【正文】 習，使學生學到數(shù)學的精神 康德曼努爾（ Kant Immanuel）說：“教育孩子的目標應該是逐步地組合他們的知與行。在 各學科中，數(shù)學是最能實現(xiàn)這一目標的學科”。狄爾曼（ Dillmann）說：“??數(shù)學能夠集中、加速和強化人們的注意力，能夠給人發(fā)明創(chuàng)造的精細與謙虛精神，能夠激發(fā)人們追求真理的勇氣和自信心??數(shù)學比起任何其它學科來，更能使學生得到充實和增添知識的光輝，更能鍛煉和發(fā)揮學生探索真理的獨山東師范大學碩士學位論文 19 立工作能力” [23]。數(shù)學不僅有豐富的知識體系，同時更有豐富的精神內(nèi)涵。數(shù)學課題探究學習，真正能讓學生深刻理解和體會這些精神。學生通過主動參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程，獲得數(shù)學學習的自信心和方法；體驗創(chuàng)造的激情，建立嚴謹 的科學態(tài)度和不怕困難的科學精神；有助于培養(yǎng)學生用于質(zhì)疑和善于反思的習慣，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力；讓學生投入到現(xiàn)實的、充滿探索的數(shù)學學習過程中去，體會數(shù)學的探索過程，體會數(shù)學與自然、社會和人類生活的聯(lián)系，獲得情感、能力、知識的全面發(fā)展，數(shù)學課題探究學習給學生的學習提供了充分的時間和空間。 山東師范大學碩士學位論文 20 第三章 數(shù)學課題探究學習的策略及教學案例 前面我提出了研究問題、論述了該項研究價值，隨后進行了大量的文獻研究，提出了在課堂中開展數(shù)學課題探究學習的有效性及可行性。這次我們 以新課程改革為契機，要培養(yǎng)學生的可持續(xù)學習能力，就要大力倡導這種課題探究學習方式，通過對學生探究學習的指導，真正解決學生對教法和學法現(xiàn)狀的不滿，最后實現(xiàn)自主學習、積極學習和合作學習，從而達到新課程改革對學生能力提出的要求，適應于終身學習的要求，同時也滿足了信息化時代對學習是全新的、進取的、科學的、多維的要求，達到教育最理想的狀態(tài)：學生個人需要和社會需要最完美的統(tǒng)一。由此看來，以課例為載體，進行數(shù)學課題探究學習的策略及實證研究就顯得十分必要。 第 一節(jié) 數(shù)學課題探究學習內(nèi)容的選擇和教學要求 一、數(shù)學課題探究學 習內(nèi)容的選擇 在開展數(shù)學課題探究學習的實踐中，根據(jù)學生的特點選擇合適的課題是一個關(guān)鍵的問題。數(shù)學探究課題可以從教材提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，也可以從教師提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，應該特別鼓勵學生在學習數(shù)學知識、技能、方法、思想的過程中發(fā)現(xiàn)和提出自己的問題并加以研究。一般來說，選擇數(shù)學課題探究學習的內(nèi)容可遵循以下幾條原則： 。問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學思維是從數(shù)學問題開始的，因此數(shù)學課題探究學習的核心是要首先確定某個探究解決的數(shù)學問題。這樣的問題或從數(shù)學教材中，或從社會生活中提煉、整 合出來，當然也可讓學生從某些數(shù)學材料或數(shù)學情境中自己去發(fā)現(xiàn)、提煉出數(shù)學問題。例如，從教材內(nèi)容出發(fā)的問題有“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”“概率實驗”等；從數(shù)學應用出發(fā)的問題有“電話費的計費方式如何用函數(shù)表示”，“銀行儲蓄的稅后利息的計算”等。 。數(shù)學課題探究學習的實施往往會受到一些主客觀條件的制約，因此要因材施教和因地制宜。一方面在選擇探究性課題時，要考慮學生的數(shù)學知識水平，不能因為選題太難而使學生無法進行探究，也不能太容易而使學生無需探究，真正達到數(shù)學課題是可以探究的，又是學生力所能及范圍內(nèi)能夠探 究的。