[英語(yǔ)學(xué)習(xí)]論文翻譯文章-資料下載頁(yè)
2025-01-16 07:05本頁(yè)面
【正文】 用有限差分的積分學(xué)，特別地，根據(jù)艾納希爾有以下定理：對(duì)于任意，有，這里是次有限差分因子，步長(zhǎng)為。級(jí)數(shù)是精確的泰勒級(jí)數(shù)，除了均差代替微分：級(jí)數(shù)在形式上類(lèi)似于牛頓級(jí)數(shù)。當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)解析，級(jí)數(shù)中的項(xiàng)收斂到泰勒級(jí)數(shù)中的項(xiàng)，在這種意義下生成的泰勒級(jí)數(shù)通常，對(duì)無(wú)窮序列，相應(yīng)的冪級(jí)數(shù)具有唯一性，下面的公式定義了這個(gè)冪級(jí)數(shù)： 所以在特殊情況下： 級(jí)數(shù)右邊的是的期待值，這里是泊松分布隨機(jī)變量，取的概率為，因此有如下式子： 大數(shù)定律闡釋了這個(gè)式子的正確性。幾個(gè)重要的麥克勞林級(jí)數(shù)如下，所有的展開(kāi)式的都是有效參數(shù)。指數(shù)函數(shù)：對(duì)于任意都滿足；對(duì)數(shù)函數(shù)：， ，有窮幾何級(jí)數(shù)：，無(wú)窮幾何級(jí)數(shù)：，無(wú)窮集合級(jí)數(shù)的幾種變形：，和 ， ，平方根：，二項(xiàng)級(jí)數(shù)（包括時(shí)的平方根和時(shí)的無(wú)窮級(jí)數(shù)）：對(duì)任意的和虛數(shù)成立，它的廣義二項(xiàng)式系數(shù)為：三角函數(shù)：對(duì)任意成立 對(duì)任意成立 ，這里為伯努利系數(shù)； ， ， ， ，雙曲函數(shù)：，對(duì)任意成立 ，對(duì)任意成立 ， ，蘭伯特W函數(shù)：，在和展開(kāi)式和中的稱(chēng)為伯努利系數(shù)，在展開(kāi)式中的稱(chēng)為歐拉系數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)的計(jì)算存在多種計(jì)算很多函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)的方法，可以使用泰勒級(jí)數(shù)推廣到系數(shù)的形式，或者用置換、乘法除法的方法處理例1：計(jì)算函數(shù)的七階麥克勞林多項(xiàng)式，首先將函數(shù)寫(xiě)成因此有如下自然對(duì)數(shù)（用大寫(xiě)的O注釋?zhuān)? 和余弦函數(shù)后面的級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)中有0常數(shù)項(xiàng)，使我們可以簡(jiǎn)單地將第二個(gè)級(jí)數(shù)替換到第一個(gè)中，還能省略高于七次的常數(shù)項(xiàng)，只需要用大寫(xiě)的O注釋?zhuān)? 由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，所以奇次項(xiàng)的系數(shù)都為。例2：假設(shè)我們希望函數(shù)的泰勒函數(shù)在零點(diǎn)為： 又有如下展開(kāi)式： 假設(shè)冪級(jí)數(shù)為：然后乘以分母再用余弦置換得： 合并同類(lèi)項(xiàng)得：對(duì)照上面級(jí)數(shù)的系數(shù)，可得出假設(shè)的泰勒級(jí)數(shù)為： 例3：在這里用到一個(gè)“間接展開(kāi)”的方法來(lái)展開(kāi)所給的函數(shù)，這個(gè)方法是因?yàn)閷?duì)函數(shù)進(jìn)行了泰勒展開(kāi)而被人們所知的。問(wèn)題：將下面的函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù) 我們知道的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為：，這樣， 泰勒級(jí)數(shù)作為定義 古時(shí)候，代數(shù)函數(shù)根據(jù)代數(shù)方程定義，超越函數(shù)（包括上面提到的）由一些能支持它們的性質(zhì)定義，比如微分方程。例如，指數(shù)函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于它本身。然而，可以更好地定義解析函數(shù)根據(jù)它的泰勒級(jí)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)常用來(lái)定義函數(shù)和運(yùn)算符號(hào)在數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域。尤其是，當(dāng)古代的對(duì)函數(shù)的定義被瓦解，比如，利用泰勒級(jí)數(shù)，可以使用矩陣和運(yùn)算符來(lái)定義解析函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。 在其他領(lǐng)域，例如形式分析，它能更方便直接地解答冪級(jí)數(shù)本身，因此可以定義一種微分方程的解答方法作為一種人們想解決的冪級(jí)數(shù)的解答方法。 泰勒級(jí)數(shù)在幾個(gè)變量中 泰勒級(jí)數(shù)可能普遍上對(duì)函數(shù)會(huì)有大于一個(gè)變量的情況： 例如，某個(gè)函數(shù)含兩個(gè)變量，在點(diǎn)上的二階泰勒級(jí)數(shù)為 在這里，下標(biāo)注釋表示各自的偏微分。一個(gè)含多個(gè)變量的標(biāo)量函數(shù)的二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以寫(xiě)成： 在這里是在處的梯度，為海塞矩陣，利用多個(gè)符號(hào)，多個(gè)變量的泰勒級(jí)數(shù)為：。這樣就能更容易懂作為更簡(jiǎn)單地索引版本相對(duì)于本段中的第一個(gè)方程，單個(gè)變量的情形也就能依次類(lèi)推。舉例：計(jì)算下面函數(shù)的處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式 首先，計(jì)算所需的全部偏微分，，泰勒級(jí)數(shù)為： 在這里就為：又因?yàn)樵冢缘玫剑? ，部分泰勒級(jí)數(shù)在部分和的產(chǎn)生之后，一個(gè)關(guān)于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)能否部分出現(xiàn)的問(wèn)題就產(chǎn)生了。Odibat和Shawagfeh在2007年回答了這個(gè)問(wèn)題。根據(jù)Caputo部分導(dǎo)數(shù)，表示趨向于右端，因此部分泰勒級(jí)數(shù)可以寫(xiě)成： 參考文獻(xiàn)[1] 米爾頓斯蒂更A(1970)，：多佛出版社，第九版.[2] L(1996)(第九版).韋斯：0201531747.[3] (1998).先進(jìn)工程數(shù)學(xué)(第二版).普倫蒂斯霍爾出版社出版. 國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)圖書(shū)編號(hào)：013321431136
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