【正文】 就是要看∠PAC=∠AMC？這個兩個角離得還不近，通常做法是，我們繼續(xù)尋找與這 兩個角分別相等或有互余關(guān)系的角。已知有一個：∠PAC=∠ABC，那么要看∠ABC 是否能 等于∠AMC？能相等嗎？你能看出來嗎？為什么？該第二問了。講過，一般圓的題目中給出兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積（可 能有兩條是同一條）。或者給出線段的比值等于線段比值，基本上是相似問題，因?yàn)閳A周角 太容易相等了。如果出現(xiàn)的是乘積形式，就寫比值形式，看他 們處于那兩個三角形中，這個就是解題思路，一般而言，呼市 相似題目還沒有出到需要倒騰線段或進(jìn)行線段加減后才能參與相似線段比的運(yùn)算。先看哪些線段的比， BDPD= FD ED= CD，還有哪些新的已知條 AD件，這些已知條件的加入能推導(dǎo)出什么結(jié)論，哪些結(jié)論對證明 相似有利。BCM 為 ⌒ 的中點(diǎn)，什么意思？垂徑定理，還是等弧對著的圓周角相等？不知道，的做法是兩 個結(jié)論都標(biāo)到圖上，然后裝在心里，呵呵，不是埋在心底，那太深了，一會提不出來。 等弧對著等角，但好像我們用不上這兩個三角形，看看垂徑定理。在《考前重點(diǎn)突破》講過，兩個等弦或兩個等弧共一點(diǎn)，八成用垂徑定理，沒錯，是八成，就是 80%。如果沒有從共 點(diǎn)出發(fā)的直徑，你一定給他搞一條，看看會有什么突破方向。本題，直徑已經(jīng)存在，就是 AM，垂徑定理及其推論，你因該會。在圖上早就標(biāo)了垂足 H。你先前已經(jīng)證得 AM⊥AP， 根據(jù)垂徑定理的推論，唾手可得 AM⊥BC，則兩條直線同時(shí)垂直一條直線，則兩條直線是平 行，常說有平行出內(nèi)錯。在《考前重點(diǎn)突破中》中，如果在幾何題中有平行，85%的情況是 用內(nèi)錯角，10%的情況用同位角，5%是同旁內(nèi)角，千萬別瞧不起 5%這個，有時(shí)候你在以算 角為主的幾何題中還真的不好繞過他。不管他是∠1 和∠3 的內(nèi)錯，還是∠PAC 和∠BCA 的內(nèi)錯，足以使△BDC 和△PDA 相似, 有1相似的目的只有一個，就是對應(yīng)邊長度比例相同，則 BDPD= CD AD。其實(shí)這道題目這個結(jié)論把有點(diǎn)小損，應(yīng)該 CDAD寫在中間，我想出卷人故意寫到最后的，這樣會有些小思考，所以你需要更大的視野，尤其在圓的題目中。 你的眼界有多大，世界就有多大！其實(shí)我們老百姓都是井底之蛙，只是井口大小不一樣而已， 但我們只要經(jīng)營得好，照樣是我們的一片天，一片地！——曾剛 哎，又拽文采、哲理了。其實(shí)就是想把數(shù)學(xué)教好，這就是的天，的地，你們的天和地呢？∠1=∠2 這個條件還沒有用上，先看看FDED= CD涉及到的線段所在哪些成對的三角形中， AD如果你看不出來，也沒辦法，還是有的：重新畫圖后用紅色筆將這個四根線段著重描一描， 起碼先看出個對頂角吧。好吧，先認(rèn)為你能看出來，連接 AE。不用說如果△ADE 和△CDB 不相似，你倔死也寫不出來FDED= CD。已經(jīng)有對頂角了，再找一對角，我們先看下∠AED 和∠CFD，∠CFD 不再圓AD周上，不好倒騰，先棄之！再看∠4 和∠2，離得比較遠(yuǎn)，好在兩個角都在圓周上，能倒騰！∠2=∠1，那么∠1 等于什么？平行出內(nèi)錯呀，你找不到∠1 的同位角和同旁內(nèi)角，所以∠1=∠3，那么再看∠3 是否能與∠4 相等，一看，這個兩個圓周角共弦，但圖上沒有連接EC，那我們是否需要把 EC 連接上呢？不用，這個兩個圓周角共。 證明：(1) 連接 MC?！逜M 為⊙O 直徑∴∠ACM=90176?！唷螦MC+∠MAC =90176。又∵∠AMC=∠ABC∴∠ABC+∠MAC=90176。又 ∵∠ABC=∠PAC∴∠PAC+∠MAC=90176?！唷螾AM=90176。,即 MA⊥AP∴AP 為⊙O 的切線. (2)連接 AE.BC∵M(jìn) 為 ⌒ 中點(diǎn)，AM 為⊙O 的直徑∴AM⊥BC又∵AM⊥AP∴AP∥BC∴△ADP∽△CDB （這里，用的是兩條直線被一組平斜線所截，所得對應(yīng)線段成比例， 更為樸素、本質(zhì)）∴BD = CD .PD AD∵AP//BC∴∠CBE =∠P又∵∠CBE=∠CAE∴∠P=∠CAE 又∵∠P=∠DCF∴∠DCF=∠CAE∵∠ADE=∠CDF∴△ADE∽△CDF∴FD = CD .ED AD綜上，可證得：BDPD= FD ED= CD. AD10．（2015?廣東廣州,第 23 題 12 分）如圖，AC 是⊙O 的直徑，點(diǎn) B 在⊙O 上，∠ACB=30176。（1）利用尺規(guī)作∠ABC 的平分線 BD，交 AC 于點(diǎn) E，交⊙O 于點(diǎn) D，連接 CD（保留作圖 痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，求△ABE 與△CDE 的面積之比．考點(diǎn)： 作圖—復(fù)雜作圖；圓周角定理．