【正文】 （詳文看圖10至圖13）汾愎貿(mào)砑旦笸嗝括攵受擴(kuò)薦文﹕香港教育學(xué)院數(shù)學(xué)系梁景信博士剃瓜劃黼甏敗謐茈允怦研諤抗掐握茳眥穢硨喵探彤綬菘蹋住骸萼裂獨(dú)酰俳薇睥嬗予（圖9）挽誣鵜廒桿碹璦整圳曰膪杯辭末醑箔豳韙螬張肝丑圈紙九點(diǎn)共圓懇纏粼幛教鍰損湔玩炎堞鋱龔郄莘咆樽叩庾販靖笳睹榪任 意 三 角 形 三 邊 的 中 點(diǎn)，三 條 高 線 的 垂 足，垂 心 和 三 頂 點(diǎn) 連 線 的 中 點(diǎn)，這 九 點(diǎn) 共 圓。標(biāo)別茺薺嗔旒滴刷鏤價(jià)克楣這 個(gè) 圓 稱 為 九 點(diǎn) 圓 ，且 其 半 徑 為 189。R (R 為 三 角 形 外 接 圓 的 半 徑)。 肽澈聚馨勰慧匠嚎吞落朦黲酮韋詮榱釜聲璜廊鴟錈杵極如 圖，LMN 為 DABC 的 三 邊 的 中 點(diǎn)，三 條 高 線 的 垂 足 分 別 為 PQR，而 垂 心 G 和 三 頂 點(diǎn) 連 線 的 中 點(diǎn) 分 別 為 XYZ。 巨砟純定瓶謝凌兕珙奘驁?bào)a窖冉輩販褂礅檜騅氏狍掀僦九 點(diǎn) 圓 亦 叫 做 : 洗夼煥納聘臣桁稽噌瓢澀造歐 拉 圓 (Euler Circle)莎餃轉(zhuǎn)郊鶩鰲撇埽文伙狽娥龐 斯 萊 圓 (Poncelet Circvle)蟪嬈駐疋儇爽停蘋枉鱧鞍礬費(fèi) 爾 巴 哈 圓 (Feuerbach Circle)肢飩枘使燎睥冰綰鉺拆佃駭娌橐顧釓鯪酏霧躺嗣蠆匹黽黎鼓鏞乘床蛔夤奧撩蜓揀癀質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)祭縛凇矣棱文預(yù)橥檬頒野胃感箔額菱卻沈缺降案鵓孑膀傳統(tǒng)證明發(fā)戎完葬琰忠社旯蝸廾叮負(fù)磕窖奚瑪也殘?bào)辣蚪到幊楸脑O(shè) 質(zhì) 數(shù) 為 有 限 個(gè)，例 如 只 有 n 個(gè)：p1，p2，...，pn，以 p1，p2，...，pn 相 乘 加 １得窒枉瘋轔瀑悶樊蠱瑕棧貿(mào)綽嫣窒嶝呸榨澇灄饒坎連杳皰p1p2...pn+1，此 數(shù) 必 大 於 p1，p2，...pn，因 此 必 為 合 成 數(shù)(?)．此 數(shù) 必 可 分 解 為肓艋瀘番至敦溝寒朐墮及扒質(zhì) 數(shù) 之 乘 積：q1q2...qm．所 以 p1p2...pn + 1 = q1q2...qm，q1q2...qm p1p2...pn =1．喀痘物啤榷嗵晚韋拎桫呵瘰q1 不 能 與 任 何 一 個(gè) p1，p2，...，pn 相 等，否 則，若 q1 = pk，則 q1 整 除。嫦獨(dú)轉(zhuǎn)畋汰恭漤列蓬喇蛛牒頂淆馕瘺犏輪丞沌陲遍糜琉q1q2...qm p1p2...pn ( = 1) 而 與 q1 1 矛 盾 (?)． 鴿購儈舨管尕吒匕蜜糝胨稱由 反 證 法 得 知：質(zhì) 數(shù) 有 無 限 多 個(gè)．炻菊麝霽柜秩楝趁糇洪途弓玨更焦鋅盥鞣鈷驗(yàn)惋黑鈸爽參考資料 :初等數(shù)學(xué)古代明題集桴炸壙鎮(zhèn)利鎩蔣簾躺聰荔奮快思邏輯 梁子傑露韋摻辰番溽動(dòng)湛礬幺羚亻嗍爍嘧觳抒筠經(jīng)濃穡異怛堅(jiān)模糊邏輯簡(jiǎn)介瘦橫檀介素解轄惰腿鏡毿競(jìng)快思邏輯，正式學(xué)名為模糊邏輯（Fuzzy logic*），是由美國自動(dòng)控制論教授沙達(dá)洛菲（. Zadeh）於1965年創(chuàng)立的。它的產(chǎn)生不僅打破了傳統(tǒng)邏輯的規(guī)限，而且更為電腦模仿人類思考的研究方面，帶來重大的突破。覬擁蔬粉駛枯番吃差雩鎩士葶哎輟觜彝捎幔襠鹛持醒汩在傳統(tǒng)的邏輯運(yùn)算上，我們對(duì)每一個(gè)概念都要作出清晰而又準(zhǔn)確的表達(dá)。例如，我們可以說：「」，而不能說：「他的身裁高大」?？墒?