【正文】 （35c） 時，由于對特定的j，只有該節(jié)點特定的和是變量，由式（34）、式（35）可得下式 （36a） 時，為使偏導(dǎo)數(shù)的表示式更簡潔，先引入節(jié)點注入電流的表示式如下然后由式(34)、式(35)和上式可得 （36b） 由式（36a）可見，如，即節(jié)點i、j之間無直接聯(lián)系，這些元素都等于零。從而如將雅可比矩陣分塊，而將每個階子陣、看作分塊矩陣的元素時，分塊雅可比矩陣和節(jié)點導(dǎo)納矩陣將有相同的結(jié)構(gòu)。但前者與后者不同，前者因、不是對稱矩陣。分塊雅可比矩陣和節(jié)點導(dǎo)納矩陣的結(jié)構(gòu)相同是一個可以利用的特點。以上是牛頓拉夫遜法的直角坐標表示。除此之外，還有極坐標的表示方式。因此，牛頓拉夫遜法潮流計算時的修正方程還有另一種形式。為建立這種修正方式，可仍令，但令，而有 （37）將實數(shù)部分和虛數(shù)部分分列可得 （38a） （38b）對一個具有n個節(jié)點，其中有（nm）個PV節(jié)點網(wǎng)絡(luò)，式（39）組成的方程式組中總共有（n1）+（m1）=n+m2個方程式。如仍按前述的節(jié)點編號劃分方法，則式（38a）類型的有（n1）個，包括除平衡節(jié)點外所有節(jié)點有功功率的表示式，即i=1,2，...，n；i≠s。式（38b）類型的有（m1）個，包括所有PQ節(jié)點無功功率的表示式，即i=1,2，...，m；i≠s。采用極坐標表示時，較采用直角坐標表示時少（nm）個PV節(jié)點電壓大小平方值的表示式。因?qū)V節(jié)點，采用極坐標表示時，待求的只有電壓的相位角和注入無功功率，而采用直角坐標表示時，待求的有電壓實數(shù)部分、虛數(shù)部分和注入無功功率。前者的未知變量既少（nm）個，方程式數(shù)量也應(yīng)減少（nm）個。這樣，就可建立類似于式（32）的修正方程如下 （39） 式中留出了（nm）行空行和（nm）列空列。式中的有功、無功功率不平衡量、可由式（39）可得為 （310a） （310b）而式中雅可比矩陣的各個元素則分別為 （311）式（39）中將只是為了使式（311）中的各偏導(dǎo)數(shù)的表示形式上更相似。為了求取這些偏導(dǎo)數(shù)，可將、分別展開如下 （312a） （312b）計及 （313）則i≠j時，由于對特定的j，只有該特定節(jié)點的，從而特定的是變量，由式（311）、（312）、（313）可得 （314a）相似地，由于特定的j，只有該特定節(jié)點的是變量，可得 （314b）時，由于是變量，所有都是變量，可得 （314c）相似地，由于是變量，可得 （314d）由式（314a）、（314b）可見，如，則這些元素都等于零。從而，如將雅可比矩陣留出（nm）行空行和（nm）列空列后分塊，而將每個階子陣、看做分塊矩陣的元素時，分開雅可比矩陣和節(jié)點導(dǎo)納矩陣仍有相同結(jié)構(gòu)。但前者因、不是對稱陣。需要指出的是，迄今為止的討論還沒有述及節(jié)點的分類時提到的各種約束條件。這些以不等式表示的約束條件大體可分為三類，即對節(jié)點注入功率的約束、對節(jié)點電壓大小的約束和對相位角的約束。其中，對注入功率，主要指對電源注入功率的約束條件不能滿足時，將威脅電源機組的安全運行；對電壓大小的約束不能滿足時，將影響電能的質(zhì)量，嚴重時則將危及系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性；對相位角的約束條件不能滿足時，也將危及系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性。因此，在潮流計算的迭代過程中，必須時刻注意這些約束條件是否能滿足。但因系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性往往需運用其他方法進行檢驗，潮流計算時可集中注意力與注入功率和電壓大小的約束條件，其中又以前者優(yōu)先。因注入功率越限威脅電源設(shè)備的安全，而電壓大小偏離給定值一般只影響電能質(zhì)量。這樣又引出一個PV節(jié)點向PQ節(jié)點轉(zhuǎn)化的問題。