江蘇省各地市高三歷次模擬數(shù)學(xué)試題分類匯編：第章數(shù)列-資料下載頁(yè)
2025-01-14 19:18本頁(yè)面
【正文】 所以無(wú)正整數(shù)解； 當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以． 綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)．16分在數(shù)列，中，已知，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中為正整數(shù).（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）問(wèn)是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（南通調(diào)研一）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．若(N*)，則稱是“緊密數(shù)列”．（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和(N*)，證明：是“緊密數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍．（淮安宿遷摸底）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，．（1）求；（2）若數(shù)列{Mn}滿足條件： ，當(dāng)時(shí)，－，其中數(shù)列單調(diào)遞增，且，．①試找出一組，使得；②證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方．（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，得， ……………………2分解得，所以……………………………………………4分（2）①因?yàn)?，若，因?yàn)椋?，此方程無(wú)整數(shù)解； ………………6分若，因?yàn)?，所以，此方程無(wú)整數(shù)解；………………8分若，因?yàn)椋裕獾?，所以，滿足題意…………………………………………………10分 ②由①知，，則，，一般的取， ………………………13分此時(shí)，則＝－＝，所以為一整數(shù)平方．因此存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方．……16分（南京鹽城二模）給定一個(gè)數(shù)列{an}，在這個(gè)數(shù)列里，任取m(m≥3，m∈N*)項(xiàng)，并且不改變它們?cè)跀?shù)列{an}中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列{an}的一個(gè)m階子數(shù)列．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ (n∈N*，a為常數(shù))，等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列{an}的一個(gè)3階子數(shù)列． （1）求a的值；（2）等差數(shù)列b1，b2，…，bm是{an}的一個(gè)m (m≥3，m∈N*) 階子數(shù)列，且b1＝ (k為常數(shù)，k∈N*，k≥2)，求證：m≤k＋1； （3）等比數(shù)列c1，c2，…，cm是{an}的一個(gè)m (m≥3，m∈N*) 階子數(shù)列，求證：c1＋c2＋…＋cm≤2－． 解：（1）因?yàn)閍2，a3，a6成等差數(shù)列，所以a2－a3＝a3－a6．又因?yàn)閍2＝，a3＝， a6＝，代入得－＝－，解得a＝0． …………… 3分（2）設(shè)等差數(shù)列b1，b2，…，bm的公差為d．因?yàn)閎1＝，所以b2≤，從而d＝b2－b1≤ －＝－． ……………… 6分所以bm＝b1＋(m－1)d≤－．又因?yàn)閎m＞0，所以－＞0．即m－1＜k＋1．所以m＜k＋2．又因?yàn)閙，k∈N*，所以m≤k＋1． …………… 9分（3）設(shè)c1＝ (t∈N*)，等比數(shù)列c1，c2，…，cm的公比為q．因?yàn)閏2≤，所以q＝≤． 從而＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N*）． 所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋＝[1－] ＝－． ………… 13分設(shè)函數(shù)f(x)＝x－，（m≥3，m∈N*）．當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)＝x－為單調(diào)增函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)t∈N*，所以1＜≤2． 所以f()≤2－．即 c1＋c2＋…＋cm≤2－． ……… 16分（南京三模）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，且對(duì)任意的m，n∈N*，都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n． （1）求的值；（2）求證：{an}為等比數(shù)列；（3）已知數(shù)列{}，{dn}滿足||＝|dn|＝an，p(p≥3)是給定的正整數(shù)，數(shù)列{}，{dn}的前p項(xiàng)的和分別為Tp，Rp，且Tp＝Rp，求證：對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤p)，ck＝dk．解：（1）由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，得(S2＋S1)2＝4a，即(a2＋2a1)2＝4a．因?yàn)閍1＞0，a2＞0，所以a2＋2a1＝a2，即＝2． ………………………… 3分證明：（2）（方法一）令m＝1，n＝2，得(S3＋S1)2＝4a2a4，即(2a1＋a2＋a3)2＝4a2a4，令m＝n＝2，得S4＋S1＝2a4，即2a1＋a2＋a3＝a4．所以a4＝4a2＝8a1．又因?yàn)椋?，所以a3＝4a1． ………………………… 6分由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，得(Sn＋1＋S1)2＝4a2na2，(Sn＋2＋S1)2＝4a2na4．兩式相除，得＝，所以＝＝2．即Sn＋2＋S1＝2(Sn＋1＋S1)，從而Sn＋3＋S1＝2(Sn＋2＋S1)．所以an＋3＝2an＋2，故當(dāng)n≥3時(shí)，{an}是公比為2的等比數(shù)列．又因?yàn)閍3＝2a2＝4a1，從而an＝a12 n－1，n∈N*．顯然，an＝a12 n－1滿足題設(shè)，因此{(lán)an}是首項(xiàng)為a1，公比為2的等比數(shù)列． ………………………… 10分（方法二）在(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m中，令m＝n，得S2n＋S1＝2a2n． ①令m＝n＋1，得S2n＋1＋S1＝2 ， ②在①中，用n＋1代n得，S2n＋2＋S1＝2a2n＋2． ③②－①，得a2n＋1＝2－2a2n＝2(－)， ④③－②，得a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2(－)， ⑤由④⑤得a2n＋1＝． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a2n＋1＝2a2n；⑥代入⑤得a2n＋2＝2a2n＋1，所以＝＝2．又＝2，從而an＝a12 n－1，n∈N*．顯然，an＝a12 n－1滿足題設(shè)，因此{(lán)an}是首項(xiàng)為a1，公比為2的等比數(shù)列． ………………………… 10分（3）由（2）知，an＝a12 n－1．因?yàn)閨cp|＝|dp|＝a12p－1，所以cp＝dp或cp＝－dp．若cp＝－dp，不妨設(shè)cp＞0，dp＜0，則Tp≥a12p－1－(a12p－2＋a12p－3＋…＋a1)＝a12p－1－a1(2p－1－1)＝a1＞0．Rp≤－a12p－1＋(a12p－2＋a12p－3＋…＋a1)＝－a12p－1＋a1(2p－1－1)＝－a1＜0．這與Tp＝Rp矛盾，所以cp＝dp．從而Tp－1＝Rp－1．由上證明，同理可得cp－1＝dp－1．如此下去，可得cp－2＝dp－2，cp－3＝dp－3．…，c1＝d1．即對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤p)，ck＝dk． ………………………… 16分（鹽城三模）設(shè)函數(shù)（其中），且存在無(wú)窮數(shù)列，使得函數(shù)在其定義域內(nèi)還可以表示為.（1）求（用表示）；（2）當(dāng)時(shí)，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；（3）若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式.解:（1）由題意，得，顯然的系數(shù)為0，所以，從而，.………………………4分（2）由，考慮的系數(shù)，則有，得，即， 所以數(shù)列單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，.…………………………………………10分（3）由（2），因數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以對(duì)一切都成立，若，則，與矛盾，若數(shù)列是等比數(shù)列，又據(jù)題意是等差數(shù)列，則是常數(shù)列，這與數(shù)列的公差不為零矛盾，所以，即，由（1）知，所以.……………16分（其他方法：根據(jù)題意可以用、表示出，，由數(shù)列為等差數(shù)列，利用，解方程組也可求得.）解法2：由（1）可知，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，.又由（2），所以得，若即時(shí)，，與條件公差不為零相矛盾，,可得,整理可得代入,或若,則，與矛盾，若,則,滿足題意, 所以 37
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