【正文】 ???niiTT式中， T 為桿的整個橫截面上的扭矩， It 為整個橫截面的相當(dāng)極慣性矩。 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 93 根據(jù)假設(shè) 2并注意到 可知桿的每一組成部分橫截面上位于長邊中點處的最大切應(yīng)力為 ,ttIITT ii ?iiiiiii ITITWT ???tttm a x ??????? ntiihTIT13m a xm a xtm a x31????(2) 各組成部分橫截面上的最大切應(yīng)力 ?max 而整個桿的橫截面上的最大切應(yīng)力 ?max在厚度最大 (?max)的那個矩形的長邊中點處： 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 94 ??????niiihII13tt 31 ???tGIT??j(3) 桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角 根據(jù)實驗結(jié)果有： 角鋼截面 h =,槽鋼截面 h =,T形鋼截面 h =，工字鋼截面 h =。 式中， 。對于型鋼，由于其橫截面的翼緣部分是變厚度的，且橫截面邊緣處以及內(nèi)部連接處有圓角，增加了桿的剛度，故在計算扭轉(zhuǎn)角時應(yīng)采用乘以修正因數(shù) h后的相當(dāng)極慣性矩 It?： ???niiihI13t 31 ?材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 95 鋼制有縱向切縫的開口環(huán)形薄壁截面桿，如圖所示。已知：作用于桿兩端的扭轉(zhuǎn)力偶矩為 Me= 30 Nm，平均直徑 d0= 40 mm，壁厚 ? = 2 mm；鋼的切變模量G=80 109Pa。試計算： (1)該開口環(huán)形截面桿橫截面上的最大切應(yīng)力和桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角； (2)若該桿無縱向切縫，求橫截面上的最大切應(yīng)力和桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角。 例題 39 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 96 1. 求縱向切縫的開口環(huán)形薄壁截面桿的 ?max和 j39。 計算中可將開口環(huán)形薄壁截面展開為 h=pd0，?=? 狹長矩形截面來處理。 mN30e ??? MT412333303tm103 3 5)m102)(m1040π(31)π(3131??????????? ?? dhI例題 39 解： 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 97 393412tt 6 7m102m103 3 5??????????IW? ? r a d / )Pa1080( mN30 4129t1 ??? ???? ?GI TjMP mN30 639tm a x,1 ????????WT?例題 39 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 98 橫截面上切應(yīng)力沿厚度的按規(guī)律變化其指向如圖 b所示。 例題 39 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 99 2. 求無縱向切縫的薄壁圓筒桿的 ?max和 j39。 ? ? ? ?MP a6m102m10404π2mN302 32302????????????AT ? ?? ? ? ?r a d / m10402Pa1080Pa106213396002???????????????????dGrl?gjj例題 39 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 100 橫截面上切應(yīng)力沿厚度均勻分布，其指向如圖所示。 例題 39 30030212m a x1??????3 . 7 5 r a d / mr a d / m6 MP aMP ajj?? 可見，薄壁圓環(huán)截面桿若有一縱向切縫，其切應(yīng)力和單位長度的扭轉(zhuǎn)角顯著增加，亦即其強度和剛度顯著降低。工程中多采用加橫隔板提高開口薄壁截面桿的強度和剛度。 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 101 近似假設(shè)：橫截面上各點處的切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化，切應(yīng)力的方向與壁厚中線相切。 Ⅱ . 閉口薄壁截面桿 (任意閉口截面的變厚度薄壁等直桿件 ) 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 102 (1) 應(yīng)力的計算公式 由相距 dx的兩橫截面及任意兩個與壁厚中線正交的縱截面取出如圖所示的分離體。如果橫截面上C 和 D兩點處的切應(yīng)力分別為 ?1和 ?2，則根據(jù)切應(yīng)力互等定理，上下兩縱截面上亦有切應(yīng)力 ?1和 ?2。 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 103 若 C 和 D 兩點處的壁厚分別為 ?1和 ?2，則由該分離體的平衡條件 SFx=0 有 ?1?1d x=?2?2d x 從而知 亦即橫截面上沿周邊任一點處 ?? 為常量。 2211 ???? ?材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 104 從而有 (參見圖 )： 02dd AsrsrT ss ???? ?? ??????于是得閉口薄壁截面等直桿橫截面上任一點處切應(yīng)力的計算公式： ?? 02 AT? 薄壁圓筒作為這類薄壁桿件的特例，當(dāng)然也適用此公式。事實上此式即是 167。 32中導(dǎo)出的公式。 式中， A0為壁厚中線所圍的面積。 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 105 m i n0m a x 2 ?? AT? 閉口薄壁截面等直桿橫截面上的最大切應(yīng)力?max在最小壁厚 ?min處： 值得注意的是，開口薄壁截面等直桿橫截面上的最大切應(yīng)力 ?max是在壁厚最大的組成部分的長邊中點處。 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 106 (2) 桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角的計算公式 桿內(nèi)任一點處的應(yīng)變能密度： 2202202ε 82212 ???GATATGGv ?????????單位長度桿內(nèi)的應(yīng)變能： ??? ???? ssV sGATsGATVvV ??? d8d18d 2022202εε??? s sGAT ?j d4 20當(dāng)壁厚 ?為常數(shù)時有 ?j 204 GATs??單位長度桿兩端截面上的扭矩作的功： 2j?? TW于是，根據(jù) Ve=W 得單位長度扭轉(zhuǎn)角的計算公式： 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 107 一環(huán)形薄壁截面桿 (圖 a)和一正方的箱形薄壁截面桿 (圖 b)，兩桿的材料相同，長度 l、 橫截面面積、壁厚 ?分別 相等，作用在桿端的扭轉(zhuǎn)力偶矩也相同。試求兩桿橫截面上切應(yīng)力之比 ?1/?2和兩桿單位長度扭轉(zhuǎn)角之比 j139。/j239。 例題 310 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 108 兩桿的橫截面面積分別為 A1=2pr0?， A2=4b? 由 A1=A2 ，即 2pr0? =4b? ，得 2π 0rb ?4π,)2π(,π0201202022001 ???? AArbArA1. 由 和 可見，要求環(huán)形和正方的箱形截面桿的 ?1/?2和 j139。/j239。 ，必須首先求出兩桿壁厚中線所圍成的面積 A01和 A02的關(guān)系。 ?? 02 AT??j 204 GATs??例題 310 解： 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 109 7 8 4π220102020121 ????AAATAT????2. 求 21??例題 310 3. 求 21jj ?? 0221201022022201121 ???????????????????brssAAGATsGATs??jj 式中， 4b=2pr0， s1和 s2分別為環(huán)形和正方的箱形截面的壁厚中線的長度。 由以上結(jié)果可知，在題中規(guī)定條件下，環(huán)形截面桿的抗扭性能比正方的箱形截面桿要好。 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 110 作業(yè)： 312， 316， 319， 323 材料力學(xué) (Ⅰ )電子教案 扭 轉(zhuǎn) 11