【正文】 ．歷年純幾何題AB CDEHFG()（2012年第21題）如圖，在矩形紙片中，，把沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，、分別是和上的點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，把沿折疊，使點(diǎn)落在處，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合．（1）求證：；（2）求的值；（3）求的長(zhǎng)．（2011年第21題）如圖（1），與為等腰直角三角形，與重合，，固定，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止，現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)，（或它們的延長(zhǎng)線）分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于，點(diǎn)，如圖（2）（1）問：始終與相似的三角形有 及 ；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖（2）的情況說明理由）（3）問：當(dāng)為何值時(shí)，是等腰直角三角形圖(1)BHFA（D）GCEC（E）BFA（D）圖(2)（2010年第20題）已知兩個(gè)全等的直角三角形紙片、如圖（1）放置，點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在上，與交于點(diǎn)G.，．（1）求證：是等腰三角形；（2）若紙片不動(dòng)，問繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)最小____度時(shí)，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形（如圖（2））．求此梯形的高．（2009年第20題）（1）如圖1，圓心接中，、為的半徑，于點(diǎn)，于點(diǎn)求證：陰影部分四邊形的面積是的面積的．（2）如圖2，若保持角度不變，求證：當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是的面積的．（2008年第21題）（1）如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC，求∠AEB的大??；（2）如圖2，固定不動(dòng)，保持的形狀和大小不變，將繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（和不能重疊)，求∠AEB的大小.DOBACECDOAEB圖1圖2ABOA1A2A3A4A5A6A7B1B2B3B4B5B6B7（2007年第20題）已知等邊的邊長(zhǎng)為，以邊上的高為邊，按逆時(shí)針方向作等邊，與相交于點(diǎn) .（1）求線段的長(zhǎng)；（2）若再以為邊按逆時(shí)針方向作等邊，與相交于點(diǎn)，按此作法進(jìn)行下去，得到，…， (如圖)．求的周長(zhǎng)．歷年代數(shù)與幾何綜合題（2012年第22題）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．（1）求和的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），過點(diǎn)作直線平行于，交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；DOxABCyE（3）在（2）的條件下，連接，求面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)為圓心，與相切的圓的面積（結(jié)果保留）．略解：（1）令， 得，令得，故（，0），（6，0）∴，；（2）∵∥，∴∽，∴，而，∴， ∴（）；（3）∵，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，，過作于，在中，∴，解得，∴所求⊙E的面積為．（2011年第22題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，過的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，過作軸，垂足為點(diǎn)（3，0）．（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)點(diǎn)在線段上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向移動(dòng)，過作軸，交直線于，交拋物線于，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為秒，的長(zhǎng)度為個(gè)單位，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下，（不考慮點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)重合的情況），連接，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？問對(duì)于所有值，平行四邊形是否菱形？說明理由．yAAPNBMCxO解：（1）易知（0，1），的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)時(shí)，即(3，)，設(shè)直線的解析式是∴， ，∴ ；（2）的橫坐標(biāo)為，則的縱坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，即， ，（3）當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)， ， ，當(dāng)時(shí)，，四邊形是菱形．當(dāng)時(shí)，，四邊形不是菱形．（2010年第22題）如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長(zhǎng)，點(diǎn)F在DC上，.動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長(zhǎng)線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)FM、MN、FN，當(dāng)F、N、M不在同一條直線時(shí)，可得，過三邊的中點(diǎn)作．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位／秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．試解答下列問題：（1）說明∽；（2）設(shè)0≤≤4（即M從D到A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段）．試問為何值時(shí)， 為直角三角形？當(dāng)在何范圍時(shí)，不為直角三角形？（3）問當(dāng)為何值時(shí)，線段MN最短？求此時(shí)MN的值．答案：（1）如圖，由，∴∽；(2)由 (1)知只討論的情況：過點(diǎn)作交于，則，，，情況①：當(dāng)時(shí)，有，；情況②：當(dāng)時(shí)，有，，方程無解；情況③：時(shí)，有，由此可見，當(dāng)，時(shí)，為直角三角形，當(dāng)，時(shí)，不為直角三角形．本題（2)也可以從∽，∽，和、重合時(shí)，得出結(jié)論．（3）當(dāng)時(shí)，顯然逐漸縮短，故只考慮時(shí)的情況，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，即最小，∴，DMABCN（2009年第22題）正方形的邊長(zhǎng)為4，、分別是、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持和垂直．（1）證明：；（2）設(shè)，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形面積最大，并求出最大面積；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，∽，求此時(shí)的值．答案：(1)易證，所以∽；(2)∴，即，得， ∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是10；(3)由(1)知 ，若，則，∵，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)∽，此時(shí).（2008年第22題）將兩塊大小一樣含角的直角三角板疊放在一起，使得它們是斜邊重合，直角邊不重合，已知，與相交于點(diǎn)，連接．（1）填空：如圖9， ， ；四邊形是 梯形．（2）請(qǐng)寫出圖9中所有的相似三角形（不含全等三角形）．（3）如圖10，若以所在的直線為軸，過點(diǎn)垂直于的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標(biāo)系，保持不動(dòng)，將向軸的正方向平移到的位置，與相交于點(diǎn)，設(shè)，面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．BDACEADCBFEHPGyx答案：（1），等腰；（2）共9對(duì)相似三角形：①、與或兩兩相似，（有5對(duì)）分別是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；②∽，∽（有2對(duì)）；③∽，∽（有2對(duì)）；（3）過點(diǎn)作交于，交于，為等腰梯形是高，則，∵平移到，∴，∵，∴∽，∴，即，得∵，∴，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式是，的取值范圍為．ADBECGHF （2007年第22題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，兩動(dòng)點(diǎn)E、F分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開始以相同速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，與相對(duì)應(yīng)的在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持≌，對(duì)應(yīng)邊，、在一直線上.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上的什么位置時(shí)，的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值. 答案：（1）連接，在可求得；（2）設(shè)，則有，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最小值，最小值為歷年數(shù)值運(yùn)算規(guī)律探究題（2012年第19題）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；………………………………請(qǐng)解答下列問題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5 = = ；（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an = = （n為正整數(shù)）；（3）求…的值．解：（1）；（2）（3）…（2011年第20題）如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 …………………………（1）表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是____，它是自然數(shù)_____的平方，第8行共有_____個(gè)數(shù)；（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個(gè)數(shù)是____，最后一個(gè)數(shù)是___，第n行共有___個(gè)數(shù)；（3）求第n行各數(shù)之和．略解：(1)64，8，15；（2）n22n+2，n2，(2n1)。（3）第n行各數(shù)之和：（2010年第21題）閱讀下列材料：，，由以上三個(gè)等式相加，可得讀完以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下各題：（1）（寫出過程）；（2） ；（3） ．38