重復(fù)組合，計(jì)算全同 Bose 子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。 如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)從 3 個(gè)狀態(tài)中每次取 3 個(gè)狀態(tài)的重復(fù)組合問題。 10)!35(!3!53531333~3????? ?? CCC（ 3） Fermi 子體系和波函數(shù)反對稱化 2 個(gè) Fermi 子體系，其反對稱化波函數(shù)是： )()()()(21)],),[21),2121122121 qqqqqqqqqqjjiiA ?????????? （（（行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化 推廣到 N 個(gè) Fermi 子體系： )()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq????????????????? ?? （兩點(diǎn)討論 I。行列式展開后，每一項(xiàng)都是單粒子波函數(shù)乘積形式， 因而 ?A 是 本征方程 H ? = E ? 的解 . II。交換任意兩個(gè)粒子，等價(jià)于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)， 由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號(hào)，故是反對稱 化波函數(shù)。此行列式稱為 Slater 行列式。 （ 1）二 Fermi 子體系 其反對稱化波函數(shù)為： )()()()(21)]())()[21),2121122121 qqqqqqqqqqjjiijijiA ???????? ???? （（（若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于 i 態(tài)，則 0)]())()[21), 122121 ???? qqqqqq iiiiA ???? （（（)()()()(212121qqqqiiii?????寫成 Slater 行列式 兩行相同，行列式為 0 （ 2） N Fermi 子體系 )()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq????????????????? ?? （（三） Pauli 原理 0)()()()()()()()()(!1),21212121 ???NkkkNiiiNiiiNAqqqqqqqqqNqqq?????????????????（如果 N 個(gè)單粒子態(tài) ? i ?j …… ?k 中有兩個(gè)相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為 0，即 兩行同態(tài) 上述討論表明， N Fermi 子體系中，不能有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上Fermi 子處于同一狀態(tài)，這一結(jié)論稱為 Pauli 不相容原理。波函數(shù)的反對稱化保證了全同 Fermi 子體系的這一重要性質(zhì)。 （ 3）無自旋 ——軌道相互作用情況 在無自旋 ——軌道相互作用情況，或該作用很弱，從而可略時(shí)，體系總波函數(shù)可寫成空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)乘積形式： ),),),。, 21212211 NNNN sssrrrsrsrsr ????????? （（（ ????若是 Fermi 子體系，則 ? 應(yīng)是反對稱化的。 對 2 粒子情況，反對稱化可分別由 ? ? 的對稱性保證。 I。 ? 對稱， ? 反對稱； II。 ? 反對稱， ? 對稱。 （