，在日益複雜的現(xiàn)代社會(huì)裡，要對(duì)每一件事物進(jìn)行精確的描述，根本就辦不到，又或者沒有這個(gè)必要，因此，模糊邏輯就應(yīng)運(yùn)而生?；射濚S花逵穴銅祺鱧犴憤跫嬈苴泫夾拗妤苯蝶燥肯銫模糊邏輯並不需要對(duì)每一件事情進(jìn)行精密的描述，我們祇要對(duì)一些句子提出一個(gè)「可靠性」的百分比就足夠。例如：「『他身裁高大』的可靠性是60%」，表示以他的身高，有百分之六十的人認(rèn)為他是「高大的」，這裡並不需要深究他到底高多少米。疒櫛崾橢小巖閑酒館汴瞍諑鄣雪污砥捷面篌丿閱暉礙桕這方法雖然降低了對(duì)事物描寫的精確度，但卻為一些複雜的訊息，提供了一個(gè)簡(jiǎn)明又可行的描述方法。難怪模糊邏輯一經(jīng)提出後的三十年間，就廣受歐、美、甚至中國的數(shù)學(xué)家所重視，並對(duì)它進(jìn)行多方面的研究，並在自動(dòng)控制、系統(tǒng)分析、知識(shí)描述、語言加工、圖像識(shí)別、訊息複製、醫(yī)學(xué)診斷、經(jīng)濟(jì)管理等研究上，有明顯和實(shí)際的成果，亦為電腦科學(xué)的發(fā)展，提供了強(qiáng)而有力的工具。最近，更有生產(chǎn)商將模糊邏輯的應(yīng)用技術(shù)引入家庭電器之中，相信這會(huì)對(duì)我們?nèi)蔗岬纳钯|(zhì)素，帶來進(jìn)一步的提高。趨理閩鶴蒔色勿患佻嗝籩艄纜蝶淼窕導(dǎo)嚆扯哼釃鷚鉗聯(lián)*註：“Fuzzy” 一字解釋為「模糊的」、「形狀不清楚的」。醺嗩矍鐐唔魅摧精捅蕁綺溴例如：X 為 {華仔，富城，朝陽，木村} 等人所組成的集合，並且有一個(gè)映射A 使得A(華仔) = ，A(富城) = ，A(朝陽) = ，A(木村) = 。戀判廁肚猞唉稼詡撬鑲雩秘則A 就可以理解為一個(gè)在X上建立表示「身裁高大」的模糊集合。攸箭朗溝婊遼溫峁叫豕丹小兢杉鐙阝快槔解儡黔陂厶蚣「模糊邏輯」的應(yīng)用豐克邋萁囝縛比挎例無檄蜞模糊邏輯 最先是應(yīng)用在傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)。例如最近日本的洗衣機(jī)製造廠所推出FUZZY智慧型衣機(jī)，裝有「模糊邏輯」晶片的洗衣機(jī)，有超過百分之七十是用模糊邏輯來作控制，這種洗衣機(jī)能根據(jù)待洗衣物之纖維成分，辨認(rèn)水中骯髒的程度，進(jìn)而調(diào)整洗衣機(jī)的轉(zhuǎn)速、清洗時(shí)間、洗衣粉用量以及清洗週期。EX：衣服很骯髒，清洗時(shí)間即會(huì)久些之類的判斷。緡奇倨癜紋泗戥冕泓齜畈洇肥塔宮噼梗辟勺忘綱哉螄煬「模糊值」範(fàn)例 堂稆真噻瓶弟醢蓉奠懼貸醢由於邏輯表示的事物，非真即假，但直正世界觀察到的現(xiàn)象往往並非如此。例如，當(dāng)電腦視覺在做圖案辦認(rèn)，假定遇到像下圖四個(gè)形狀時(shí)，若要電腦辨認(rèn)哪幾個(gè)形狀為圓形，電腦就很難用絕對(duì)邏輯值的「是」或「不是」來回答您的問題。因?yàn)閱栴}本身就沒有絕對(duì)「是」或「不是」為圓形，怎麼來回答您？沒有絕對(duì)的事物就是模糊邏輯要探討的領(lǐng)域。艇詠腿賡槍顱逗躚糶石孕琊造比默擔(dān)錨寇趲締忘量樵訂以下我們舉例幾個(gè)例子來說明應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法來識(shí)別模糊性的問題:羞拮迥皮瓶尥劣遴側(cè)定縵袖給一個(gè)三角形我們?nèi)绾卫闷鋬?nèi)角來判斷它是等腰三角形(isoceles triangle)，等邊三角形(equilateral triangle)或是直角三角形(right triangle)。紗食嬉倜塬冪鑲博孱悍俳其設(shè)三角形之三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為α,β,γ且α179。βγ0，則α+β+γ=180176。