【正文】 ．歷年純幾何題AB CDEHFG()（2012年第21題）如圖，在矩形紙片中，，把沿對角線折疊，使點落在點處，交于點，、分別是和上的點，線段交于點，把沿折疊，使點落在處，點恰好與點重合．（1）求證：；（2）求的值；（3）求的長．（2011年第21題）如圖（1），與為等腰直角三角形，與重合，，固定，將繞點順時針旋轉，當邊與邊重合時，旋轉中止，現(xiàn)不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設，（或它們的延長線）分別交（或它們的延長線）于，點，如圖（2）（1）問：始終與相似的三角形有 及 ；（2）設，求關于的函數(shù)關系式（只要求根據(jù)圖（2）的情況說明理由）（3）問：當為何值時，是等腰直角三角形圖(1)BHFA（D）GCEC（E）BFA（D）圖(2)（2010年第20題）已知兩個全等的直角三角形紙片、如圖（1）放置，點B、D重合，點F在上，與交于點G.，．（1）求證：是等腰三角形；（2）若紙片不動，問繞點F逆時針旋轉最小____度時，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形（如圖（2））．求此梯形的高．（2009年第20題）（1）如圖1，圓心接中，、為的半徑，于點，于點求證：陰影部分四邊形的面積是的面積的．（2）如圖2，若保持角度不變，求證：當繞著點旋轉時，由兩條半徑和的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是的面積的．（2008年第21題）（1）如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC，求∠AEB的大?。唬?）如圖2，固定不動，保持的形狀和大小不變，將繞著點O旋轉（和不能重疊)，求∠AEB的大小.DOBACECDOAEB圖1圖2ABOA1A2A3A4A5A6A7B1B2B3B4B5B6B7（2007年第20題）已知等邊的邊長為，以邊上的高為邊，按逆時針方向作等邊，與相交于點 .（1）求線段的長；（2）若再以為邊按逆時針方向作等邊，與相交于點，按此作法進行下去，得到，…， (如圖)．求的周長．歷年代數(shù)與幾何綜合題（2012年第22題）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，連接，．（1）求和的長；（2）點從點出發(fā)，沿軸向點運動（點與點、不重合），過點作直線平行于，交于點，設的長為，的面積為，求關于的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；DOxABCyE（3）在（2）的條件下，連接，求面積的最大值；此時，求出以點為圓心，與相切的圓的面積（結果保留）．略解：（1）令， 得，令得，故（，0），（6，0）∴，；（2）∵∥，∴∽，∴，而，∴， ∴（）；（3）∵，∴∵，∴當時，取得最大值，最大值為，此時，，過作于，在中，∴，解得，∴所求⊙E的面積為．（2011年第22題）如圖，拋物線與軸交于點，過的直線與拋物線交于另一點，過作軸，垂足為點（3，0）．（1）求直線的函數(shù)關系式；（2）動點在線段上從原點出發(fā)以每秒1個單位的速度向移動，過作軸，交直線于，交拋物線于，設移動的時間為秒，的長度為個單位，求與的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；（3）設在（2）的條件下，（不考慮點與點、點重合的情況），連接，當為何值時，四邊形為平行四邊形？問對于所有值，平行四邊形是否菱形？說明理由．yAAPNBMCxO解：（1）易知（0，1），的橫坐標為3，當時，即(3，)，設直線的解析式是∴， ，∴ ；（2）的橫坐標為，則的縱坐標為，的縱坐標為，即， ，（3）當時，四邊形為平行四邊形，此時， ， ，當時，，四邊形是菱形．當時，，四邊形不是菱形．（2010年第22題）如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長，點F在DC上，.動點M、N分別從點D、B同時出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點A的方向運動（點M可運動到DA的延長線上），當動點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動．連結FM、MN、FN，當F、N、M不在同一條直線時，可得，過三邊的中點作．設動點M、N的速度都是1個單位／秒，M、N運動的時間為秒．試解答下列問題：（1）說明∽；（2）設0≤≤4（即M從D到A運動的時間段）．試問為何值時， 為直角三角形？當在何范圍時，不為直角三角形？（3）問當為何值時，線段MN最短？求此時MN的值．答案：（1）如圖，由，∴∽；(2)由 (1)知只討論的情況：過點作交于，則，，，情況①：當時，有，；情況②：當時，有，，方程無解；情況③：時，有，由此可見，當，時，為直角三角形，當，時，不為直角三角形．本題（2)也可以從∽，∽，和、重合時，得出結論．（3）當時，顯然逐漸縮短，故只考慮時的情況，∵，∴，∴當時，最小，即最小，∴，DMABCN（2009年第22題）正方形的邊長為4，、分別是、上的一個動點，當點在上運動時，保持和垂直．（1）證明：；（2）設，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式；當點運動到什么位置時，四邊形面積最大，并求出最大面積；（3）當點運動到什么位置時，∽，求此時的值．答案：(1)易證，所以∽；(2)∴，即，得， ∴，∴當時，有最大值，最大值是10；(3)由(1)知 ，若，則，∵，故當點運動到的中點時∽，此時.（2008年第22題）將兩塊大小一樣含角的直角三角板疊放在一起，使得它們是斜邊重合，直角邊不重合，已知，與相交于點，連接．（1）填空：如圖9， ， ；四邊形是 梯形．（2）請寫出圖9中所有的相似三角形（不含全等三角形）．（3）如圖10，若以所在的直線為軸，過點垂直于的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標系，保持不動，將向軸的正方向平移到的位置，與相交于點，設，面積為，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍．BDACEADCBFEHPGyx答案：（1），等腰；（2）共9對相似三角形：①、與或兩兩相似，（有5對）分別是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；②∽，∽（有2對）；③∽，∽（有2對）；（3）過點作交于，交于，為等腰梯形是高，則，∵平移到，∴，∵，∴∽，∴，即，得∵，∴，∴與之間的函數(shù)關系式是，的取值范圍為．ADBECGHF （2007年第22題）如圖，正方形的邊長為，兩動點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動，與相對應的在運動過程中始終保持≌，對應邊，、在一直線上.（1）若，求的長；（2）當點在邊上的什么位置時，的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值. 答案：（1）連接，在可求得；（2）設，則有，所以當時，的面積取得最小值，最小值為歷年數(shù)值運算規(guī)律探究題（2012年第19題）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；………………………………請解答下列問題：（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：a5 = = ；（2）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an = = （n為正整數(shù)）；（3）求…的值．解：（1）；（2）（3）…（2011年第20題）如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 …………………………（1）表中第8行的最后一個數(shù)是____，它是自然數(shù)_____的平方，第8行共有_____個數(shù)；（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是____，最后一個數(shù)是___，第n行共有___個數(shù)；（3）求第n行各數(shù)之和．略解：(1)64，8，15；（2）n22n+2，n2，(2n1)。（3）第n行各數(shù)之和：（2010年第21題）閱讀下列材料：，，由以上三個等式相加，可得讀完以上材料，請你計算下各題：（1）（寫出過程）；（2） ；（3） ．38