【正文】 案】證明：∵△AEB由△ADC旋轉(zhuǎn)而得，∴△AEB≌△ADC?！唷螮AB=∠CAD，∠EBA=∠C?！逜B=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C。∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA?！摺螮BM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA。又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB（ASA）。∴AM=AN?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，結(jié)合等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，從而推出∠MBA=∠NBA，然后根據(jù)“角邊角”證明△AMB≌△ANB，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證。　13. （2012湖南益陽(yáng)12分）已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點(diǎn)，AE⊥BF于點(diǎn)G，且BE=1．（1）求證：△ABE≌△BCF；（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；（3）現(xiàn)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△AB′E′（如圖2），使點(diǎn)E落在CD邊上的點(diǎn)E′處，問(wèn)△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90176。，AB=BC?！唷螦BF+∠CBF=90176?！逜E⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90176。∴∠BAE=∠CBF。在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA）。 （2）解：∵正方形面積為3，∴AB=。在△BGE與△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90176。，∴△BGE∽△ABE?！唷Ｓ帧連E=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。∴。（3）解：沒(méi)有變化。理由如下：∵AB=，BE=1，∴?！唷螧AE=30176?！逜B′=AD，∠AB′E′=∠ADE39。=90176。，AE′= AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30176。∴AB′與AE在同一直線(xiàn)上，即BF與AB′的交點(diǎn)是G。設(shè)BF與AE′的交點(diǎn)為H，則∠BAG=∠HAG=30176。，而∠AGB=∠AGH=90176。，AG= AG，∴△BAG≌△HAG?！唷?∴△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積沒(méi)有變化。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形。【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90176。，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可證得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。（2）由正方形ABCD的面積等于3，即可求得此正方形的邊長(zhǎng)，由在△BGE與△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90176。，可證得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案。（3）由正切函數(shù)，求得∠BAE=30176。，易證得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′與AE在同一直線(xiàn)上，即BF與AB′的交點(diǎn)是G，然后設(shè)BF與AE′的交點(diǎn)為H，可證得△BAG≌△HAG，從而證得結(jié)論。14. （2012湖南懷化10分）如圖1，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，長(zhǎng)方形AEFG的寬,長(zhǎng)．將長(zhǎng)方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15176。得到長(zhǎng)方形AMNH (如圖2)，這時(shí)BD與MN相交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）在圖2中，求D、N兩點(diǎn)間的距離；（3）若把長(zhǎng)方形AMNH繞點(diǎn)A再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15176。得到長(zhǎng)方形ARTZ,請(qǐng)問(wèn)此時(shí)點(diǎn)B在矩形ARTZ的內(nèi)部、外部、還是邊上？并說(shuō)明理由．圖1 圖2【答案】解：（1）如圖，設(shè)AB與MN相交于點(diǎn)K，根據(jù)題意得：∠BAM=15176。， ∵四邊形AMNH是矩形，∴∠M=90176?！唷螦KM=90176。－∠BAM=75176。∴∠BKO=∠AKM=75176。，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=45176。∴∠DOM=∠BKO+?ABD=75176。+45176。=120176。
（2）連接AN，交BD于I，連接DN，∵NH=，AH=，∠H=90176。，∴?！唷螲AN=30176?！郃N=2NH=7。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：∠DAH=15176。，∴∠DAN=45176?！摺螪AC=45176。，∴A，C，N共線(xiàn)?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴BD⊥AC?！逜D=CD=，∴?！郚I=AN－AI=7－3=4。在Rt△DIN中。（3）點(diǎn)B在矩形ARTZ的外部。理由如下：如圖，根據(jù)題意得：∠BAR=15176。+15176。=30176?！摺蟁=90176。，AR= ，∴?！?，∴AB= ＞?！帱c(diǎn)B在矩形ARTZ的外部?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的大小比較?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠BAM=15176。，即可得∠OKB=∠AOM=75176。，又由正方形的性質(zhì)，可得∠ABD=45176。，然后利用外角的性質(zhì)，即可求得∠DOM的度數(shù)。（2）首先連接AM，交BD于I，連接DN，由特殊角的三角函數(shù)值，求得∠HAN=30176。，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得∠DAN=45176。，即可證得A，C，N共線(xiàn)，然后由股定理求得答案。（3）在Rt△ARK中，利用三角函數(shù)即可求得AK的值，與AB比較大小，即可確定B的位置。15. （2012湖南長(zhǎng)沙9分）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，并延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)G．（1）求證：△BDG∽△DEG；（2）若EG?BG=4，求BE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：∵將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF?！唷螰DC=∠EBC?！連E平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC?！唷螰DC=∠EBE。又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG。（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴∠DCB=90176。，∠DBC=∠BDC=45176。∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=176。=∠FDC。∴∠BDF=45176。+176。=176。，∠F=90176。﹣176。=176。=∠BDF?！郆D=BF，∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=176。=∠DEG。∴∠DGB=180176。﹣176。﹣176。