所謂PV節(jié)點向PQ節(jié)點轉(zhuǎn)化，是指在迭代過程中經(jīng)過驗算發(fā)現(xiàn)，為保持給定的電壓大小，某一個或者幾個PV節(jié)點的注入無功功率以越出給定的限額，即發(fā)現(xiàn)了或的情況。而為了保證電源設(shè)備的安全運行，不得已就取或而任憑相應(yīng)節(jié)點的電壓大小偏離給定值。顯然，這樣的處理，實際上就是在迭代進行過程中，讓某些PV節(jié)點轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點。然后觀察式（32）、（39），不難發(fā)現(xiàn)，即使其他條件不變，但一旦出現(xiàn)PV節(jié)點向PQ節(jié)點的轉(zhuǎn)化，修正方程式的結(jié)構(gòu)就要發(fā)生變化。采用直角坐標表示時，應(yīng)以節(jié)點無功功率的關(guān)系式取代電壓的關(guān)系式；而采用極坐標表示時，則應(yīng)增加一組無功功率關(guān)系式。至于這組關(guān)系式中的無功功率不平衡量，顯然應(yīng)該取或。應(yīng)該指出的是，PV節(jié)點之間向PQ節(jié)點轉(zhuǎn)化，不僅僅在采用牛頓拉夫遜法計算時會出現(xiàn)，而且在采用高斯塞得爾法乃至其他方法計算時同樣會出現(xiàn)。只是采用高斯塞得爾法時，PV節(jié)點向PQ節(jié)點的轉(zhuǎn)化，不至于影響基本迭代格式。形成了雅可比矩陣并建立了修正方程，運用牛頓拉夫遜法計算潮流的核心問題已解決，已有可能列出基本計算步驟并編制流程圖。顯然，雖修正方程有兩種不同的表示方式，但牛頓拉夫遜法潮流計算的基本步驟卻總是以下幾步：（1） 形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣。（2） 設(shè)各節(jié)點電壓的初值、或、。（3） 將各節(jié)點電壓的初值代入式（33a)、式（33b）、式（33c)或者式（310a）、式（310b）求解修正方程式中的不平衡量、以及。（4） 將各節(jié)點電壓的初始值代入式（36a）、式（36b）或式（314a）、式（314b）、式（314c）、式（314d）求修正方程式的系數(shù)矩陣雅可比矩陣的各個元素、以及、。（5） 解修正方程式，求個節(jié)點電壓的變化量，即修正量、或者、。（6） 計算各個節(jié)點電壓的新值，即修正后的值 或 （7） 運用各節(jié)點電壓的新值自第三步開始進入下一次迭代。計算平衡節(jié)點功率和線路功率。其中，平衡節(jié)點功率為 （315）線路功率為 （316） （317）從而，線路上損耗的功率為 （318） 式（316）、式（317）中各個符號的含義見圖31。 圖 31 線路上流通的電流和功率 對以直角坐標表示時的計算，上面的步驟可以概括為附錄的流程圖。其中，為給定的允許誤差，用于與電壓修正值中的最大值、作為比較。判斷迭代是否已經(jīng)收斂。牛頓拉夫遜法潮流計算程序流程圖如圖32所示。 PQ分解法簡介PQ分解法潮流計算派生于以極坐標表示時的牛頓拉夫遜法。二者的主要區(qū)別在于修正方程式和計算步驟。以下僅著重討論這兩方面。PQ分解法潮流計算時的修正方程是計及電力系統(tǒng)的特點后對牛頓拉夫遜法修正方程式的簡化。為說明這一簡化，可將牛頓拉夫遜法的修正方程重新排列如下： （319）或簡寫為： （320）重新排列的時不再留空行、空列。顯然，這種重新排列并不影響修正方程式的內(nèi)容。對修正方程的第一個簡化是：記及電力網(wǎng)絡(luò)中各元件的電抗一般遠大于電阻，以致各節(jié)點電壓相位角的改變主要影響各元件中的有功功率潮流從而影響各界點的注入有功功率；各節(jié)點電壓大小的改變主要影響各元件中的無功功率潮流從而各節(jié)點的注入無功功率，可將上式中的子陣N、J略去，而將修正方程簡化為： （321）圖32牛頓拉夫遜法潮流計算程序流程圖電力網(wǎng)絡(luò)的上述特點，可用圖33說明。圖33（a）所示為兩節(jié)點電壓大小相等、相位不同的情況；圖33（b）所示則為兩節(jié)點電壓大小不等、相位相同的情況。由圖可見，由于兩節(jié)點間聯(lián)結(jié)元件的電抗遠大于電阻，其中流過的電流滯后結(jié)點間電壓降落向量基本達。以致，對于第一種情況，它基本為有功電流；對于第二種情況，它基本為無功電流。而某節(jié)點的注入電流或注入功率則是與該節(jié)點有直接聯(lián)系的所有元件電流或功率的總和。 