高考二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)透析4--運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)-資料下載頁
2025-01-14 12:27本頁面
【正文】 設(shè)在區(qū)間上的最大值是由已知，得（II）方程等價于方程設(shè)則當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不同的實(shí)數(shù)根。例10．已知f(x)=x2+,問是否存在正實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的方程f(x)= f（a），若沒有請說明理由。【解】∵ f(x)=f(a)得x2+=a2+, 即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一個解x1=a0. 方程x+a－=0化為ax2+a2x－16=0, 由△=a4+64a0,得 x2=0, x3=0, ∵x20, x30, ∴x1≠ x2,且x2≠ 則x1= x3,即a=,則3a2=, a4=8a, 得a=0(舍)或a=20, 故當(dāng)a=2時原方程f(x)=f(a)有且僅有兩個不同的實(shí)數(shù)解.例11.（08四川）已知是函數(shù)的一個極值點(diǎn)。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若直線與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，求的取值范圍?！窘狻浚海á瘢┮?yàn)? 所以 因此（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 當(dāng)時，當(dāng)時，所以的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)減區(qū)間是（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時，所以的極大值為，極小值為因此 所以在的三個單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)因此，的取值范圍為。例12.（陜西卷21）．已知函數(shù)（且，）恰有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)，其中一個是．（Ⅰ）求函數(shù)的另一個極值點(diǎn)；（Ⅱ）求函數(shù)的極大值和極小值，并求時的取值范圍．解：（Ⅰ），由題意知，即得，（*），．由得，由韋達(dá)定理知另一個極值點(diǎn)為（或）．（Ⅱ）由（*）式得，即．當(dāng)時，；當(dāng)時，．（i）當(dāng)時，在和內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．，由及，解得．（ii）當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．，恒成立．綜上可知，所求的取值范圍為．例14.（2007年湖南文）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點(diǎn)．（I）求的最大值；（II）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)時，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式．思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率.解答過程：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是，且當(dāng)，即，時等號成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則不是的極值點(diǎn)．而，且．若，則和都是的極值點(diǎn)．所以，即，又由，得，故．解法二：同解法一得．因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在（）．當(dāng)時，當(dāng)時，；或當(dāng)時，當(dāng)時，．設(shè)，則當(dāng)時，當(dāng)時，；或當(dāng)時，當(dāng)時，．由知是的一個極值點(diǎn)，則，所以，又由，得，故．。問在橢圓上是否存在點(diǎn)到定點(diǎn)(其中)的距離的最小值為1，若存在，求出的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請給予證明．【解析】設(shè)存在點(diǎn)P滿足題設(shè)條件，∴= 又 =，∴==， 設(shè)當(dāng)時，當(dāng)即，為[3，3]上的減函數(shù)，即，∴，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是．故當(dāng)時，存在這樣的點(diǎn)滿足條件，點(diǎn)的坐標(biāo)是． 【點(diǎn)評】要注意分類討論。例17．設(shè)a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)x1時，恒有xln2x－2a ln x＋1.（Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．（Ⅱ）證明：由知，的極小值．于是由上表知，對一切，恒有．從而當(dāng)時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)時，即．故當(dāng)時，恒有．第 19 頁 共 19 頁
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