【正文】 2( ) 0 . 2 ( 0 . 8 1 )()( ) 0 . 1 6 0 . 2 1NC s ssN s s s???????220 .2 ( 0 .8 1 )0 .4 2 0 .2 5 0 .4 1sss???? ? ? ? 220 .2 ( 0 .8 1 ) 1()0 .4 2 0 .2 5 0 .4 1sCss s s????? ? ? ?0( ) l im ( ) 0 .2sc sC s?? ? ? ?從傳遞函數(shù)可知， 從圖 3－ 28可查得 。 10 . 2 5 , 1 / 0 . 8 1 . 2 5 , 0 . 2 5 0 . 4 0 . 6 2 5 , /( )1 . 2 5 / 0 . 6 2 5 2 ,nnzz? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??0013500? ?m a x 0 .2 ( 1 1 .3 5 ) 0 .4 7c ? ? ? ? ? ? 第五節(jié) 高階系統(tǒng)的動態(tài)性能 一、高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為 且 nm。為研究方便，將其表示成零、極的形式 式中， q+2r=n。 11 1 011 1 0()mmmmnnnnb s b s b s bsa s a s a s a?????? ? ? ??? ? ? ?12211()()( ) ( 2 )mjjq rl k k klkKg s zss p s s?? ? ??????? ? ????(3 4 6 )? 在單位階躍信號作用下，時間響應(yīng)的拉氏變換為 當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)互不相同時（實(shí)際系統(tǒng)通常都是這樣）， C（ s）的部分分式展開式為 式中， a0為 C（ s）在原點(diǎn)的留數(shù)， al為 C（ s）在實(shí)數(shù)極點(diǎn)－ pl處的留數(shù)。 C（ s）在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的留數(shù)，是 一對共軛復(fù)數(shù)，為 。 1( ) ( )C s ss??02211( 1 )()2q rk k k k k k kllk l k k kb s b caaCss s p s s? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???(3 47)?1 ()2 kkb jc? 對一個穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，瞬態(tài)響應(yīng)為 2011( ) c o s 1kkq rtplt l k k klkc t a a e b e t?? ??????? ? ? ? ???21s in 1kkrtk k kkc e t?? ??????? ( 0)t ? (3 4 8 )? 從式（ 3－ 48）可以看出，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是由一些簡單的函數(shù)項(xiàng)所組成的。這些函數(shù)項(xiàng)是一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的（ 0ξ1）的瞬態(tài)響應(yīng)。式（ 3－ 48）中各函數(shù)項(xiàng)不僅和 pl、 ξk及 ωk有關(guān)，即和閉環(huán)極點(diǎn)有關(guān)，而且和系數(shù) al、bk、 ck有關(guān)。這些系數(shù)的大小和閉環(huán)系統(tǒng)的所有極點(diǎn)、零點(diǎn)都有關(guān)系。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)取決于閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)的分布情況。在計算機(jī)應(yīng)用十分普及的今天，利用計算機(jī)輔助設(shè)計（ CAD）軟件來完成這件工作是十分合適的。一般來說，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)有下面的關(guān)系： （ 1）一個穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)曲線是由指數(shù)曲線（相應(yīng)于實(shí)數(shù)極點(diǎn)）和阻尼正玄曲線（相應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）合成的。因而，瞬態(tài)響應(yīng)過程可能是一個單調(diào)的衰減過程，也可能是一個衰減的振蕩過程。瞬態(tài)響應(yīng)的類型取決于閉環(huán)極點(diǎn)；系統(tǒng)的零點(diǎn)影響了在極點(diǎn)處留數(shù)的大小和符號，決定了各函數(shù)項(xiàng)在瞬態(tài)響應(yīng)中所占的“比重” ,因而，瞬態(tài)響應(yīng)的形狀卻主要取決于系統(tǒng)的零點(diǎn)。 （ 2）從式（ 3－ 48）可看到，各函數(shù)項(xiàng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的，衰減的快慢取決于極點(diǎn)和虛軸的距離。離虛軸愈遠(yuǎn)的極點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)衰減得愈快，只對瞬態(tài)響應(yīng)的初始階段有影響。 （ 3）各函數(shù)項(xiàng)的系數(shù)取決于系統(tǒng)零、極點(diǎn)的分布，有如下幾種情況：若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)很??；若某極點(diǎn)接近一零點(diǎn)，而有遠(yuǎn)離其它極點(diǎn)和零點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)也很??