【正文】 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即 第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 41 4. 散度和旋度的區(qū)別 0 , 0FF? ? ? ? ? ?0 . 0FF? ? ? ? ? ?0 , 0FF? ? ? ? ? ? 0 , 0FF? ? ? ? ? ?第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 42 1. 矢量場的源 散度源 ： 是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度； 旋度源 ： 是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。 無旋場與無散場 第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 43 2. 矢量場按源的分類 （ 1）無旋場 0d ???C lF ??性質(zhì) ： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。 僅有散度源而無旋度源的矢量場， 0??? F?無旋場 可以用標量場的梯度表示為 例如：靜電場 ???? 0E? ????E?uF ????( ) 0Fu? ? ? ? ? ? ? ?第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 44 （ 2）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場 ，即 性質(zhì) ： 0d ???S SF ??0??? F?無散場可以表示為另一個矢量場的旋度 例如，恒定磁場 AB ?? ??????? 0B?AF ?? ???0)( ???????? AF ??第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 45 （ 3） 無旋、無散場 （源在所討論的區(qū)域之外） 0F? ? ?（ 4）有散、有旋場 這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lCF r F r F r u r A r? ? ? ? ? ? ? ?無旋場部分 無散場部分 ( ) 0u? ? ? ? ?Fu? ??02 ?? u0F? ? ?第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 46 拉普拉斯運算與格林定理 1. 拉普拉斯運算 ? 標量拉普拉斯運算 2u?概念 ： 2?—— 拉普拉斯算符 22222 2 2uuuux y z???? ? ? ?? ? ?直角坐標系 計算公式 ： 2222 2 211() u u uuz?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2222 2 2 2 21 1 1( ) ( s i n )s i n s i nu u uurr r r r r?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?圓柱坐標系 球坐標系 uu 2)( ?????第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 47 ? 矢量拉普拉斯運算 2F?概念 ： 2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F? ? ? ? ? ? ?即 22() iiFF? ? ?注意 ： 對于非直角分量， 22() iiFF? ? ?直角坐標系中： 如： 22()FF??? ? ?( , , )i x y z?)()(2 FFF ??? ??????????第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 48 2. 格林定理 設(shè)任意兩個標量場 ? 及 ?，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標量場 ? 及 ? 滿足下列等式： ?? ???????? SV SnV 2 dd)( ??????根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成 以上兩式稱為 標量第一格林定理 。 S V ?,? ne??? ???????? SV SV 2 d)(d)( ???????式中 S 為包圍 V 的閉合曲面， 為標量場 ? 在 S 表面的外法線 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。 n???ne?第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 49 基于上式還可獲得下列兩式： 上兩式稱為 標量第二格林定理 。 格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系 。因此 ， 利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴} 。 此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。 ?? ???????? SV SV 22 d)(d)( ??????????? ????????? SV SnnV 22 d)(d)( ????????第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 50 亥姆霍茲定理 : 若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 )()()( rArurF ????? ??????式中： Vrr rFruV??? ??? ?? ? d)(π4 1)( ?????? ??? ??? ?? V Vrr rFrA d)(π4 1)( ?????? 亥姆霍茲定理表明：在無界空間區(qū) 域，矢量場可由其散度及旋度確定。 亥姆霍茲定理 第 1章 矢量分析 電磁場與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 amp。 高等教育 電子音像 出版社 出版 51 有界區(qū)域 ?? ?? ??????? ??? ?? SV rr SrFVrr rFru ?????????? d)(π41 d)(π41)(?? ?? ??????? ??? ?? SV rr SrFVrr rFrA ??????????? d)(π41d)(π41)( 在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)， 還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。