【正文】 稱為這個向量組的秩 ( rank ) . 特別規(guī)定 : 零向量組 0, 0, …, 0 的秩為零 . 刻畫本質的不變量 ? 向量組 線性無關 當且僅當向量組的秩等于向量個數(shù) s . 向量組的秩 = 向量個數(shù) ? 線性無關 向量組的秩 向量個數(shù) ? 線性相關 s21 ??? , ?定理 : 若向量組 Ⅰ 能線性表出向量組 Ⅱ , 則 Ⅰ 的秩 ≥ Ⅱ 的秩 . 證 : 設 是 Ⅰ 的極大無關組 , 是 Ⅱ 的極大無關組 , 則 Ⅰ 的秩 = r , Ⅱ 的秩 = s . r21 ??? , ?s21 ??? , ? 組 Ⅰ 組 Ⅱ 由前面定理， Ⅰ 的秩 = r ≥ s = Ⅱ 的秩 . r21 ??? , ?s21 ??? , ?線性表出線性表出線性表出線性表出? 定理 : 如果向量組 Ⅰ 能線性表出向量組 Ⅱ , 則 Ⅰ 的秩 ≥ Ⅱ 的秩 . ? 推論 : 如果向量組 Ⅰ 與向量組 Ⅱ 等價 , 則 Ⅰ 的秩 = Ⅱ 的秩 . 即等價的向量組有相同的秩 . ? 定理 : 如果向量組的部分組滿足以下 任何兩個條件 , 則第三個也成立 : 1) 部分組線性無關 。 2) 部分組能線性表出向量組 。 3) 部分組向量個數(shù)等于向量組的秩 . ? 1) + 2) ? 3) : 定義 ? 定理 : 如果向量組的部分組滿足以下 任何兩個條件 , 則第三個也成立 : 1) 部分組線性無關 。 2) 部分組能線性表出向量組 。 3) 部分組向量個數(shù)等于向量組的秩 . ? 只證 1) + 3) ? 2) : 不妨設向量組的部分組 線性無關，且 r = 向量組的秩 . 以下證明該部分組能線性表出向量組 : 在 向量組中任取一向量 ? , 向量組 能線性表出 ? 向量組的秩 r ≥ 的秩 r21 ??? , ?β, r21 ??? ?β, r21 ??? ?個1r ? 不妨設向量組的部分組 線性無關，且 r = 向量組的秩 . 以下證明該部分組能線性表出向量組 : 在 向量組中任取一向量 ? , 向量組 能線性表出 ? 向量組的秩 r ≥ 的秩 ? 線性相關 ? 能線性表出 ? r21 ??? , ?β, r21 ??? ?β, r21 ??? ?β, r21 ??? ?r21 ??? , ?? 定理 : 向量組的部分組如果滿足以下 任何兩個條件 , 則第三個也成立 : 1) 部分組線性無關 。 2) 部分組能線性表出整個向量組 。 3) 部分組向量個數(shù)等于整個向量組的秩 . 第三章 向量空間 1 向量空間 2 線性相關與線性無關 3 向量組的極大無關組與秩 4 子空間的基與維數(shù) 5 矩陣的秩 6 線性方程組解的結構 7 向量空間之間的線性映射 秩極大無關組 ,無關線性相關 ,線性表出線性組合 ,八條性質兩種運算一個集合 ,計算?向量組的計算 : ? 求向量組的秩及一個極大無關組 , 并將其余 的向量用此極大無關組線性表出 . 10453454020635240183矩陣列向量組的計算 : ? 定義 : 矩陣列向量組的秩稱為矩陣的列秩 , 行向量組的秩稱為矩陣的行秩 . 10453454020635240183 簡化階梯形矩陣 J 的列秩 主元對應的列向量組線性無關 ?????????????000001000010001edbcaJ? ?54321 ????? ?????????????000001000010001edbcaJ? ?54321 ?????213 ??? ba ?? ?????????????000001000010001edbcaJ? ?54321 ?????4215 ???? edc ??? 構成列向量組的極大無關組 ?????????????000001000010001edbcaJ? ?54321 ?????421 , ??? 簡化階梯形矩陣 J ? 主元 (對應的 )列向量組構成 J 列向量組的 一個極大無關組 . ? 其余列向量可以表示為該極大無關組的 線性組合 , 組合系數(shù)依次為列向量的 各個分量 . ? J 的列秩等于主元個數(shù)（非零行個數(shù)） . ?????????????????? ??000000000000410000301000202210100301J? ?654321 ???????J一個極大無關組構成5421 , ?????????????????????? ??000000000000410000301000202210100301J? ?654321 ???????J213 23 ??? ????????????????????? ??000000000000410000301000202210100301J? ?654321 ???????J54216 432 ????? ???? 一般矩陣 A 的列秩，極大無關組 A J A 的列秩 = J 的列秩 初等行變換? ?????????????442221221ccbbaa4321 ββββ21 ββ2 ???????????? 221 bb4321 γγγγ212 γγ ?221 ?aa442 ?cc ?????????????442221221ccbbaa4321 ββββ??????????? 221 bb4321 γγγγ221 ?aa442 ?cc432 βββ ?? 432 γγγ ??對矩陣做初等行變換，矩陣列向量組 之間的線性關系不變 ?????????????442221221ccbbaa4321 ββββ432 βββ ????????????????acacbbaa22002212214321 γγγγ432 γγγ ??? 2 21 ββ2 ?212 γγ ?42242 ?aa? 對矩陣 A 做初等行變換得到矩陣 B ，若 A 的列向量組滿足線性關系 k1?1 + k2?2 + … + kn ?n = 0 ， 則 B 的列向量組也滿足線性關系 k1 ?1 + k2 ?2 + … + kn ?n = 0 . ? 證明： 兩個齊次方程組 x1?1 + x2?2 + … + xn ?n = 0 ， x1 ?1 + x2 ?2 + … + xn ?n = 0 等解 . A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?0nn ???????kkk?22110nn ????βββ 2211kkk?A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?線性相關r21 iii??? , ?線性相關r21 iiiβ,β,β ?關無線性r21 iii??? , ?關無線性r21 iiiβ,β,β ?A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?r21iri2i1i????kkk?????r21iri2i1iββββkkk?????A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?表出其余向量線性無關且能r21 iii??? , ?表出其余向量線性無關且能r21 iiiβ,β,β ?A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?極大無關組列向量是 Ar21 iii??? , ?極大無關組列向量是 Br21 iiiβ,β,β ?列秩列秩 BA ?? 將向量組寫成列向量并排成一個矩陣 A 。 ? 對 A 做初等行變換 , 化為簡化階梯型矩陣 J 。 ? A 的主元列向量構成 A 列向量組的一個 極大無關組 , A 其余的列向量可以被該組 線性表出，組合系數(shù)依次是 J 相應列向量 的各個分量。 極大無關組的計算：