另一方面，數(shù)學課題探究學習可根據(jù)學校的實際情況采取靈活多樣的方式進山東師范大學碩士學位論文 21 行，如利用數(shù)學方法開展某一問題的調(diào)查研究也是具有可操作性的數(shù)學探究性學習活動。 。數(shù)學課題探究學習是學生利用所學知識進行綜合運用的最有效方式，因此選擇數(shù)學探究的內(nèi)容時，要使其有利于學生多層次、多角度地思考問題，有利于學生對信息的分析、綜合、交流能力的提高等。 二、數(shù)學課題探究學習的教學要求 。一個好的數(shù)學探究性課題應該是具有一定的開放性，有助于學生對數(shù)學的理解，有助于學生體驗數(shù)學研究的過程，有助于學生形成 發(fā)現(xiàn)、探究問題的意識和提高數(shù)學的實踐能力、創(chuàng)新精神。 ，可以是某些數(shù)學結(jié)果的推廣和深入，不同數(shù)學內(nèi)容之間的聯(lián)系和類比，也可以是發(fā)現(xiàn)和探索新的數(shù)學結(jié)論。 ，學會與他人交流合作和建立嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。 第二節(jié) 數(shù)學課題探究學習的一般模式 探究是科學的本質(zhì)特征之一，沒有探究就不會有發(fā)現(xiàn)。作為中學生，一般不可能達到真正意義的探究，因而實施課題探究的重心就在于誘導學生發(fā)現(xiàn) 數(shù)學規(guī)律。 當前有不少師生認為開展課題探究是課堂之外的事情，其實這是一 種 誤解。事實上，課堂教學是數(shù)學教學的主渠道，因而對那些可以改造成數(shù)學探究性課題的數(shù)學課堂教學內(nèi)容，數(shù)學教師要創(chuàng)造性地把它設(shè)計成具有探索性和開放性的問題。具體而言，在課堂中開展數(shù)學課題探究學習的一般模式主要由以下四個環(huán)節(jié)構(gòu)成：“情境式”問題提出；“發(fā)現(xiàn)式”問題探究；“開放式”問題變換；“合作式”問題交流。 一、 “情境式”問題提出 數(shù)學創(chuàng)新源于數(shù)學問題，數(shù)學問題的產(chǎn)生離不開一定的數(shù)學情境。培養(yǎng)學生數(shù)學問題提出能力，不僅要以數(shù)學情境的精心創(chuàng)設(shè)為前提，而且，還要把挖掘數(shù)學情境與數(shù)學問題的內(nèi)在聯(lián)系作為教學的基本出發(fā)點 。 數(shù)學情境的創(chuàng)設(shè)應以一定數(shù)學知識和數(shù)學方法為依托，同時也是數(shù)學知識產(chǎn)山東師范大學碩士學位論文 22 生的背景，其素材可以源于生活，源于數(shù)學自身，還可以源于其它學科，它不僅能激發(fā)數(shù)學問題的提出，也能為數(shù)學問題的提出和解決提供相應的信息和依據(jù)。在此過程中，當學生不能單獨地利用已有知識和習慣的方法解決問題時，就能引起認知沖突，激起學生的思維積極性和求知欲望、創(chuàng)造欲望，使學生積極投入到問題探究之中。 創(chuàng)設(shè)問題的情境需要三個條件：一是學習者能否在先前經(jīng)驗的基礎(chǔ)上覺察到問題的存在；二是探究的內(nèi)容對于學習者來說一定是未知的，而經(jīng)過努力是可 掌握的；三是能否激發(fā)探究者的認知沖突、需要和期望。而只有當創(chuàng)設(shè)的數(shù)學情境進入學生的“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”同時在內(nèi)容上富有挑戰(zhàn)性和探索性，學生才能在已有的認知水平基礎(chǔ)上，通過教師的適當?shù)囊龑?，從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，形成“問題意識”，從而進一步提高自己的探究意識和創(chuàng)新意識。 二、 “發(fā)現(xiàn)式”問題探究 數(shù)學發(fā)現(xiàn)是數(shù)學探究的一個重要方面，沒有發(fā)現(xiàn)就沒有證明，但傳統(tǒng)的數(shù)學過程是重證明輕發(fā)現(xiàn)的，這顯然是數(shù)學“演繹”式的教學，不利于學生理解數(shù)學。