=90176。，即BG⊥DF?！連D=BF，∴DF=2DG?！摺鰾DG∽△DEG，BGEG=4，∴。 ∴BGEG=DGDG=4?！郉G=2∴BE=DF=2DG=4。【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理。【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根據(jù)相似三角形的判定推出即可。（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根據(jù)相似求出DG的長(zhǎng)，即可求出答案。16. （2012四川成都10分） 如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90176。，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段DE與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)P，線(xiàn)段EF與射線(xiàn)CA相交于點(diǎn)Q．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ；并求當(dāng)BP=a，CQ=時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離 (用含a的代數(shù)式表示)．【答案】解：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45176。，AB=AC。 ∵AP=AQ，∴BP=CQ?！逧是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE。在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPE≌△CQE（SAS）。（2）連接PQ?！摺鰽BC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45176?！摺螧EQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45176。=∠EQC+45176?！唷螧EP=∠EQC?！唷鰾PE∽△CEQ。∴?！連P=a，CQ=，BE=CE，∴，即BE=CE=。∴BC=。∴AB=AC=BC?sin45176。=3a。∴AQ=CQ﹣AC=，PA=AB﹣BP=2a?！嘣赗t△APQ中?！究键c(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理。【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45176。，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中點(diǎn)，利用SAS，可證得：△BPE≌△CQE。（2）由△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45176。，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得∠BEP=∠EQC，則可證得：△BPE∽△CEQ；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長(zhǎng)，即可得BC的長(zhǎng)，從而求得AQ與AP的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求得P、Q兩點(diǎn)間的距離。17. （2012四川樂(lè)山12分）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0176。＜θ＜90176。）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45176。時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB=4，AD=時(shí)，求線(xiàn)段BG的長(zhǎng)．【答案】解：（1）BD=CF成立。理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90176?！摺螧AD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF（SAS）?！郆D=CF。（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM=∠GCM。又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG?！唷螧GC=∠BAC=90176?！郆D⊥CF。②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N?！咴谡叫蜛DEF中，AD=DE=，∴?！郃N=FN=AE=1。∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3。∴在Rt△FCN中。在Rt△ABM中?！郃M=?！郈M=AC﹣AM=4﹣?！摺鰾MA∽△CMG，∴，即，∴CG=?！嘣赗t△BGC中。【考點(diǎn)】等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF。（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對(duì)頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得BGC=∠BAC=90176。，即可證得BD⊥CF。②首先過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長(zhǎng)，繼而求得AN，CN的長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM=。然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得線(xiàn)段BG的長(zhǎng)。18. （2012四川資陽(yáng)8分）（1）(3分)如圖（1），正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫(xiě)出HD∶GC∶EB的結(jié)果（不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）；（2）(3分)將圖（1）中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2），求HD∶GC∶EB；（3）(2分)把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知ＤA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此時(shí)HD∶GC∶EB的值與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫(xiě)出變化后的結(jié)果（不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）．【答案】解：（1）HD:GC:EB＝１: :1。（2）連接AG、AC，∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，∴AD:AC＝AH:AG＝１:，∠DAC=∠HAG=45176?！唷螪AH=∠CAG?！唷鱀AH∽△CAG?！郒D:GC＝AD:AC＝１:。∵∠DAB=∠HAE=90176。，∴∠DAH=∠BAE。又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE（SAS）?！郒D=EB?！郒D:GC:EB＝１::1。（3）有變化，HD:GC:EB＝?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）連接AG，∵正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，∴∠GAE=∠CAB=45176。，AE=AH，AB=AD?！郃，G，C共線(xiàn)，AB－AE=AD－AH，∴HD=BE。∵ ∴GC=AC－AG=AB－AE= （AB－AE）= BE。∴HD：GC：EB=1：：1。（2）連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值。（3）連接AG、AC，∵矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，DA：AB=HA：AE=m：n，∴∠ADC=∠AHG=90176。，∴△ADC∽△AHG?！郃D：AC=AH：AG=，∠DAC=∠HAG?！唷螪AH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。∴HD：GC=AD：AC=?！摺螪AB=∠HAE=90176。，∴∠DAH=∠BAE?！逥A：AB=HA：AE=m：n，∴△ADH∽△ABE。∴DH：BE=AD：AB=m：n?！郒D：GC：EB=。19. （2012四川瀘州7分）“五一”節(jié)期間，小明和同學(xué)一起到游樂(lè)場(chǎng)