[理學(xué)]第 3 章 第 2 講 極大無關(guān)組-全文預(yù)覽
【正文】 線性表出 . ? ∈ ?1 , ?2 , … , ?s 新 觀點(diǎn) 老方法 βαxαxαx ???? ss2211 ?線性方程組 有解 一組表出系數(shù) 一個(gè)解 例：判斷 ?1 , ?2 , ?3 能否 線性表出 ? βαxαxαx ??? 332211解????????????????????????????????????????????????312,631,1255,321321 βααα??????????????3612313522151??????????000011302151?????????? ?00003/13/1103/13/201無窮多解??????????? ?00003/13/1103/13/201自由變量3x?????????323131313231xxxx得無窮多解。 ? 加法、數(shù)乘運(yùn)算 的具體形式不是 主要的，運(yùn)算滿足的八條性質(zhì)才是最關(guān)鍵的。 第三章 向量空間 1 向量空間 2 線性相關(guān)與線性無關(guān) 3 向量組的極大無關(guān)組與秩 4 子空間的基與維數(shù) 5 矩陣的秩 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 7 向量空間之間的線性映射 例 : 考察 氨水 ? 二氧化氮 的化學(xué)反應(yīng) , 描述此系統(tǒng)最少需要多少個(gè)反應(yīng)式？ 22222222222656462346454NOONONNONOONOOHNNONHOHNONHOHNOONH22223223223???????????????OHNOONH 223 6454 ???22223 NONOHNOONH? ?006454 ??例 : 考察 氨水 ? 二氧化氮 的化學(xué)反應(yīng) , 描述此系統(tǒng)最少需要多少個(gè)反應(yīng)式？ 例 : 考察 氨水 ? 二氧化氮的化學(xué)反應(yīng) , 描述此系統(tǒng)最少需要多少個(gè)反應(yīng)式？ 22222222222656462346454NOONONNONOONOOHNNONHOHNONHOHNOONH22223223223???????????????給定一個(gè)向量組 , 最少需要 (其中 ) 幾個(gè)向量才能線性表出全部向量 ? ????????????????????????????21002001021020221005660402603400645422223 NONOHNOONH取定數(shù)域 K ＝ R , C ， Q … ?????????????????????????????? ni1KKin21n,aaaa?nKn 維向量構(gòu)成的集合記為全體 Kn 中的向量可以做向量加法 ?????????????????????????????????????332211321321babababbbaaa?? K 中的數(shù)可以和向量做數(shù)乘： ?????????????????????321321akakakaaak向量空間是帶運(yùn)算的集合 ? 數(shù)域 K 上全體 n 維向量構(gòu)成的集合 , 連同 其上定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算，構(gòu)成 n 維 向量空間，記為 Kn 。 3) 對(duì)數(shù)乘封閉 . 向量空間 Kn 的子集 V 如果滿足 1) V 非空 。2521431 ??? ????。 ? 向量組無冗余 : ? 任一個(gè) 向量都不能被其余向量線性表出； ? 由線性組合 k1?1 + k2?2 + … + ks?s = 0 ? k1= k2 = … = ks= 0 ? 齊次方程組 x1?1 + x2?2 + … + xs?s = 0 有 唯一解 —— 零解。 2, 4， 5, 7 利用線性方程組的理論 判定線性相關(guān)性 有非零解 ? ? 1 , ? 2 , … , ? s 線性相關(guān) 只有零解 ? ? 1 , ? 2 , … , ? s 線性無關(guān) 0ss2211 ???? ??? xxx ?ns21 K???? , ? 齊次線性方程組解的判定 定理 ：若 s 元 n 方程齊次線性方程組化為 階梯型方程組后有 r 個(gè)非零行 (主元 )，則 r ＝ s 方程組有唯一解（零解） r s 方程組有無窮多解 扁平形 齊次方程組 若變?cè)獋€(gè)數(shù) 方程個(gè)數(shù) ，齊次方程組 一定有非零解： ?????????????????098320552203725432143214321xxxxxxxxxxxx變?cè)?方程3 扁平形 齊次方程組 若變?cè)獋€(gè)數(shù) 方程個(gè)數(shù) ，齊次方程組 一定有非零解： 線 性相 關(guān)R3???????????????????????????????????????????953,857,322,225 推論：向量空間 Kn 中任意 n + 1 個(gè) 向量必線性相關(guān) . 線 性相 關(guān)R3???????????????????????????????????????????953,857,322,225例 : 判斷線性相關(guān)性 , 如果相關(guān) , 將其中一個(gè)向量用其余向量線性表出 . 43212143,0152,3021R?????????????????????????????????????????? ???0??? 332211 ??? xxx解??????????????203110452321???????????????76011010903210??? 332211 ??? xxx解主元個(gè)數(shù) = 變量個(gè)數(shù) ? 唯一解 (零解 ) ?????????????0001001103210??? 332211 ??? xxx解線性無關(guān) ?????????????????????????????????????????2143,0152,3021321???例 : 判斷線性相關(guān)性 , 如果相關(guān) , 將其中一個(gè)向量用其余的向量線性表出 . 解：向量個(gè)數(shù) 空間維數(shù) , 向量組線性相關(guān) . .381,105,052,2434321???????????????????????????????????????????????? ????0???? 44332211 ???? xxxx解??????????????310280541523? 1 ???????????????310280542421???????????????310280542421??????????????774016161302421? 3 ??????????????774055102421??????????????27270055102421? 4 ? 1/27 ??????????? 110000102022?????????4324102xxxxx???????????? ?????????????? ??????????????11020244444321xxxxxxxx????
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