圖33（a）圖33（b）對修正方程式的第二個化簡基于對狀態(tài)變量的約束條件，即不宜過大。計及這一條件，再計及，可以認為 ；于是式（314a）、式（314b）中的可以簡化為 （322）式（314c）、式（314d）中的可簡化為 而由于這時候式（38b）第二式也可簡化為可得再按照自導(dǎo)納的定義，上面兩個式子中的這一項應(yīng)該是各元件電抗遠大于電阻的前提下，除了節(jié)點i之外的其他節(jié)點都接地時，由節(jié)點i注入的無功功率。這個功率必須遠大于正常運行時節(jié)點i的注入無功功率，也就是，上兩式又可以簡化為 （323）這樣子，雅可比矩陣中兩個子陣H、L將具有相同的表示式，但是它們的階數(shù)不同，前者為（n1）階子陣、后者為（m1）階子陣。這兩個子陣都可以展開如下式表現(xiàn)形式： （324）將其代入式（321），展開之后可得 （325a）（325b）將上述兩個式子左右兩邊都乘以可得 （326a） （326b）他們可簡寫為 （327a） （327b）這就是PQ分解法的修正方程式。式中，等號左側(cè)列向量中的有功、無功功率不平衡量、仍舊如式（310a）、式（310b）；但等號右側(cè)的系數(shù)矩陣B’、B’’卻并不總直接由導(dǎo)納矩陣的敘述部分組成。往往為了加速收斂，在B’中去除那些與有功功率、電壓相位關(guān)系較小的因素；在B’’中去除那些與無功功率、電壓大小關(guān)系較小的因素，以致這兩個矩陣不僅僅是階數(shù)不同，它們相應(yīng)元素的數(shù)值也不完全相等。和牛頓拉夫遜法相比，PQ分解法的修正方程式有如下的特點：（1） 以一個（n1）階和一個（m1）階系數(shù)矩陣B’、B’’替代原有的（n+m2）階系數(shù)矩陣J，提高了運算的速度，降低了對貯存容量的要求。（2） 以迭代過程中保持不變的系數(shù)矩陣B’、B’’替代起變化的原系數(shù)矩陣J，顯著的提高了計算的速度。（3） 以對稱的系數(shù)矩陣B’、B’’替代原來的不對稱的系數(shù)矩陣J，使其求逆等運算量和所需的儲存容量都大為減少。但是應(yīng)該強調(diào)指出，導(dǎo)出修正方程式時所做的種種簡化絲毫不影響只用這種方法計算的精確度。因采用這種方法時，迭代的判據(jù)仍舊是，而其中的、已如上述，仍然按照式（310a）、式（310b）計算。一般情況下，采用PQ分解法計算時候要求的迭代次數(shù)較牛頓拉夫遜法時多，但每次迭代次數(shù)所需時間則較牛頓拉夫遜法時少，以致于總的計算速度仍是PQ分解法快。 PQ分解法潮流計算的基本步驟運用PQ分解法計算潮流分布時的基本步驟是：（1） 形成系數(shù)矩陣B’、B”，并求其逆矩陣。（2） 設(shè)各節(jié)點電壓的初值（i=1,2，...，n，i≠s）和（i=1,2，...，m，i≠s）。（3） 按式（310a）計算有功功率的不平衡量，從而求出（i=1,2，...，n，i≠s）（4） 解修成方程式（326a），求解各節(jié)點電壓相位角變量 （i=1,2，...，n，i≠s）。（5） 求各節(jié)點電壓相位角的新值（i=1,2，...，n，i≠s）。（6） 按式（310b）計算無功功率的不平衡量，從而求出（i=1,2，...，m，i≠s）。（7） 解修正方程式（326b），求各節(jié)點電壓大小的變量（i=1,2，...，m，i≠s）。（8） 求各節(jié)點電壓大小的新值（i=1,2，...，m，i≠s）。（9） 運用各節(jié)點電壓的新值子第三步開始進入下一次迭代。（10） 計算平衡節(jié)點功率和線路功率。概括了這些基本步驟可以得到流程圖34。由圖可見，PQ分解法與牛頓拉夫遜法不同，在開始之前就形成了系數(shù)矩陣B’、B”并求得了它們的逆矩陣。并且，由于PQ分解法分別計算和、和，不同于牛頓拉夫遜法的一并計算，而迭代收斂的判據(jù)卻仍然是和這兩個條件的滿足，在流程圖中引入了兩個僅賦“1”或“0”的偽變量Kp、KQ。它們的作用就是在于保證上述兩個條件相繼得到滿足時才開始計算平衡節(jié)點功率和線路功率。 高斯塞德爾法原理比較簡單，主要以節(jié)點導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)。下面簡單介紹下其原理和潮流計算過程。 設(shè)有n個聯(lián)立的非線性方程 （328）解此方程組可得