【正文】 ?? V?0??? V?流體中的任一封閉曲面 ?為流點(diǎn)組成的物質(zhì)面時(shí)： 體現(xiàn)了流體體積的變化 散度的物理意義二： 112 取體積為 的小正方體，其單位體積的體積變率（體脹速度）： zyx ???? ?zyxdtdzyx ?????? 1?V? ? ?體脹速度 散度物理意義三：散度也是度量流點(diǎn)體積膨脹或收縮的一個(gè)量，反映單位體積的流點(diǎn)體脹速度。 x?y?z?113 三、形變率 流點(diǎn)可以看作既大又小的流體微團(tuán)，它不但會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)和發(fā)生體積的膨脹、收縮，而且還會(huì)發(fā)生形變。 流體的形變包括： 法形變（軸形變）和切形變（剪形變） 。 114 ① 法形變 法形變率（線形變率）：即單位長(zhǎng)度的速度變化率（單位長(zhǎng)度單位時(shí)間內(nèi)的伸長(zhǎng)和縮短率 )。 x?= 0u )(Mu x?0u )(MuM O M O 115 散度 ，其實(shí)就是一種形變，稱(chēng)為體形變，散度的三個(gè)部分，分別表示了沿三個(gè)坐標(biāo)軸伸長(zhǎng)和縮短的形變率，稱(chēng)為軸形變或法形變。 二維平面流動(dòng)： 二維散度－面積形變 2huvD V Vxy????? ? ? ? ? ? ? ?116 ② 切形變 23 3231 1312 21121212wvAAyzuwAAzxvuAAxy??????????????? ? ???????? ? ???????? ? ?????切形變是指流體質(zhì)點(diǎn)線間夾角的相向改變率。 117 0?w0??????yvxu0?????? yuxv考慮滿足以下條件的流體運(yùn)動(dòng) 118 O A B O A B A’ B’ ??r?r?0?????? yuxv119 ③ 形變張量 形變張量 ???????????333231232221131211AAAAAAAAAA 對(duì)稱(chēng)矩陣 120 習(xí)題 151已知流體二維速度場(chǎng)為 ， 分別計(jì)算渦度和散度 。 222u x yv x x y? ???? ????習(xí) 題 121 , , 0u y v x w??? ? ? ?習(xí)題 152已知流體速度場(chǎng)分別為： 2 2 2 2 , , 0yxu v wx y x y? ? ? ???分別判斷上述流體運(yùn)動(dòng)是否有旋、是否有輻散和形變？ （ 1） （ 2） 122 第六節(jié) 速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù) 速度勢(shì)函數(shù) 速度流函數(shù) 二維流動(dòng)的表示 123 一、速度勢(shì)函數(shù) ① 定義（速度勢(shì)函數(shù)的引入） 流體運(yùn)動(dòng) 無(wú)旋流動(dòng) 渦旋流動(dòng) 0V? ? ?否則，則稱(chēng)之為 渦旋流動(dòng)： 0V? ? ?如果在流體域內(nèi)渦度為零，即 : 無(wú)旋流動(dòng) ； 124 據(jù)矢量分析知識(shí)，任意一函數(shù)的梯度，再取旋度恒等于零： 0?? ? ? ?所以，對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，必定存在一個(gè)函數(shù) 滿足如： ? ?tzyx ,?????V?函數(shù) 稱(chēng)為 速度的（位）勢(shì)函數(shù) ，可以用這個(gè)函數(shù)來(lái)表示無(wú)旋流動(dòng)的流場(chǎng)。 通常將無(wú)旋流動(dòng)稱(chēng)為有勢(shì)流動(dòng)或勢(shì)流。 ? ?tzyx ,?V ???注：實(shí)際計(jì)算中勢(shì)函數(shù)與無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的關(guān)系式常采用下式 125 勢(shì)函數(shù)與對(duì)應(yīng)的無(wú)旋風(fēng)場(chǎng)（輻散風(fēng)場(chǎng)） V ???注意： 126 由流速場(chǎng)與勢(shì)函數(shù)的關(guān)系可知： 流速矢與等位勢(shì)面相垂直，由高位勢(shì)流向低位勢(shì)，等位勢(shì)面緊密處，位勢(shì)梯度大，相應(yīng)的流速大；等位勢(shì)面稀疏處，位勢(shì)梯度小，相應(yīng)的流速大。 ????V?對(duì)于某一固定時(shí)刻 為一空間曲面，稱(chēng)為等勢(shì)函數(shù)面或者等位勢(shì)面。 ? ?, , ,x y z t C? ?127 例 161 已知流體作無(wú)旋運(yùn)動(dòng) ， 對(duì)應(yīng)的等勢(shì)函數(shù)線分布如 圖所示 （ 其中 ， ） 的 ， 請(qǐng)判斷并在圖 中標(biāo)出 A、 B兩處流體速度的方向 ， 并比較 A、 B 兩處流速的大小 。 