【正文】 Y相互獨立。284416在無放回情況下，由于P(X=0,Y=0)=，而P(X=0)P(Y=0)=180。=，易見455525P(X=0,Y=0)185。P(X=0)P(Y=0)，所以X與Y不相互獨立。9. 在第6題中，X與Y是否獨立，為什么？解 f231。,247。=4，而fX231。247。=2,fY231。247。=，易見f231。,247。185。fX231。247。fY231。247。，所以X與Y不相互獨立。10. 設(shè)X2 1 0 230。11246。232。43248。230。1246。232。4248。230。1246。232。3248。43230。11246。232。43248。230。1246。232。4248。230。1246。232。3248。 1 3 寫出表示(X,Y)解 由于X與Y相互獨立，因此1 41 31 121 31 21 41 4PX=xi,Y=yj=P(X=xi)PY=yj,i=1,2,3,4,j=1,2,3,()()例如P(X=2,Y=)=P(X=2)P(Y=)=180。=14121811. 設(shè)X與Y0,，求(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)及P(X179。Y)。 解. 由均勻分布的定義知fX(x)=5,0, 0x0其他 由指數(shù)分布的定義知fY(y)=5e5y,0, 因為X與Y(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)=fX(x)fY(y)=Ge5y,0, 0x,y0其他 概率P(X179。Y)=242。242。f(x,)dxdy，其中區(qū)域G={(x,y)|x179。y}，經(jīng)計算有P(X179。Y)=242。0dx242。025e5ydy=242。051e5xdx=e1。x()12. 設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)=ke(3x+4y),0,+165。+165。2 x0,y0其他 求：（1）系數(shù)k；（P(0163。X163。1,0163。Y163。2)；（3）證明X與Y相互獨立。 （2）P(0163。X163。1,0163。Y163。2)=242。0dy242。012e(3x+4y)dx=(1e3)(1e8)；1解 （1）k必須滿足242。165。242。165。f(x,y)dxdy=1，即242。0dy242。0ke(3x+4y)dx=1，經(jīng)計算得k=12；+165。+165。（3）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)+165。(3x+4y)x012edy,242。fX(x)=242。165。f(x,y)dy= 0+165。0,其他=同理可求得Y 3e3x,0, x0其他 其他0, 易見f(x,y)=X(x)fY(y),165。x+165。,165。y+165。，因此X與Y相互獨立。 fY(y)= 4e4y, x013. 已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)=k(1x)y,0, 0x1,0yx其他（1）求常數(shù)k；（）分別求關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)；（3）X與Y是否獨立？+165。+165。1x解 （1）k滿足242。165。242。165。f(x,y)dxdy=1，即242。0dx242。0k(1x)ydy=1解得k=24；（2）X的邊緣密度函數(shù)0x124(1x)ydy,fX(x)=242。165。f(x,y)dy= 242。0 其他0,+165。x=Y的邊緣密度函數(shù)為 12x2(1x),0, 0x1其他10y124(1x)ydx,242。 fY(y)= y0,其他=（3）12y(1y),20, 0y1其他 ，易見1111131927230。1246。，而fX(x)=12180。180。=,fY(y)=12180。180。=f231。,247。=24180。180。=24342241616232。24248。230。11246。230。1246。230。1246。f231。,247。185。fX231。247。fY231。247。，因此X與Y不相互獨立。 232。24248。232。2248。232。4248。14. 設(shè)隨機變量X與Y35且P(Y=1|X=0)=，（1） 求常數(shù)a,b的值；（2）當a,b?。?）中的值時，X與Y是否獨立？為什么？解 （1）a,b必須滿足229。229。pij=1，即j=1i=123231217，另外由條件+b+a+++=1，可推出a+b=2525252525概率定義及已知的條件得P(X=0,Y=1)b3== 2PX=05+b2531714由此解得b=，結(jié)合a+b=可得到a=， 25252514a=25即 3b=25P(Y=1|X=0)= （2）當a=143517時，可求得P(X=0)=,P(Y=0)=，易見 ,b=252525252P(X=0,Y=0)=185。P(X=0)P(Y=0)25因此，X與Y不獨立。15. 對于第2題中的二維隨機變量(X,Y)的分布，求當Y=2時X的條件分布律。