【正文】 ???? ? ? ?? ? ?School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)： Theorem . RX(τ)是平穩(wěn)隨即過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù) , 其具有如下性質(zhì) : 1. RX(τ) 是偶函數(shù)，即 RX(τ)= RX(τ). 2. RX(τ) 的最大絕對值出現(xiàn)在 τ=0處，即： 3. 4. 若對謀些 T0 有 RX(T0)= RX(0), 則對任意的整數(shù) k, 有RX(kT0)= RX(0) . ( ) ( 0 )XXRR? ?? ? 222( 0 ) ( ) , ( ) ( ) , ( 0 ) ( )X X X XR E X t R E X t R R???? ? ? ? ? ???School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 ? Proof . 1. RX(τ)=E[X(t)X(tτ)]= E[X(tτ)X(t)]=RX(τ) 2. ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?22222( ) ( ) 0( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0( ) 2 ( ) ( ) ( ) 02 0 20XXXXE X t X tE X t X t X t X tE X t E X t X t E X tRRRR???????? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 4. ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?200200220000002 ( 0) 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( )( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( )2 ( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( )2 ( 0) 2 ( ( 1 ) ) 2 ( 0) 2 ( )2XXX X X XR R k T E X t X t k TE X t X t k T X t k T X t k TE X t X t k T E X t k T X t k TE X t X t k T X t k T X t k TR R k T R R k TEX? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?000000220000( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( )2 ( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( )( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( )( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( )4 ( 0) ( ( 1 ) ) ( 0) ( ) 0X X X XXt X t k T X t k T X t k TE X t X t k T X t k T X t k TE X t X t k T X t k T X t k TE X t X t k T E X t k T X t k TR R k T R R k TR? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?0( ) ( 0)Xk T R?School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 各態(tài)歷經(jīng)過程 ? Ergodic Processes(各態(tài)歷經(jīng)過程或遍歷過程 ). 統(tǒng)計(jì)均值（ Statistical averages ) （ time averages) 對嚴(yán)格平穩(wěn)的隨機(jī)過程 X(t) 和任意函數(shù) g(x), g(X) 的統(tǒng)計(jì)均值定義為 00 ( )[ ( ( ) ) ] ( ) ( )XtE g X t g x f x dx???? ?g(x)的時(shí)間均值定義為 ? ? ? ?/2/21l i m ( 。 )Tii TTg x g x t dtT ????? ?School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程各態(tài)歷經(jīng)過程 Definition . 平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t) 對任意函數(shù) g(x) 和任意 滿足下式，則被稱為是遍歷過程。 i? ??? ?? ? ? ?/2/21l i m 。 ( )TiTTg x t dt E g X tT ????? ?????Example. 證明隨機(jī)過程 X(t)=Acos(2πf0t+Θ)是 遍歷過程。 其中 Θ 是在 [0,2π)均勻分布的隨機(jī)變量 . School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程各態(tài)歷經(jīng)過程 ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?00000/20/200000220020200221( ( 。 ) ) l i m c os( 2 )1l i m c os( 2 )21c os( 2 )1c os21c os21( ) c os( 2 )21c os2TTTNTNTNTf t uf t ug X t g A f t dtTg A f t dtNTg A f t dtTdug A uTfg A u duE X t g A f t dg A u du?????????? ? ???????? ? ??????????????????????????????? ? ?002 2 201c os2ftftg A u du? ? ???????The process is ergodic. School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程各態(tài)歷經(jīng)過程 ? 遍歷過程的另一種定義方式 平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t), 若滿足下式，則稱為是遍歷過程。 ( ) [ ( ) ]X t E X t? ??( ) ( ) ( )XX t X t R??? ? ? ?School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 的功率譜 ? Power and Energy－功率和能量 ? Definition . 隨機(jī)過程 X(t) 的功率 PX 和能量 EX 定義為 where ? ? ? ?X X X XP E a n d E E??P?2 ()X X t dt???? ?242。/22/21l i m ( )TX xTX t d tT???? ?PSchool of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 的功率譜 ? 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程有 ( 0)XXPR? ( 0)XxE R dt???? ?所以平穩(wěn)隨機(jī)過程是功率型信號 . School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 的功率譜 ? 隨機(jī)過程的功率譜 Definition . 隨機(jī)過程的功率譜密度定義為： 解釋 XT(f) 22 ()()( ) l i m l i m TTx TTE X fXfS f E TT? ? ? ????? ????????School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 的功率譜 ? Example. 確定下面隨機(jī)過程的功率譜密度 0( ) c o s ( 2 )X t X f t??其中 X 是均值為 0， 方差為 σ2 的高斯白過程。 Solution: ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?000222 2 20022220022220020( ) c o s 2si n c ( ) si n c ( )2si n c ( ) si n c ( )4si n c ( ) si n c ( )4l i m l i m si n c ( ) si n c ( )44TTTTXTTtX t X f tTTX f X T f f T f fTE X f E X T f f T f fTT f f T f fE X fS f T T f f T f fTf f f f??????? ? ? ?????????? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ?0????School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 的功率譜 ? Theorem [WienerKhinchin]. 如果對任意有限的 τ以及長度為 │τ│的任意間隔 ?, 隨機(jī)過程 X(t) 的自相關(guān)函數(shù)滿足條件： 則 X(t) 的功率譜密度是 Rx(t+ τ ,t) 的傅立葉變換，其中 ( , )XR t t dt?? ? ??A/2/21( , l i m ( , )TXX TTR t t R t t d tT?????? ? ??School of Information Science and Engineering, Shandong University Principles of the Communications Copyrights Zhu, Weihong 平穩(wěn)過程 的功率譜 ? Corollary