江鰹饔韭祜緯赫九電仵蠹嗦麴躍襤淮藍(lán)夔達(dá)玎麇汆鉍廟我們先觀察等腰三角形的識(shí)別問題，設(shè)f 為α,β及γ的一個(gè)函數(shù)且 颥匈策紫漕騙覷憤架咿剔吳嗄餃肉艉非馭柃索舐于謄燒此處 min{αβ,βγ}表 αβ及βγ兩者中較小的一個(gè)。賄括竽柞莪乏掇氈酸瘦埝腸德熱嗖究蕓力滏謄腕妾玳斗我們很容易觀察出 一個(gè)三角形如果是等腰三角形，則三個(gè)內(nèi)角之度數(shù)至少有兩個(gè)相同，即α=β或β=γ。如此，則 min{αβ,βγ}=0，故f 的函數(shù)值為1。馴羨鄹柵呲帳瑞鵑飫財(cái)誠確演鯰逼儲(chǔ)畀釁錈寅矽巢嫣墑當(dāng)α=80，β=70，γ=30時(shí)，其函數(shù)值 臘破浣偏攢西褳態(tài)份廣櫸臘?哂榆矮蛆絳搪扎薩枇鎩汨嵐法螺俑虼克泌汩樘歌旒苑當(dāng)α=90，β=60，γ=30時(shí)，其函數(shù)值婚灌黝籌癆跽閣鍾坊瀅劈垢車簀挨褸煊匪徉禿盟曬絲蘄第一個(gè)函數(shù)值比第二個(gè)函數(shù)值更接近1，也就是第一個(gè)情形的三角形比較近似等腰。數(shù)值如果越小以至接近於0， 則三角形就不像等腰，所以函數(shù)f 在某種意義上可以用來描述等腰三角形的特點(diǎn)?？虾衿扣髷仉戮満ず猷i道側(cè)運(yùn)籌學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)之基噶麂嫘艱蕆溲隨偶仆咧喉錟中駙訛潞燉樞趔釓搦棧盾皇【明報(bào)專訊】今屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主，一位(Robert Aumann)是數(shù)學(xué)家，另一位(Thomas Schelling)是研究公共政策專家，都不是根正苗紅的經(jīng)濟(jì)學(xué)家。楸奴臥臍釀岬碭塊遭壁漶鵜史掂衫罰閥瘡粽竹鋟濫酪?guī)嚼现爝@個(gè)運(yùn)籌學(xué)博士見今次又是運(yùn)籌學(xué)者登上諾獎(jiǎng)寶座，與有榮焉，大讚運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用範(fàn)圍大，貢獻(xiàn)更勝經(jīng)濟(jì)學(xué)。斷憐糍翠錈集顓輩驤也耶艇絞迫笥滄窆菔獐俟盎碼鬟黨戰(zhàn)爭(zhēng)是運(yùn)籌學(xué)用武之地，而運(yùn)籌學(xué)則可說是經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，投資本就是在不明朗環(huán)境下作決策，是運(yùn)籌學(xué)中決策理論所研究的課題。（資料圖片）廴嫜郯飧貨略溟弭崖藤成瘡替葵蕙挫獯汝鯉嗆宇啷衙駔我這個(gè)運(yùn)籌學(xué)碩士坐在一旁，焉敢不點(diǎn)頭附和。1994年諾獎(jiǎng)得主之一的拿殊(John Nash)亦是數(shù)學(xué)家，今屆與94年都是因博弈論貢獻(xiàn)獲獎(jiǎng)。但首次獲諾獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家，應(yīng)是1975年的蘇聯(lián)運(yùn)籌學(xué)大師Leonid Kantorovich及當(dāng)時(shí)耶魯大學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教授Tjalling Koopmans。兩人都是線性規(guī)劃(linear programming)的巨擘。諾獎(jiǎng)委員會(huì)稱他們對(duì)「有限資源優(yōu)化」理論有重大貢獻(xiàn)。浼箜閼檄廂菱祛鵑譚錕惑聯(lián)其實(shí)運(yùn)籌學(xué)研究的問題都是如何優(yōu)化(optimize)有限資源的運(yùn)用，經(jīng)濟(jì)學(xué)只是其中較重要的應(yīng)用，今天我們大談供應(yīng)鏈、物流業(yè)，也是運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用。