【正文】 ?????4324102xxxxx???????????? ?????????????? ??????????????11020244444321xxxxxxxx：，得到方程組的一個解＝令 14x?????????????11020????????? 4321 1102 ????431 2121??? ??：，得到方程組的一個解＝令 14x?????????????11020????????? 4321 1102 ????：，得到方程組的一個解＝令 14x?????????????1102314 2 ??? ??431 2121??? ?? 考察 n 方程 n 變元的齊次線性方程組 ???????????????????000nnn2n21n1n2n222121n1n212111xaxaxaxaxaxaxaxaxa?????0nn2211 ???? ??? xxx ? 1) 若 | A | = 0, 齊次方程組有非零解 2) 若 | A | ≠ 0, 齊次方程組只有零解 線性相關(guān)n21 ??? , ??nn21 K???? , ?給定列向量? ?n21A ??? ??記線性無關(guān)n21 ??? , ??例 : 判斷以下向量組的線性相關(guān)性 0εεε nn2211 ???? kkk ?0????? n21 kkk ?線性無關(guān)n21 εεε , ???????????????n21kkk?nn21 K100ε,010ε,001ε ????????????????????????????????????????????? Kn 的標準基 ?1 , ?2 , ? , ?n 線性無關(guān)； ? 標準基能線性表出 Kn 的每一個向量： ????????????n21bbb? nn2211 εεε bbb ???? ?????????????????1nn1n31n21n12n232221n3211111aaaaaaaaaaaa????????關(guān)列（行）向量組線性無例 : 判斷方陣行向量組的線性相關(guān)性 互異n21 aaa ?,? 向量組的部分組 的部分組：654321 , ??????。 2) 部分組能線性表出整個向量組 。 等價定義 1 ? 部分組線性無關(guān) 。 ? 向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價 . ? 兩個等價的向量組 , 向量個數(shù)是否有關(guān)系呢 ? ??????????????????????????????????????????11,11,11,11。 3) 部分組向量個數(shù)等于向量組的秩 . ? 1) + 2) ? 3) : 定義 ? 定理 : 如果向量組的部分組滿足以下 任何兩個條件 , 則第三個也成立 : 1) 部分組線性無關(guān) 。 3) 部分組向量個數(shù)等于整個向量組的秩 . 第三章 向量空間 1 向量空間 2 線性相關(guān)與線性無關(guān) 3 向量組的極大無關(guān)組與秩 4 子空間的基與維數(shù) 5 矩陣的秩 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 7 向量空間之間的線性映射 秩極大無關(guān)組 ,無關(guān)線性相關(guān) ,線性表出線性組合 ,八條性質(zhì)兩種運算一個集合 ,計算?向量組的計算 : ? 求向量組的秩及一個極大無關(guān)組 , 并將其余 的向量用此極大無關(guān)組線性表出 . 10453454020635240183矩陣列向量組的計算 : ? 定義 : 矩陣列向量組的秩稱為矩陣的列秩 , 行向量組的秩稱為矩陣的行秩 . 10453454020635240183 簡化階梯形矩陣 J 的列秩 主元對應的列向量組線性無關(guān) ?????????????000001000010001edbcaJ? ?54321 ????? ?????????????000001000010001edbcaJ? ?54321 ?????213 ??? ba ?? ?????????????000001000010001edbcaJ? ?54321 ?????4215 ???? edc ??? 構(gòu)成列向量組的極大無關(guān)組 ?????????????000001000010001edbcaJ? ?54321 ?????421 , ??? 簡化階梯形矩陣 J ? 主元 (對應的 )列向量組構(gòu)成 J 列向量組的 一個極大無關(guān)組 . ? 其余列向量可以表示為該極大無關(guān)組的 線性組合 , 組合系數(shù)依次為列向量的 各個分量 . ? J 的列秩等于主元個數(shù)（非零行個數(shù)） . ?????????????????? ??000000000000410000301000202210100301J? ?654321 ???????J一個極大無關(guān)組構(gòu)成5421 , ?????????????????????? ??000000000000410000301000202210100301J? ?654321 ???????J213 23 ??? ????????????????????? ??000000000000410000301000202210100301J? ?654321 ???????J54216 432 ????? ???? 一般矩陣 A 的列秩，極大無關(guān)組 A J A 的列秩 = J 的列秩 初等行變換? ?????????????442221221ccbbaa4321 ββββ21 ββ2 ???????????? 221 bb4321 γγγγ212 γγ ?221 ?aa442 ?cc ?????????????442221221ccbbaa4321 ββββ??????????? 221 bb4321 γγγγ221 ?aa442 ?cc432 βββ ?? 432 γγγ ??對矩陣做初等行變換，矩陣列向量組 之間的線性關(guān)系不變 ?????????????442221221ccbbaa4321 ββββ432 βββ ????????????????acacbbaa22002212214321 γγγγ432 γγγ ??? 2 21 ββ2 ?212 γγ ?42242 ?aa? 對矩陣 A 做初等行變換得到矩陣 B ，若 A 的列向量組滿足線性關(guān)系 k1?1 + k2?2 + … + kn ?n = 0 ， 則 B 的列向量組也滿足線性關(guān)系 k1 ?1 + k2 ?2 + … + kn ?n = 0 . ? 證明： 兩個齊次方程組 x1?1 + x2?2 + … + xn ?n = 0 ， x1 ?1 + x2 ?2 + … + xn ?n = 0 等解 . A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?0nn ???????kkk?22110nn ????βββ 2211kkk?A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?線性相關(guān)r21 iii??? , ?線性相關(guān)r21 iiiβ,β,β ?關(guān)無線性r21 iii??? , ?關(guān)無線性r21 iiiβ,β,β ?A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?r21iri2i1i????kkk?????r21iri2i1iββββkkk?????A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?表出其余向量線性無關(guān)且能r21 iii??? , ?表出其余向量線性無關(guān)且能r21 iiiβ,β,β ?A B初等行變換? ?n??? ?21 ? ?nβββ 21 ?極大無關(guān)組列向量是 Ar21 iii??? , ?極大無關(guān)組列向量是 Br21 iiiβ,β,β ?列秩列秩 BA ?? 將向量組寫成列向量并排成一個矩陣