；若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)或其它極點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)就比較大。系數(shù)大而且衰減慢的那些項(xiàng)在瞬態(tài)響應(yīng)中將起主要作用。 二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 一個穩(wěn)定的高階系統(tǒng)若其零、極點(diǎn)的分布基本上符合下面的模式：左半復(fù)平面上離虛軸最近的極點(diǎn)是一對共軛復(fù)極點(diǎn)（而不是實(shí)極點(diǎn)），它們的附近沒有零點(diǎn)；系統(tǒng)的其它極點(diǎn)，有的恰有鄰近的零點(diǎn)與之相消，有的又在上述這對極點(diǎn)左方很遠(yuǎn)，并離所有零點(diǎn)也很遠(yuǎn)的地方。這時，系統(tǒng)的動態(tài)特性主要就由這一對極點(diǎn)所決定。這對極點(diǎn)被稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。 非主導(dǎo)極點(diǎn)對動態(tài)性能的影響 下面討論系統(tǒng)除了有一對靠近虛軸的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)外，還有一個實(shí)數(shù)極點(diǎn)的情況，如圖 3－ 34所示。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 3223() ( 2 ) ( )nnnpss s s p???? ?? ? ? ? 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 式中， 表示非主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離與主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離的比值。 232231()( 2 ) ( )nnnpCss s s p s??? ??? ? ?22 2 22 2[ ( 2) 1 ]( ) 1 ( 2) c os( 1 si n( 1( 2) 1 1n tnnec t t t?? ?? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?? ?? ????? ? ? ? ? ????????23( 2 ) 1e p t? ? ?????0t ? (3 4 9 )?3np???? 圖 335 非主導(dǎo)極點(diǎn)的影響 由式（ 3－ 49）可見， c（ t）和 ξ、 ωn、 β有關(guān)。圖 3－55為 ξ＝ ， β＝ 1， 2， 4， 時的時間響應(yīng)曲線。由圖可見，非主導(dǎo)極點(diǎn)將使最大超調(diào)量減少，調(diào)節(jié)時間增加。由圖還可以看出，當(dāng)非主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時，它的影響逐漸減少。 非主導(dǎo)極點(diǎn)的判斷準(zhǔn)則 設(shè)系統(tǒng)具有一對靠近虛軸的復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)和一個遠(yuǎn)離虛軸的實(shí)極點(diǎn)，如圖 3－ 36所示。閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ?23223() ( 2 ) ( )nnnpss s s p???? ?? ? ? ?p3 ξωn jω σ 0 圖 336 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) 令 β為實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)實(shí)數(shù)部分之比，即 令 α為實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)的模值（極點(diǎn)與原點(diǎn)的距離）之比，即 圖 3－ 37中的曲線是在主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的參數(shù)為 ξ＝ 、ωn＝ ξωn＝ ，實(shí)數(shù)極點(diǎn) p3取不同值時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。實(shí)數(shù)極點(diǎn)的參數(shù)如表 3－ 2所示。 3np????3np??? 圖 3－ 37中，曲線 6對應(yīng)于只有一對主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)而沒有非主導(dǎo)極點(diǎn)的情況。從圖上可以看出，當(dāng) β＝ 5時（曲線 3），非主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的引入產(chǎn)生的最大偏差約為百分之十左右；而當(dāng) α＝ 5時（曲線 4），非主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的引入產(chǎn)生的最大偏差約為百分之五左右?？梢哉J(rèn)為，當(dāng)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)模值之比大于 5時，非主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)對時間響應(yīng)的影響可以忽略。進(jìn)一步的計算說明，這個結(jié)論與主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的模值的大小無關(guān)。 