【正文】 顯然 設(shè) 得 關(guān)系式為 直徑為d，密度為ρ1的固體顆粒在密度為ρ，粘度為μ的液體中沉降，試用量綱分析法推導(dǎo)沉降速度V與這些物理量之間的關(guān)系式（選擇ρ，g，d為基本量）。 答：解：物理量關(guān)系式 V =Ф (ρ, g, d,ρ1,μ) 選ρ，g，d為基本量 Π1 = ρa(bǔ) g bd c V= (ML3) a (LT –2 ) b L c（LT 1） 顯然 Π2 = ρ1/ρ Π3 =ρa(bǔ)g bd cμ= (ML3 ) a (LT –2 ) b L c（ML 1T 1） ～ 新關(guān)系式為 或 在典型的不可壓縮粘性流體的流動(dòng)中，流體作用力F（如船舶螺旋槳推力，考慮重力影響的不定常管流中的阻力等）與流體密度ρ，速度V，特征長度l，流體粘度μ，重力加速度g、壓強(qiáng)差Δp，角速度（或脈動(dòng)圓頻率）ω七個(gè)物理量有關(guān)，試用量綱分析法推導(dǎo)相應(yīng)的Π數(shù)方程式。 答：F/ρV2l 2 = f (μ/ρVl，gl/V2，Δp/ρV 2,ωl/V)解：物理關(guān)系式 F =φ（ρ，V，l，μ，g，Δp，ω） 選ρ，V，l為基本量， 設(shè) 得 設(shè) 得 設(shè) 得 設(shè) 得 設(shè) 得 數(shù)方程式為 設(shè)鈍體在可壓縮粘性流體中定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受到的阻力FD與速度V，鈍體特征尺寸l，流體的密度ρ、粘度μ及彈性模量（考慮可壓縮性）E有關(guān)。取ρ，V，l為基本量，（1）試用量綱分析法推導(dǎo)FD與其他物理量的關(guān)系式；（2）若流體為不可壓縮時(shí)相應(yīng)的Π數(shù)關(guān)系式將如何改變？提示：取ρ，V，l為基本量。答：FD =ρV2 l2 f (μ/ρV l，E/ρV 2)， CD =Φ（Re）解：（1）設(shè)FD =Ф（ρ，V，l，μ，E） 取ρ，V，l為基本量 Π1=ρa(bǔ) V bl cFb= (ML3 ) a (LT 1) b L c (MLT –2 ) Π2=ρa(bǔ) V bLcμ= (ML3) a (LT 1) b L c (ML 1T –1 ) 新關(guān)系式或 （2）當(dāng)流體不可壓縮時(shí)E→∞，c →∞, Ma→0，與Ma數(shù)無關(guān)，上式變?yōu)? C D = f (Re) 泵類機(jī)械的特性參數(shù)包括質(zhì)量能頭gH（單位質(zhì)量流體的能量差，又稱能量落差或壓強(qiáng)增高Δp/ρ等），軸功率和效率η等，它們均是轉(zhuǎn)速n，流量Q，流體密度ρ和粘度μ，特征直徑D，特征長度l，表面粗糙度ε等物理量的函數(shù)。試用量綱分析法推導(dǎo)質(zhì)量能頭系數(shù)CH（無量綱質(zhì)量能頭），功率系數(shù)（無量綱軸功率）和效率η的Π數(shù)方程式。提示：取ρ，ω，D為基本量，Q /ωD 3為流量導(dǎo)數(shù)，ρωD 2/μ為雷諾數(shù)。 