【正文】 40克B30克20克分析：（1）據(jù)題意得： 解不等式組，得 因?yàn)槠渲械恼麛?shù)解共有21個(gè)，所以符合題意的生產(chǎn)方案有21種。（2）由題意得： 整理得： 因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以x=40時(shí)，成本額最低10．某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析決定調(diào)整生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周（按120個(gè)工時(shí)計(jì)算）生產(chǎn)空調(diào)器，彩電，冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)40臺(tái)，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：家電名稱空調(diào)器彩電冰箱工時(shí)（個(gè)）產(chǎn)值（萬元/臺(tái)） 問：每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值是多少萬元？解：設(shè)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別是臺(tái)、臺(tái)、臺(tái)，設(shè)此時(shí)的產(chǎn)值為P萬元。根據(jù)題意得：由（1）和（2）知 ……（5）把（5）代入（3）得：解得： ＝＝要使P最大，只需最小當(dāng)時(shí)P最大＝108－40＝106(萬元)此時(shí)（臺(tái)） （臺(tái)）答：每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器20臺(tái)、彩電300臺(tái)、冰箱40臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值是106萬元？第十三講——方程與不等式的應(yīng)用一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組是初一數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要基礎(chǔ)。本講我們主要探究利用方程與不等式解決綜合性問題，利用類比轉(zhuǎn)化的思想研究不定方程（組）及含絕對(duì)值的一元一次方程問題。一、不等式與方程的綜合題例1．已知關(guān)于x的方程組的解滿足x＞y，求 p的取值范圍。解：（1）3+（2）（2）：x=p+5，將 x=p+5代入（1），得y=p7因?yàn)?x＞y，所以p+5＞p7，解得p6另解：（整體代入）（2）（1）：x+y=2 （3）把（3）代入（1），x=p+5，將 x=p+5代入（1），得y=p7因?yàn)?x＞y，所以p+5＞p7，解得p6例2． 若，、皆為非負(fù)數(shù)，求的取值范圍。解： （1）+（2）：4x+2y=80 , y=402x （3）把（3）代入（1）：z=x10 （4）所以：M=x+140即x=140M （5）分別將（5）代入（3）（4）： 解得所以二、不定方程（組）在實(shí)際生活中，我們還會(huì)遇到未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)的方程（組），這種方程（組）叫不定方程（組）不定方程或不定方程組若對(duì)解不加限制，則有無窮多個(gè)解，若對(duì)解加以限制，則不定方程（組）的解有三種可能：仍有無窮多解，只有有限個(gè)解、無解。我們常常研究不定方程（組）的整數(shù)解或正整數(shù)解的情況。 例3．若干只6腳蟋蟀和8腳蜘蛛，共有46只腳，問蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：設(shè)有只蟋蟀，只蜘蛛，則有：（稱之為不定方程）……①下面求此方程的非負(fù)整數(shù)解由①得：……②∵ ∴ ∴用＝0，1，2，3，4，5代入②式：當(dāng)＝0時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝1時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝2時(shí)，為非負(fù)整數(shù)，符合條件當(dāng)＝3時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝4時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝5時(shí)，為非負(fù)整數(shù)，符合條件所以原不定方程的非負(fù)整數(shù)解為或例4．有一根長38米的鐵絲，全部分成5米和3米長的鐵絲，要求沒有剩余，問有多少種不同的分法？解：設(shè)分成5米長的有條，分成3米長的有條，則有：（稱之為不定方程）……①下面求此方程的非負(fù)整數(shù)解由①得：……②∵ ∴ ∴最大取7用＝0，1，2，3，4，5，6，7代入②式：當(dāng)＝0時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝1時(shí)，為非負(fù)整數(shù)，符合條件當(dāng)＝2時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝3時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝4時(shí)，為非負(fù)整數(shù)，符合條件當(dāng)＝5時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝6時(shí)，不為整數(shù)，舍去當(dāng)＝7時(shí)，為非負(fù)整數(shù)，符合條件所以原不定方程的非負(fù)整數(shù)解為，例5．