演繹與化歸ppt課件-資料下載頁(yè)
2025-01-17 08:44本頁(yè)面
【正文】 有 點(diǎn)夸張， 但它和前面幾個(gè)例子相比，也許 更能體現(xiàn) 數(shù)學(xué)家的思維 特點(diǎn) 與其他應(yīng) 用科學(xué)家相比，數(shù)學(xué)家特別 善于使用化歸 思想和方法。 ? 應(yīng)用化歸原則解決問(wèn)題的一般模式為： 把所要解決的問(wèn)題經(jīng)過(guò)某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問(wèn)題 *，再通過(guò)問(wèn)題 *的求解，把解得的結(jié)果作用于原有問(wèn)題，從而使原有問(wèn)題得解，這種解決問(wèn)題的思想，我們稱之為化歸思想。 更為一般的模式 ? 我們了解了化歸的一般模式，我們還可以把化歸的模式進(jìn)一步歸納為： ? 就數(shù)學(xué)思想方法的研究而言，一個(gè)重要的問(wèn)題顯然在于：與一般的科學(xué)家（例如物理學(xué)家）相比，數(shù)學(xué)家在思想方法上是具有其特殊的地方。從而，如果把 “化歸 ”理解為 “由未知到已知、由難到易、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化 ”，那么，我們就可以說(shuō)，數(shù)學(xué)家思維的重要特點(diǎn)之一，就是他們特別善于使用化歸的方法去解決問(wèn)題。從方法論的角度說(shuō)，這也就是所謂的 “化歸原則 ”。 ? 在古往今來(lái)的數(shù)學(xué)研究中，人們廣泛使用化歸方法來(lái)處理各種問(wèn)題，例如解析幾何的建立就是一個(gè)例子。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡兒在研究思維原則時(shí)曾提出過(guò)一個(gè)期望，即所謂的能用以解決各種問(wèn)題的 “萬(wàn)能方法 ” ? 把一切問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題； ? 把一切數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題； ? 把一切代數(shù)問(wèn)題化歸為方程式的求解。 ? 顯然，如果認(rèn)為能用這一方法解決所有的問(wèn)題是不可能的。但是我們必須承認(rèn)笛卡兒的思想中的確包含有相當(dāng)合理的成分，那就是 “數(shù)學(xué)化 ”、 “代數(shù)化 ”、 “計(jì)算化 ”的思想方法。笛卡兒雖然沒(méi)能實(shí)現(xiàn)他的 “萬(wàn)能方法 ”，但他通過(guò)建立坐標(biāo)系把幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題，開(kāi)創(chuàng)了用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的新紀(jì)元，不僅由此創(chuàng)立的解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展史上不朽的里程碑，而且他的研究也是應(yīng)用化歸思想方法解決問(wèn)題的光輝范例。他指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)（ x， y）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，終于將幾何圖形（點(diǎn)的集合）與代數(shù)方程 f（ x， y） =0（實(shí)數(shù)對(duì)（ x， y）的集合）統(tǒng)一起來(lái)： ? 在 這里 ， 化 歸方法充分 顯示了它在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) 、 發(fā)明中的巨大作用 。 ? 現(xiàn)在 ， 化 歸思想方法已成 為一種普遍的研究方法 ，不僅在數(shù)學(xué)家的研究工作中 ， 就是在我們 中學(xué)數(shù)學(xué)中也經(jīng)常應(yīng) 用它解決許 多具體 問(wèn)題 。 化歸 思 維方法已成為一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)方法原則 。 ? 例如我們學(xué)完了一元一次方程 、 因式分解等知識(shí)后 ，學(xué)習(xí)一元二次方程 ， 我們就是通過(guò)因式分解等方法 ， 將它化歸為一元一次方程來(lái)解的 。 以后我們學(xué)到特殊的一元高次方程時(shí) ， 又是化歸為一元一次或一元二次方程來(lái)解的 。對(duì)其它代數(shù)方程和一元不等式也有類似的做法 。 在平面幾何中 ， 我們?cè)趯W(xué)了三角形的內(nèi)角和與面積計(jì)算等有關(guān)知識(shí)后 ， 對(duì) n邊形的內(nèi)角和與面積的計(jì)算 ， 也是通過(guò)分解 、 拼和為若干個(gè)三角形來(lái)加以解決的 。 在解析幾何中 ， 當(dāng)我們學(xué)完了最基本 、 最簡(jiǎn)單的圓錐曲線知識(shí)以后 ， 對(duì)一般圓錐曲線的研究 ， 我們也是通過(guò)坐標(biāo)軸平移或旋轉(zhuǎn) ， 化歸為基本的圓錐曲線 （ 新坐標(biāo)系中 ） 來(lái)實(shí)現(xiàn)的 。 其它如幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題 ， 立體幾何問(wèn)題化歸為平面幾何問(wèn)題 ， 任意角的三角函數(shù)問(wèn)題化歸為銳角三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決的例子就更多了 。 ? 綜上可見(jiàn) ， 化歸原則在數(shù)學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用 。 因此 ， 這一方法本身就隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展不斷得到了發(fā)展和深化 。 具體地說(shuō) ， 下面所介紹的關(guān)系映射反演方法就可看成化歸原則這一一般的方法論原則在現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式下的進(jìn)一步發(fā)展和主要表現(xiàn) 。
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