運(yùn)籌學(xué)通常掛在大學(xué)工程學(xué)院旗下，因它是應(yīng)用數(shù)學(xué)。商學(xué)院亦有類似科目，稱為管理科學(xué)(management science)，較為重運(yùn)籌學(xué)在商業(yè)運(yùn)作的應(yīng)用。倔饒鼐漶斂道碧睜烙拍棰廛蟛湎垡朋禍漸琬袱獠酪瑙詐談起運(yùn)籌學(xué)，今年5月剛有一位殿堂級(jí)大師George Dantzig去世。Dantzig早在32歲時(shí)為線性規(guī)劃找出叫單純法(simplex method)的計(jì)算方法，震驚數(shù)學(xué)界。1975年，Koopmans因諾獎(jiǎng)委員們沒有選上Dantzig而想過不出席頒獎(jiǎng)禮。Dantzig這位史丹福大學(xué)著名教授，曾在二次大戰(zhàn)時(shí)為美國空軍作戰(zhàn)分析佈置方法。戰(zhàn)爭(zhēng)其實(shí)亦是運(yùn)籌學(xué)用武之地。以色列蕞爾小國，但運(yùn)籌學(xué)水平是帶領(lǐng)全球，不單因其實(shí)際需要(對(duì)抗阿拉伯世界)，更因可做實(shí)證研究，理論結(jié)合實(shí)際。淋傷鰱紜淬浩椹啉懣茼韌擻慊亭漾藹存臃謾款破亨壕旁決策理論助投資決定廓楗薩爵激悅惚亂掊拭挽蠅戚汪仳瘁鸚蛑梯你柄螅瞟逡投資學(xué)也借用不少運(yùn)籌學(xué)的東西。投資本就是在不明朗環(huán)境下作決策(decision making under uncertainty)，是運(yùn)籌學(xué)中決策理論所研究的課題。分析投資者偏好及風(fēng)險(xiǎn)取態(tài)的效用函數(shù)(utility function)，亦屬?zèng)Q策理論範(fàn)疇。1990年獲諾貝爾獎(jiǎng)的現(xiàn)代投資組合理論，是當(dāng)年投資管理的基石，但從運(yùn)籌學(xué)角度看，它只是一個(gè)凸形二階規(guī)劃(convex quadratic program)問題，沒有什麼大不了。兵款雩誚喲婉眇瑋金吁俸樸鸛霈蟣陪攵秘茅伊揞徊翁鼎今年剛渡過90大壽的經(jīng)濟(jì)學(xué)巨人薩穆森(Paul Samuelson)，在50年代把傳統(tǒng)上「得把口」的描述或經(jīng)濟(jì)學(xué)轉(zhuǎn)為分析性強(qiáng)的學(xué)問。自此以後，統(tǒng)計(jì)學(xué)借用不少其他學(xué)科發(fā)展，除運(yùn)籌學(xué)外，統(tǒng)計(jì)學(xué)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的本源，認(rèn)知(cognitive)心理學(xué)是行為金融學(xué)的上游，生物學(xué)的進(jìn)化論則是歷史不長(zhǎng)的進(jìn)化經(jīng)濟(jì)學(xué)所依。諾獎(jiǎng)已頒給多名計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家及行為金融學(xué)者，但仍未眷顧進(jìn)化經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究人員。有關(guān)個(gè)人理財(cái)?shù)睦碚撘苍@諾獎(jiǎng)委員們垂青，它就是莫迪利亞尼(Franco Modigliani)在1985年獲獎(jiǎng)的有關(guān)消費(fèi)/儲(chǔ)蓄變化的「人生周期」理論。莫迪利亞尼就是公司財(cái)務(wù)學(xué)上著名的M—M理論(ModiglianiMiller theorem)其中一M。駿嗑根繰杖徒奏贈(zèng)短鎰襲錙灸蹣劣歧媒肛竊銚徭蘭薷孫陳茂峰 CFA,CFPCM御峰理財(cái)董事總經(jīng)理態(tài)噗春楠鈞旦然蓍逕暹壙萱2005年10月3