表 3－ 3列出了當(dāng) ξ＝ 、 ξ ωn＝ 5時實(shí)數(shù)極點(diǎn)的不同取值，圖 3－ 38為相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線；表 3－ 34列出了當(dāng) ＝， ξ ωn＝ 5時，實(shí)數(shù)極點(diǎn)的不同取值，圖 3－ 39為相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線；表 3－ 5列出了當(dāng) ξ＝ 、 ξ ωn＝ 5時，實(shí)數(shù)極點(diǎn)的不同取值，圖 3－ 40為相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線 。 ξ 開環(huán)極點(diǎn)的影響 對控制系統(tǒng)進(jìn)行初步的分析、設(shè)計時，常常直接從系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)入手。忽略了系統(tǒng)具有小時間常數(shù)的環(huán)節(jié)后，便可以用二階或三階系統(tǒng)來近似，這就是所謂的降價處理。下面將討論在什么情況下忽略小時間常數(shù)環(huán)節(jié)才是合理的。 圖 3－ 41是一個自整角機(jī)直流隨動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 R(s) K01 12 02 ?? sTsTT Kmma sK03C(s) 圖 341 自整角機(jī)直流隨動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 式中， Ta＝ La/Ra，稱為直流電動機(jī)的電磁時間常數(shù)； Tm＝RaJ/(cecm),稱為直流電動機(jī)的機(jī)電時間常數(shù)。 一般來說， TmTa。對上面的系統(tǒng)， Ta就是一個小時間常數(shù)，它是由直流電動機(jī)電樞回路存在電感而引起的。設(shè) Tm＝ 1s，Ta＝ 。下面將討論：在 K0取不同數(shù)值時，忽略電樞回路的電感會產(chǎn)生什么效果。 忽略電磁時間常數(shù) Ta后，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 式中， 02() ( 1 )a m mKGsT T s T s s? ??00() ( 1 )KGs s T s? ?0 01 02 03 0。 mK K K K T T?? （ 1）設(shè) K0＝ － 1 忽略 Ta后，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ( ) 0 .5()1 ( ) ( 1 ) 0 .5GssG s s s? ??? ? ?2220 . 7 0 72 0 . 7 0 7 0 . 7 0 7 0 . 7 0 7ss? ? ? ? ?(3 5 0 )?系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)， 。系統(tǒng)的動態(tài)性能為 。若不忽略電磁時間常數(shù) Ta，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 7, 7n????000 4 . 3 , 3 / 6 6 ( )00 snt T s? ??? ? ? ?2()( 1 )Gss s s??? 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 325()1 0 1 0 5s s s s? ? ? ? ?25( 8 . 9 5 4 ) ( 1 . 0 5 5 0 . 5 6 3 )s s s?? ? ?2228 .9 5 4 0 .7 5( 8 .9 5 4 ) ( 2 0 .7 0 3 0 .7 5 0 .7 5 )s s s??? ? ? ? ?(3 5 1)?系統(tǒng)的一對共軛極點(diǎn)為： ξ＝ ， ωn＝ ，非主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離與主導(dǎo)極點(diǎn)與原點(diǎn)的距離之比 α＝ p3/ ωn＝ 。 根據(jù)上面所述，用二階系統(tǒng) 2220 .7 5()2 0 .7 0 3 0 .7 5 0 .7 5s ss? ? ? ? ? ?(3 5 2 )?來近似原來的三階系統(tǒng)（ 3－ 51）不會引起明顯的誤差。比較式（ 3－ 50）（忽略 Ta）和式（ 3－ 52）可知，忽略 Ta不會使動態(tài)品質(zhì)有明顯的改變。圖 3－ 42曲線 a、 b分別為原系統(tǒng)和忽略 Ta的系統(tǒng)所對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線。 （ 2）設(shè) K0＝ 4s－ 1 忽略 Ta后，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)， ξ＝ ， ωn＝ 2。系統(tǒng)的動態(tài)性能為 。若不忽略電磁時間常數(shù)Ta，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ( ) 4()1 ( ) ( 1 ) 4GssG s s s? ??? ? ?22222 0 . 2 5 2 2ss? ? ? ? ?000 4 4 3 /( ) 6 6 ( )0 0 , snt T s? ??? ? ? ?24()( 0 .1 1 )Gs s s s? ??(3 5 3 )? 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 3240()1 0 1 0 4 0s s s s? ? ? ? ?240( 9 . 3 9 ) ( 0 . 6 1 4 . 2 7 )s s s? ? ? ?2229 .3 9 2 .0 7( 9 .3 9 ) ( 2 0 .1 4 7 2 .0 7 2 .0 7 )s s s??? ? ? ? ?(3 54)?系統(tǒng)的一對主導(dǎo)極點(diǎn)為： 。非主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離與主導(dǎo)極點(diǎn)與原點(diǎn)的距離之比 7, ????3 / / ??? ? ? 仍然以二階系統(tǒng)代替原系統(tǒng)，則其動態(tài)性能為 200e x p ( / 1 ) 1 0 0? ? ? ?? ? ? ?