[理學(xué)]第3章第2講極大無(wú)關(guān)組(編輯修改稿)
2025-02-15 14:54 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 s21 ??? , ?????? , s21 ?以下引理經(jīng)常用到 s21 ??? , ? 推論 : 設(shè) 線性無(wú)關(guān) , 則 不能被 線性表出 ? 線性無(wú)關(guān) . ?s21 ??? , ?s21 ??? , ????? , s21 ? 向量組 ? 1 , ? 2 何時(shí)線性相關(guān)？ 若 , 則 線性相關(guān) . 若 , 則 線性相關(guān) ? 能被 線性表出 0?1? 21 ,??0?1?21 ,??1?2?引理 o1?2?線性相關(guān)21 , ??3R0 ??21 , ??共線21 ,?? o1?2?線性無(wú)關(guān)21 , ??不共線21 , ??3R?21 ,?? o1?2?線性無(wú)關(guān)（不共線）設(shè) 21 , ???何時(shí)線性相關(guān)321 , ???線性表出能被 213 , ???共面321 , ??? 3? o1?2?3?, 213 線性表出不能被若 ???, 213 張成的平面內(nèi)不在即 ???線性無(wú)關(guān)321 , ??? o1?2?3?線性無(wú)關(guān)321 , ???線性無(wú)關(guān)的幾何直觀 線性無(wú)關(guān)（不共線）已知 21 , ??不共面321 , ???? o1?2?3?線性相關(guān)321 , ???線性相關(guān)的幾何直觀 線性無(wú)關(guān)（不共線）已知 21 , ??共面321 , ???? 線性相關(guān) 共線 線性相關(guān) 共面 21 ,?? 21 ,??321 , ??? 321 , ??? 作業(yè)： 167。 3 (1) (3) , 8 167。 2 (1) (3) , 6， 7, 11 167。 2, 4， 5, 7 利用線性方程組的理論 判定線性相關(guān)性 有非零解 ? ? 1 , ? 2 , … , ? s 線性相關(guān) 只有零解 ? ? 1 , ? 2 , … , ? s 線性無(wú)關(guān) 0ss2211 ???? ??? xxx ?ns21 K???? , ? 齊次線性方程組解的判定 定理 ：若 s 元 n 方程齊次線性方程組化為 階梯型方程組后有 r 個(gè)非零行 (主元 )，則 r ＝ s 方程組有唯一解（零解） r s 方程組有無(wú)窮多解 扁平形 齊次方程組 若變?cè)獋€(gè)數(shù) 方程個(gè)數(shù) ，齊次方程組 一定有非零解： ?????????????????098320552203725432143214321xxxxxxxxxxxx變?cè)?方程3 扁平形 齊次方程組 若變?cè)獋€(gè)數(shù) 方程個(gè)數(shù) ，齊次方程組 一定有非零解： 線 性相 關(guān)R3???????????????????????????????????????????953,857,322,225 推論：向量空間 Kn 中任意 n + 1 個(gè) 向量必線性相關(guān) . 線 性相 關(guān)R3???????????????????????????????????????????953,857,322,225例 : 判斷線性相關(guān)性 , 如果相關(guān) , 將其中一個(gè)向量用其余向量線性表出 . 43212143,0152,3021R?????????????????????????????????????????? ???0??? 332211 ??? xxx解??????????????203110452321???????????????76011010903210??? 332211 ??? xxx解主元個(gè)數(shù) = 變量個(gè)數(shù) ? 唯一解 (零解 ) ?????????????0001001103210??? 332211 ??? xxx解線性無(wú)關(guān) ?????????????????????????????????????????2143,0152,3021321???例 : 判斷線性相關(guān)性 , 如果相關(guān) , 將其中一個(gè)向量用其余的向量線性表出 . 解：向量個(gè)數(shù) 空間維數(shù) , 向量組線性相關(guān) . .381,105,052,2434321???????????????????????????????????????????????? ????0???? 44332211 ???? xxxx解??????????????310280541523? 1 ???????????????310280542421???????????????310280542421??????????????774016161302421? 3 ??????????????774055102421??????????????27270055102421? 4 ? 1/27 ??????????? 110000102022?????????4324102xxxxx???????????? ?????????????? ??????????????11020244444321xxxxxxxx?????????4324102xxxxx???????????? ?????????????? ??????????????11020244444321xxxxxxxx：，得到方程組的一個(gè)解＝令 14x?????????????11020????????? 4321 1102 ????431 2121??? ??：，得到方程組的一個(gè)解＝令 14x?????????????11020????????? 4321 1102 ????：，得到方程組的一個(gè)解＝令 14x?????????????1102314 2 ??? ??431 2121??? ?? 考察 n 方程 n 變?cè)凝R次線性方程組 ???????????????????000nnn2n21n1n2n222121n1n212111xaxaxaxaxaxaxaxaxa?????0nn2211 ???? ??? xxx ? 1) 若 | A | = 0, 齊次方程組有非零解 2) 若 | A | ≠ 0, 齊次方程組只有零解 線性相關(guān)n21 ??? , ??nn21 K???? , ?給定列向量? ?n21A ??? ??記線性無(wú)關(guān)n21 ??? , ??例 : 判斷以下向量組的線性相關(guān)性 0εεε nn2211 ???? kkk ?0????? n21 kkk ?線性無(wú)關(guān)n21 εεε , ???????????????n21kkk?nn21 K100ε,010ε,001ε ?????????????????
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