分析： （1）①以點(diǎn) B 為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角 ABC 兩邊于點(diǎn) M，N；② 分別以點(diǎn) M，N 為圓心，以大于 MN 的長度為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)；③作射線 BE 交AC 與 E，交⊙O 于點(diǎn) D，則線段 BD 為△ABC 的角平分線；（2）連接 OD，設(shè)⊙O 的半徑為 r，證得△ABE∽△DCE，在 Rt△ACB 中，∠ABC=90176。，∠ACB=30176。，得到 AB=AC=r，推出△ADC 是等腰直角三角形，在 Rt△ODC 中，求得DC==r，于是問題可得． 解答： （1）如圖所示；（2）如圖 2，連接 OD，設(shè)⊙O 的半徑為 r，∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，在 Rt△ACB 中，∠ABC=90176。，∠ACB=30176。，∴AB=AC=r，∵∠ABD=∠ACD=45176。，∵OD=OC，∴∠ABD=∠ACD=45176。，∴∠DOC=90176。，在 Rt△ODC 中，DC==r，∴===．點(diǎn)評：本題主要考查基本作圖，圓周角定理，勾股定理，作一個角的平分線，牢記一些基本作圖是解答本題的關(guān)鍵．11．（2015?廣東佛山,第 23 題 8 分）如圖，⊙O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 兩組對邊的延長線分別 交于點(diǎn) E、F．（1）若∠E=∠F 時(shí)，求證：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42176。時(shí)，求∠A 的度數(shù)；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A 的大?。键c(diǎn)： 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理． 分析： （1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果；（3）連結(jié) EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ECD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180176。，即 2∠A+α+β=180176。，再解方程即可． 解答： 解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90176。，∴∠A=90176。﹣42176。=48176。；（3）連結(jié) EF，如圖，∵四邊形 ABCD 為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180176。，∴2∠A+α+β=180176。，∴∠A=90176。﹣．點(diǎn)評： 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊 形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起 來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．12. （2015 山東省德州市，21，10 分）如圖，⊙O 的半徑為 1，A，P，B，C 是⊙O 上的四 個點(diǎn). ∠APC=∠CPB=60176。.(1)判斷△ABC 的形狀： ；(2)試探究線段 PA，PB，PC 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)點(diǎn) P 位于的什么位置時(shí)，四邊形 APBC 的面積最大？求出最大面積.【答案】（1）等邊三角形；（2）（2）PA+PB=PC.（3）理由如下：如圖 2，過點(diǎn) P 作 PE⊥AB，垂足為 E，考點(diǎn)：圓周角定理；圓的有關(guān)性質(zhì)；全等三角形的判定……依次順延13（2015 威海,第 22 題 9 分）如圖，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 為直徑的⊙O 交 AB 于點(diǎn) D，交 BC 于點(diǎn) E．（1）求證：BE=CE；（2）若 BD=2，BE=3，求 AC 的長．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．.專題：證明題．分析：（1）連結(jié) AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由 AC 為⊙O 的直徑得到∠AEC=90176。，然后利 用等腰三角形的性質(zhì)即可得到 BE=CE；（2）連結(jié) DE，如圖，證明△BED∽△BAC，然后利用相似比可計(jì)算出 AB 的長，從而 得到 AC 的長．解答：（1）證明：連結(jié) AE，如圖，∵AC 為⊙O 的直徑，∴∠AEC=90176。，∴AE⊥BC， 而 AB=AC，∴BE=CE；（2）連結(jié) DE，如圖，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC， 而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中 已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和圓周角定理．