數(shù)學課題探究學習的目的是發(fā)展學習者自身的探究與解決問題的能力，使學習者成為 知識的發(fā)現(xiàn)者，而不是被動者，這就要求學生在教師的引導下，設(shè)計恰當?shù)乃夭模鲃犹骄堪l(fā)現(xiàn)，一般程序為：觀察－－試探－－思索－－猜想－－證明。這種程序適應于概念，公式，定理等知識過程的教學，體現(xiàn)學生參與發(fā)現(xiàn)過程的主體地位，注重了發(fā)現(xiàn)知識的策略和方法的培養(yǎng)。另外，在發(fā)現(xiàn)過程中要適時滲透合情推理，充分肯定歸納，類比，聯(lián)想等方法在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中重要作用，特別是“數(shù)學猜想”因為它可被看成是數(shù)學探究活動的基本方式，表現(xiàn)為思維主體從一定依據(jù)出發(fā)，利用非邏輯手段，直接獲得猜想性命題的創(chuàng)造性思維過程。數(shù)學家波利亞在他的著作《數(shù)學與猜 想》中特別強調(diào)：數(shù)學的創(chuàng)造性過程是與其他知識的創(chuàng)造過程是一樣的，在證明一個數(shù)學定理之前，你先得猜測這個定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細證明之前，你先得推測證明的思路??只要數(shù)學的學習過程稍能反映出數(shù)學的發(fā)明過程的話，那么就應當讓猜測，合情推理占有適當?shù)奈恢?[24]?？傊皵?shù)學探究”是波利亞的“數(shù)學發(fā)現(xiàn)”和弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”教育思想的繼承和發(fā)展，是現(xiàn)代建構(gòu)主義認知理論的具體實踐。 三、 “開放式”問題變換 山東師范大學碩士學位論文 23 傳統(tǒng)上，問題的答案是唯一的，解法是模式化的，稱這類問題是“封閉”的。相反，條件開放（條件在不斷變化），結(jié) 論開放（多結(jié)論或無固定結(jié)論），策略開放（可以采用多種方法和途徑去解決）的問題稱之為“數(shù)學開放題”。開放題由于其自身的開放性質(zhì)，不再是方法唯一，答案唯一，這就吸引學生不依賴教師和書本，獨立地去探索和發(fā)現(xiàn)問題的各種各樣的答案，可使學生在解題中形成積極探索和創(chuàng)造性的心理態(tài)勢，對數(shù)學本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟，進而生動活潑地參與“學數(shù)學，做數(shù)學，用數(shù)學”的過程使學生的認知結(jié)構(gòu)得到有效的發(fā)展。然而，中國傳統(tǒng)課堂教學強調(diào)學課內(nèi)容的系統(tǒng)性，教師在課堂中占有主導地位。通過一定的變式教學策略可以幫助學生系統(tǒng)的、有效的理解和掌握學科 知識。但一些國際比較研究顯示，與西方學生相比，盡管中國學生在解決常規(guī)題上有相當優(yōu)勢，但是在解決開放性問題上則表現(xiàn)平平 [25]。因此，在數(shù)學課堂教學中引進“開放式”問題也將成為必然，它可作為貫徹素質(zhì)教育的一個切入口，成為培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的載體，教師要樹立正確的教學思想，在教學中要有意識構(gòu)建開放式問題，讓學生進行探索和交流活動，才能在教學過程中有意識地向?qū)W生傳授思維策略，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力 [26]。 四、 “合作式”問題交流 當今建構(gòu)主義學習觀認為，學習者以自己的方式建構(gòu)對事物的理解，從而不同的人看到的是事物 的不同的側(cè)面，不存在完全相同標準的理解，教學要增進學生之間的合作交流，達到取長補短，集思廣益，通過學習者合作可使理解更加豐富和全面。因此，合作學習成為當今世界范圍內(nèi)廣泛使用的課堂教學組織形式。 擁有共同目標的小組成員之間必定會形成積極的相互促進的關(guān)系，與傳統(tǒng)教學相比，合作學習給予學生更多的機會嘗試多種交流方式，討論，指導等，學生通過彼此之間的交流與自我思考解決認知沖突，從而達到對知識的真正理解。另一方面，教師也不再是過去的“主演”，而應是營造一個寬松和諧，民主的環(huán)境。