解 易知p2=P(Y=2)=，因此Y=2時X的條件分布律為1230。1232。2246。248。16. 對于第6題中的二維隨機變量(X,Y)的分布，求當X=x,231。x0247。時Y的條件密度函數(shù)。 解 X的邊緣密度函數(shù)為（由第7題所求得）1x02 fX(x)=0,其他230。1246。由條件密度函數(shù)的定義知當X=x,231。x0247。時Y的條件密度函數(shù)為232。2248。4,0y2x+1f(x,y) fY|X(y|x)== 42x+1fXx其他0,4(2x+1),10y2x+1,= 2x+1其他0, 習(xí)題六解答1. 設(shè)X的分布律為求出：以下隨機變量的分布律。（1）X+2；（2）X+1；（3）X2。解 由X由此表可定出（1）X+2的分布律為（2）X+1的分布律為 （3）X2的分布律為其中PX2=4=P(X=2)+P(X=2)=+=。8624()2. 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)l=1的泊松分布，記隨機變量Y= 布律。解 由于X服從參數(shù)l=1的泊松分布，因此1k1e1P(X=k)=e=,k=0,1,2,L,k!k!e1e1而 P(Y=0)=P(X163。1)=P(X=0)+P(X=1)=+=2e1；0!1!P(Y=1)=P(X1)=1P(X163。1)=12e1。0,若X163。1。1,若X1,試求隨機變量Y的分即Y的分布律為 3. 設(shè)X的密度函數(shù)為f(x)2x,0, 0x1。其他,求以下隨機變量的密度函數(shù)：（1）2X；（2）X+1；（3）X2。解 求連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的密度函數(shù)可通過先求其分布函數(shù)，然后再求密度函數(shù)。如果y=g(x)為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則也可利用性質(zhì)求得。（1）解法一：設(shè)Y=2X，則Y的分布函數(shù)y246。230。FY(y)=P(Y163。y)=P(2X163。y)=P231。X163。247。2248。232。0y02yy2= 242。02xdx 0163。1 =2y179。112242。02xdx y0y20163。y2 41y179。2y0y2fY(y)=FY162。(y)= 2其他 y1解法二：y=2x，x==h(y)，而h162。(y)=，則22fY(y)=fX(h(y))h162。(y)y1y,01= 22 20,其他2 y0y2, = 2 其他0（2）設(shè)Y=X+1，則x=1y=h(y),h162。(y)=1，Y的密度函數(shù) fY(y)=fX(h(y))h162。(y)= 01y12(1y)180。()1 其他 = 2(y1)0 01y1其他（3）設(shè)Y=X2，由于X只取(0,1)中的值，所以y=x2也為單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)h(y)=y,h162。(y)=11，因此Y的密度函數(shù)為 2yfY(y)=fX(h(y))h162。(y)= 2y0,1,11,0y12y 其他0y1其他 = 0,4. X服從(5,6)上的均勻分布，求圓面積Y的概率密度。 解 圓面積Y=pX2，由于X均勻取(5,6)中的值，所以X的密度函數(shù)fX(x)= 141,0, 5x6。其他.且y=px2為單調(diào)增加函數(shù)(x206。(5,6))，其反函數(shù)h(y)=4y14p=2y,h162。(y)=2111=， 2yyY的密度函數(shù)為1fY(y)=fX(h(y))h162。(y)= y0,52y6。 其他,125,py9p。 = y 4,5. 設(shè)隨機變量XN(0,1)，試求隨機變量的函數(shù)Y=X2的密度函數(shù)fY(y)。1x22e,165。x+165。， 解 X~N(0,1)，所以fX(x)=此時y=x2不為單調(diào)函數(shù)不能直接利用性2質(zhì)求出fY(y)。須先求Y的分布函數(shù)FY(y)。0y0。2FY(y)=P(Y163。y)=PX163。y= y179。0,Py163。X163。y()()Py163。X163。(y=242。)yyfX(x)dx=242。eyy12peyyex22dx. ,112yfY(y)=FY162。(y)=0,2p+12p12y y0。其他, 1 0,2pye,y y0。其他. 7. 設(shè)X服從N(0,1)，證明X+a服從N(a,s2),其中a,s為兩個常數(shù)且s0。1x22證明 由于X~N(0,1),所以fX(x)=e,165。x+165。，記Y=sX+a，則當s0時，2ya1,因此Y的密度函數(shù)為,h162。(y)=y=sx+a為單增函數(shù)，其反函數(shù)h(y)=6. 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求隨機變量的函數(shù)Y=eX的密度函數(shù)fY(y)。x0。ex,解 fX(x)=,1y=ex的反函數(shù)h(y)=lny,h162。(y)=，因此所求的Y的密度函數(shù)為y1elny,l