[理學(xué)]22函數(shù)的極限-資料下載頁
2025-02-18 19:33本頁面
【正文】 Axf n或 .)}({lim Axf nn ???設(shè)定理 4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 ) 極限 存在的充要條件為對(duì)于 f (x) 定義域內(nèi)任一收斂于 x0的數(shù)列 {xn}, 相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 {f (xn)}均收斂 . 且滿足 : 0xxn ?),( ?? Nn★ )(lim0xfxx ? 函數(shù)的極限 歸并原理 ,也稱海涅 (Heine)定理 證 ?滿足定理中條件的函數(shù)值數(shù)列 {f (xn)} 極限均相等 , 不存在若 )(l i m0xfxx ? ,)(l i m0Axfxx ??使得對(duì)于任給 ,?? Nn數(shù)列 {xn}滿足 , 00 xxxx nn ?? 且某個(gè) 但 {f (xn)}不趨向于 A, 矛盾 . 32 由 定理 4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 )可把 函數(shù)極限的許多性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限去討論 . 它還可證明函數(shù) f (x)極限不存在 , 用 只要找出兩個(gè) 數(shù)列 ,}{},{ 0xxx nn 都收斂于? ,0 xxxx nn ???且)}({)},({ nn xfxf ?但 卻收斂于不同的 極限 , 或者找出 一個(gè)數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列發(fā)散即可 . 函數(shù)的極限 33 例 .1s in,0 的極限不存在函數(shù)時(shí)證明當(dāng) xx ?證 取 ?}{ nx ,π1 ??????n ??}{ nx,0li m ??? nn x ,0li m ???? nn x ,0?nx且 ,0??nx 而 ??? nn x1s inli m0,πs inlim ??? nn???? nn x1s inli m 1,π)21π2(s inlim ????nn兩者不相等 . .1s in,0 的極限不存在函數(shù)時(shí)故當(dāng) xx ?π21π21?n ?????? 函數(shù)的極限 34 注 以上定理也適用于其它極限過程 )(lim xfx ??等 (包括單側(cè)極限 ), 其結(jié)論只 需根椐其極限過程 , 的自變量范圍 . 改動(dòng)使不等式成立 和 函數(shù)的極限 35 1. 函數(shù)極限的 ?? ?或 X?? 定義 。 2. 函數(shù)極限的性質(zhì) 局部保號(hào)性 。 四、小結(jié) 唯一性 。 局部有界性 。 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 。 3. 函數(shù)的左右極限判定極限的存在性 . 函數(shù)的極限 36 思考題 (A) 先給定 后唯一確定 。 ??極限定義中 與 的關(guān)系是 ( ). ? ?(C) 先確定 后給定 。 ? ?(D) 與 無關(guān) . ? ? B (1) (B) 先確定 后確定 , 但 的值不唯一 。 ? ? ? 函數(shù)的極限 37 (2) 如果 與 存在 , 則 ( ). )(l im0xfxx ?? )(lim0xfxx ??(B) 存在但不一定有 )(lim0xfxx ? )。()(l i m 00xfxfxx ??(C) 不一定存在 。 )(lim0xfxx ?)(lim0xfxx ?(D) 一定不存在 . (A) 存在且 )。()(l i m 00xfxfxx ??)(lim0xfxx ?C 函數(shù)的極限 38 (3) 試證 311l i m31???? xxx[提示 ] 僅需在 附近討論問題 , 1?x 如限定 ,1,20 ??? xx 即限定在 1|1|0 ??? x 范圍內(nèi)討論 問題 . 3113???xx |1| ?x,0???,4,1m i n ??????? ??取)1)(1(1 23 ????? xxxx)1)(2(22 ????? xxxx|1||2| ??? xx 4?證 ,10 時(shí)當(dāng) ???? x3113???xx有 ,?? .311lim 31???? xxx所以 )( 定義?? ??? 函數(shù)的極限 39 作業(yè) 習(xí)題 (第 27頁 ) 函數(shù)的極限
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