0? 1? 2?V ?? ??128 假如流體的散度為： 根據(jù)勢(shì)函數(shù)的定義有： 其中， 為三維拉普拉斯算子。 可以看出，如果給定 D，通過(guò)求解泊松（ Poisson）方程，即可求得勢(shì)函數(shù)。 zwyvxuD?????? ???D??? ?22222222zyx ?????? ????勢(shì)函數(shù)的求解 129 ① 定義 二、速度流函數(shù) 0V??0V??無(wú)輻散流 輻散流 流體運(yùn)動(dòng) 引入流體散度的概念之后，可將流體運(yùn)動(dòng)分為： 130 ? ? ? ?0//,,0?????yvxutyxvvtyxuuw????考慮二維無(wú)輻散流動(dòng)，即滿足： 引入函數(shù) ? ?,x y t?流速與該函數(shù)滿足： xvyu ?????? ??? ,131 xvyu ?????? ??? ,???? kV ??流速與流函數(shù)的關(guān)系式 矢量形式： 132 流函數(shù)與對(duì)應(yīng)的無(wú)輻散風(fēng)場(chǎng)（旋轉(zhuǎn)風(fēng)場(chǎng)） ???? kV ??133 流函數(shù)與流線的關(guān)系？ 134 同樣，求解流函數(shù)的方法為： （ 1）已知渦度，直接求解泊松（ Poisson）方程； （ 2）已知速度場(chǎng)，先求出渦度，然后求解泊松方程。 由渦度的定義 ，可得到用流函數(shù)來(lái)表 示的渦度表達(dá)式： 可見(jiàn)，對(duì)流函數(shù)取拉普拉斯運(yùn)算即可得到流體的渦度。 ???????? ?? yuxv ??????? ??? ?? ?? 2222yx求解流函數(shù) 135 三、 2維流動(dòng) 136 00vuxyuvDxy?????????? ??? ? ?? ??? ? ?????? ? ??????? 一般二維流動(dòng)，既不滿足無(wú)旋條件，也不滿足無(wú)輻散條件，流動(dòng)是有旋有輻散的。此時(shí)，其渦度和散度均不為零，即滿足： 137 VkV????? ? ? ???? ? ???上式為大氣動(dòng)力學(xué)中廣泛采用的形式。 Vk ??? ? ? ? ?uyxvxy? ? ? ???? ? ? ???? ? ???138 習(xí)題 161 已知二維流速場(chǎng)為： 分別求勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)單獨(dú)存在的條件。 ???????)()2(22 yxbvyxau???????dycxvbyaxu① ② 課 后 習(xí) 題 139 140 習(xí)題 162 請(qǐng)證明無(wú)輻散的平面無(wú)旋流動(dòng)：（ 1）流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)（滿足二維拉普拉斯方程 )（ 2）等勢(shì)函數(shù)線和等流函數(shù)線正交。 習(xí)題 163 平面流動(dòng)的流線方程為： ； 由流函數(shù)全微分 ； 當(dāng)取 常值時(shí) ， 也可以得到 試問(wèn)兩式是否等價(jià) ？ 請(qǐng)說(shuō)明理由 ？ vdyudx // ?u d yv d xd ???? vdyudx // ?141 本章小結(jié) 167。 1流體的物理性質(zhì)和宏觀模型 ① 流體的 主要物理性質(zhì) ：流動(dòng)性 、 粘性和壓縮性； ② 流點(diǎn)的概念 和流體的宏觀模型 連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 。 167。 2流體的速度和加速度 ① 描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)的 兩種觀點(diǎn) ： Lagrange觀點(diǎn)和 Euler觀點(diǎn)及其差別以及 兩種變量 的相互轉(zhuǎn)換 ② 流體加速度的 計(jì)算 ； ③ 微商算符 的 物理實(shí)質(zhì)及其應(yīng)用 。 ? ? ? ? ? ????? Vtdtd ???142 167。 3跡線和流線 ① 跡線和流線的概念、跡線和流線的物理實(shí)質(zhì) ； ② 跡線和流線方程的求解 ； ③跡線、流線的差別以及 跡線、流線重合的條件 167。 4速度分解 ①亥姆霍茲速度分解定理的主要內(nèi)容及其有關(guān)計(jì)算 143 167。 5渦度、散度和形變率 ①渦度、散度和形變率的 物理含義 ； ②渦度、散度和形變率的 計(jì)算 ； ③形變張量的概念。 167。 6速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù) ① 勢(shì)函數(shù)的定義、表示流體運(yùn)動(dòng)的方法； ② 流函數(shù)的定義、表示流體運(yùn)動(dòng)的方法 ； ③速度勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)表示二維流動(dòng)。