首先，教師是合作學習環(huán)境中的設(shè)計者，同時 要在適當時候給予學生幫助和暗示，避免學生走彎路，耗費更多的時間。其次，教師又是合作學習的評估者，既要對學習過程不斷評估，又要對學習結(jié)束后各小組的學習成果進行評估。對評估的不同結(jié)果，都能引起各小組成員的反思，對于培養(yǎng)求實的科學態(tài)度，學會既要堅持真理，又要尊重他人等方面都會產(chǎn)生積極的影響 [27]。 山東師范大學碩士學位論文 24 第三節(jié) 數(shù)學課題探究學習的基本類型及教學案例 設(shè)計探究性教學情境，讓中學生在觀察、歸納、分析、綜合，提出并驗證結(jié)論的過程中體會和學習數(shù)學，長期以來受到數(shù)學教育研究者的重視。但不是每一節(jié)課的教學都能用探究的方法進行，正 如布魯納所指出的，一個學生不可能只憑發(fā)現(xiàn)法去組織教學。要充分發(fā)揮探究課的作用，使其不流于形式，一個重要方面就是教師對所教內(nèi)容做出較好的教學法加工和組織。教師要正確把握教材；合理組織探究內(nèi)容，抓住探究的關(guān)鍵點；設(shè)計出一些富有挑戰(zhàn)性，能激發(fā)起學生探究興趣，且可使學生在探究之后能獲得成就感的數(shù)學材料來組織課題探究學習。筆者擬結(jié)合教學實踐從教學內(nèi)容的組織與選擇闡述數(shù)學課題探究學習的四種基本類型。 一、數(shù)學知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程的課題探究設(shè)計 將數(shù)學教學理解為活動、思維和過程，就會沖破傳統(tǒng)的“結(jié)果式”教學范式，使 數(shù)學教育的功能得以全面發(fā)揮。 讓學生感受到知識的發(fā)生過程，了解知識的可靠性和局限性，使他們認識到數(shù)學知識是在實驗，猜想、反駁，修正和證明中發(fā)展起來的，從而發(fā)展他們合情推理的能力、勇于批判的精神和自我反省意識；讓學生理解知識的形成過程，可以使他們明晰數(shù)學的嚴謹性，弄清楚知識之間的邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、概括能力和解決問題的能力；讓學生了解知識的發(fā)展性，可以使他們經(jīng)歷數(shù)學知識的探究歷程，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力和直覺思維能力 [28]。 案例一 探究課題：點到直線的距離公式探究 普通高中課程標準實驗教 科書數(shù)學必修 2 第 113 頁“點到直線的距離”一節(jié)內(nèi)容是該章的一個重點，也是難點之一。教材開門見山地提出了已知點 P（ x0 , y0）和直線 l:Ax+By+C=0 怎樣求點 P 到直線 l 的距離問題，然后進行分析和證明。這種傳授知識的方法雖然直截了當，但不符合學生建構(gòu)知識的心理順序，在課題探究學習中，我們可以通過如下處理，將教材內(nèi)容重組成課題探究問題的系列（約兩課時）： 【拋磚引玉】 問題： 已知 l1// l2 且 l1： y=kx+b1, l2: y=kx+b2, 求 l1, l2 的距離 d 。 山東師范大學碩士學位論文 25 生：利用圖形 31，可得 2211c os kbbMNd ????? ? ? ? 2211c osc os kbbMNMNd ???????? ??? 。 師：如何將兩平行線之間的距離公式轉(zhuǎn)化為點到直線的距離公式？ 生：根據(jù)平行線之間的距離處處相等，在 l1 任取一點 P（ x0 , y0）， y0=kx0+b1即 b1= y0 kx0 代入公式得2200 1 k bkxyd ? ??? 。 生：已知點 P（ x0 , y0），直線 l： y=kx+b,可求 P 到 l 的距離。 （200 1 k bkxyd ? ??? ，將 b2 改為 b 即可） 生： 已知點 P（ x0 , y0），直線 l： Ax+By+C=0，可求出點 P 到 l 的距離。 （令 BCbBAk ???? , 代入公式整理即得2200 BA CByAxd ? ??? ，最后補充說明以上結(jié)論當 B=0 時公式同樣成立） 【 循序漸進 】 師：剛才我們通過兩條平行線距離的求法自然過渡到點到直線距離的求解，并由直線的點斜式自然過渡到直線的一般式，順利地完成了點到直線