答： 解：設(shè)質(zhì)量能頭（gH），軸功率（）和效率（η）均用B表示，有關(guān)的物理關(guān)系式可表為 B =φ(ρ，n，D，Q，μ，l，ε) 選ρ，n，D為基本量 設(shè) CgH =ρa(bǔ)nbD c (gH) = (ML3) a (T –1 ) bLc ( L 2 T –2 ) 得 設(shè) =ρa(bǔ)nbD c= (ML3) a (T –1 ) bLc (M L2 T –3 ) 得 通常將效率寫成質(zhì)量流量的能頭ρQgH 與軸功率之比 設(shè) Π1=ρa(bǔ)nbD cQ = (ML3) a (T –1 ) bLc ( L 3 T – 1 ) 得流量系數(shù)為 Π2=ρa(bǔ)nbD cμ = (ML3) a (T –1 ) bLc (M L –1 T – 1 ) 得 直接寫出 設(shè)不可壓縮粘性流體沿平板流動(dòng)時(shí)湍流邊界層內(nèi)時(shí)均速度 與離壁面的垂直距離y，壁面上的切應(yīng)力τw及流體密度ρ和運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)ν有關(guān)，試用量綱分析法將這些變量的關(guān)系式表達(dá)為如下形式：，式中。提示：取ρ，τw ，g為基本量。 解：物理關(guān)系式 選為基本量 數(shù)關(guān)系式 在氣體動(dòng)力學(xué)中熱傳遞成為重要物理過程。單位體積流體攜帶的熱量在x方向的遷移變化率可表為 ，傳導(dǎo)熱量為，k為傳導(dǎo)系數(shù)。試用物理法則法確定反映Qc和Qk量級(jí)之比的相似準(zhǔn)則數(shù)佩克勒數(shù)Pe（Peclet）。 答：Pe =ρcpV l / k解：設(shè)特征物理量為ρ，V，L，cP，k，T，u,攜帶對流熱 ～ 傳導(dǎo)熱 ～ k T l – 2 試用物理法則法推導(dǎo)描述牛頓粘性流體流動(dòng)中壓差力與粘性力量級(jí)之比的拉格朗日數(shù)La (Lagrange)。 答：La = Δp l/μV解：粘性力 ～μV l –1 l 2 =μV l 壓力 ～Δp l 2 有兩塊垂直放置的固定平行平板，相距2h 。板間充滿靜止的不可壓縮粘性流體，密度為ρ，粘度為μ，熱膨脹系數(shù)為β。當(dāng)兩板溫度分別為T0和T1（T1T0）時(shí)，板間流體在溫差作用下發(fā)生熱對流運(yùn)動(dòng)，可用考慮浮力的NS方程描述 式中Tm= (T0+T1)/2。取 ， 將方程無量綱化后可得 式中Gr稱Grashof數(shù)，是反映熱氣體自由對流的相似準(zhǔn)則數(shù)，試推導(dǎo)其表達(dá)式。 答：Gr = gρ2 h3β (T1Tm) /μ2解：將， 代入NS方程可得無量綱方程 化為 不可壓縮牛頓流體在狹窄通道（如圓柱軸承縫隙）中, 在壓強(qiáng)梯度作用下流動(dòng)，可用低雷諾數(shù)流動(dòng)的NS方程描述 試?yán)锰卣鏖L度l， 特征速度V和特征壓強(qiáng)p 0對方程無量綱化，確定相似準(zhǔn)則數(shù)。 答：La = p0 l /μV解：設(shè)代入方程得無量綱方程 或 令為拉格朗日數(shù)。 光滑圓球以速度V = m/s在水中運(yùn)動(dòng)。為求圓球受到的阻力F，在風(fēng)洞中用直徑放大到兩倍的光滑圓球作模型實(shí)驗(yàn)。試求（1）為保證兩者流動(dòng)相似，風(fēng)洞中的空氣速度Vm應(yīng)多大？（2）若在風(fēng)洞中測到的阻力為Fm = N，原型球的阻力多大？（空氣密度ρm= kg / m3，運(yùn)動(dòng)粘度） 提示：（1）保證Re數(shù)相等；（2）保證Ne數(shù)相等。 答：F = N解：（1）為保證動(dòng)力相似，主Π數(shù)Re應(yīng)相等 查相應(yīng)的聲速為332m/s， ，仍為不可壓縮流動(dòng)。 （2）由Ne數(shù)相等 在實(shí)驗(yàn)室里用縮小到1/20倍的模型模擬溢流堰的流動(dòng)（）。若原型上水頭高H = 3m，試求（1）模型上的水頭H m；（2）若原型流量Q = 340 m3/s，模型中流量Q m應(yīng)為多大？（3）測得模型堰頂真空度hvm= mH2O (v)，求原型堰頂真空度hv 。 提示：（1）保證幾何相似；（2）保證Fr數(shù)相等；（3）保證Eu數(shù)相等。 答：Hm= m，Q m= ，hv= 4 m H2O(v)解：（1）為保證幾何相似 (2 ) 為保證動(dòng)力相似，主Π數(shù)Fr相等 ， (3 ) 由Eu數(shù)相等， ， 汽車的高度h = 2 m，速度V= 108 km / h，環(huán)境溫度為20℃。為求汽車阻力在風(fēng)洞里作模型實(shí)驗(yàn)。設(shè)風(fēng)洞中溫度為0℃，氣流速度Vm= 60 m/s，試求（1）模型汽車的高度hm應(yīng)為多大?（2）若在風(fēng)洞中測到阻力Fm=1500 N，原型汽車阻力F多大？提示：（1）保證Re數(shù)相等；（2）保證Ne數(shù)相等。 答：h m= m，F(xiàn)=1830 N解：V =10810 3 m/ 3600 s = 30 m/s 查表可得20℃時(shí) ν= cm2/s，ρ= kg/m3 0℃時(shí) νm= cm2/s，ρm= kg/m3 (1)由主Π數(shù)Re數(shù)相等，保證動(dòng)力相似 ， （2）由Ne數(shù)相等 風(fēng)扇直徑為d1 = m的軸流式風(fēng)機(jī)，轉(zhuǎn)速為n1=2000 r/min，流量為Q1 =20 m3/s。對一動(dòng)力相似的風(fēng)機(jī)，若風(fēng)扇直徑為d2= m，轉(zhuǎn)速為n 2 = 1500 r/min，流量Q2應(yīng)為多大？提示： 題。在幾何相似的條件下，由質(zhì)量能頭系數(shù)CH相等，可得流量系數(shù)Q /ωd 3相等。 答：Q2 =120 m3/s解：，當(dāng)不考慮粘度和表面粗糙度影響時(shí)，風(fēng)機(jī)的功率系數(shù)為 當(dāng)時(shí)，兩種風(fēng)機(jī)動(dòng)力相似，應(yīng)有 為了研究原型閥門的性能，在實(shí)驗(yàn)室里用模型閥門作實(shí)驗(yàn)。設(shè)原型管道（閥門出入口）直徑為d = m，流量為Q =20 m3/s，模型管道直徑為dm= ，試求（1）模型管道中流量Q m，（2）若測得模型閥門的壓差為Δpm=20 kPa，原型中壓差應(yīng)為多大？（設(shè)兩者水的特性參數(shù)相同）。提示：（1）保證Re數(shù)相等；（2）保證Eu數(shù)相等。 答：Qm= m3/s，Δp = kPa解：（1）為保證動(dòng)力相似，應(yīng)保證主Π數(shù)Re數(shù)相等 （2）由Eu數(shù)相等 在一定的范圍內(nèi)圓柱繞流的后部會(huì)發(fā)生卡門渦銜現(xiàn)象，從圓柱上下交替釋放的渦旋的頻率f與流速V，圓柱直徑d, 流體密度ρ和粘度μ有關(guān)。若在ρ和μ保持相同的兩個(gè)流場中圓柱直徑比d1 / d2 =3，試求（1）為保證動(dòng)力相似的流速比；（2）釋放渦旋的頻率比f1/f2。提示：（1）保證Re數(shù)相等；（2）保證St數(shù)相等。 答：V1/ V2= 1/3，f1 / f2 =1/9解： = f (Re, S t ) (1 ) 由主Π數(shù)Re數(shù)相等 ， （2）由St數(shù)相等 ，