某人用15元錢買了20張郵票，其中有1元，8角，2角的郵票。問他可能有多少種不同的買法？解：設(shè)買一元郵票張，8角郵票張，2角郵票張。根據(jù)題意得：（此方程組稱為不定方程組，即未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)）下面我們求此不定方程組的正整數(shù)解由（2）得：……（3）由（3）－（1）得： ∵ ∴ ∴的最大整數(shù)取13經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)＝1，4，7，10，13時(shí)，取正整數(shù)∴原方程組的正整數(shù)解為：，，所以共有5種不同的買法。三、含絕對(duì)值的一元一次方程：（一）形如方程的解法例6． 解下列方程（1） 解法1：（分類討論）當(dāng)5x20時(shí)，即x， 5x2=3， 5x=5， x=1 因?yàn)閤=1符合大前提x，所以此時(shí)方程的解是x=1當(dāng)5x2=0時(shí)，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此時(shí)方程無解當(dāng)5x20時(shí)，即x， 5x2= 3，x= 因?yàn)閤=符合大前提x，所以此時(shí)方程的解是x=綜上，方程的解為x=1 或x=注：求出x的值后應(yīng)注意檢驗(yàn)x是否符合條件解法2：（整體思想） 聯(lián)想：時(shí)，a=177。3 類比：，則5x2=3或5x2=3解兩個(gè)一元一次方程，方程的解為x=1 或x=（2） 解： 即：所以，方程的解為x=6或x=6例7．解方程解法1：當(dāng)4x+20時(shí)，即x， 4x+2=x1， x=1 因?yàn)閤=1不符合大前提x，所以此時(shí)方程無解當(dāng)4x+20時(shí)，即x， 4x+2= x1，x= 因?yàn)閤=不符合大前提x，所以此時(shí)方程無解綜上，原方程無解解法2：4x+2=x1或4x+2= 1解得x=1或x= 因?yàn)閤10即x1所以原方程無解解法3：因?yàn)閤10即x1，此時(shí)4x+20 所以4x+2=x1， x=1，不符合條件x1 所以原方程無解例8解方程 解：方法一：去掉絕對(duì)值符號(hào)，是解決這類問題的關(guān)鍵，而絕對(duì)值的中的代數(shù)式的值的正負(fù)性決定去掉絕對(duì)值后的形式，因而要分類討論，兩個(gè)絕對(duì)值分正負(fù)討論，共有下面四中組合（1）且（2）且（3）且（4）且可見，即使不討論絕對(duì)值等于0的情形，就已經(jīng)很復(fù)雜。我們一般采用下面的方法（零點(diǎn)分段法）方法二：解：令解得：解得： 表示－3和2的點(diǎn)把數(shù)軸分成三部分，如下圖所示 （1） 當(dāng)時(shí)， 原方程可化為：解得：∵滿足 ∴是原方程的一個(gè)解。（2） 當(dāng)時(shí)，原方程可化為： 可化為：此方程無解（3） 當(dāng)時(shí)， 原方程可化為：解得： ∵滿足 ∴是原方程的一個(gè)解。綜上所述：原方程的解是或例9．解方程解法1：當(dāng)時(shí)， 原方程可化為：（x4）(x+3)=7 解得：x=3 ，舍去當(dāng)時(shí)，原方程可化為： (x4)+x+3=7 即7=7所以當(dāng)x4時(shí)，原方程可化為x4+x+3=7 x=4舍去綜上所述：原方程的解是解法2：利用絕對(duì)值與距離的關(guān)系即x與4的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x與4之間的距離。即x與3的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x與3之間的距離。因?yàn)?與4之間的距離為7，所以當(dāng)時(shí)，x與4之間的距離加上x與3之間的距離等于7，所以原方程的解是第十四講——含字母系數(shù)的一次不等式一元一次不等式（組）是我們熟知的內(nèi)容，但對(duì)于含字母系數(shù)和含絕對(duì)值的不等式（組）還比較陌生，本講我們將學(xué)習(xí)含字母系數(shù)的不等式（組）的解法。例1．解下列關(guān)于x的不等式（1） （2）解：（1） （2） 因?yàn)?所以 因?yàn)樗? 所以例2．答案：（1）當(dāng)時(shí)，此不等式解集為： （2）當(dāng)時(shí)，此不等式解集為：（3）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：，此時(shí)，原不等式無解。說明：解含字母系數(shù)的不等式欲解含數(shù)字系數(shù)的不等式的方法、步驟是一樣的，所不同的是，前者在最后一步要根據(jù)題中附加條件、隱含條件去判斷未知數(shù)系數(shù)的正負(fù)，從而確定不等號(hào)是否反向的問題。例3．下面四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（ B ）①，當(dāng)時(shí)解為 ②，當(dāng)時(shí)解為 ③，當(dāng)時(shí)解集為 ④的解集是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例4．（逆用不等式解集的定義）關(guān)于的不等式的解集 （1） 有沒有可能是 （2）有沒有可能是 （3）有沒有可能是 分析：由得： （1） 得： 所以，沒有可能；（2） 得： 所以，有可能；（3） 得： 所以，有可能；例5． 討論關(guān)于x的不等式 的解的情況解： （3） （4）（5）類比：如何解關(guān)于x的不等式解：（1） （2）（3）（4）（5）思考：如何解關(guān)于x的不等式解：（1） （2）（3）（4）（5）例6．已知、是實(shí)數(shù)，若不等式和是同解不等式，則不等式的解是什么？解： 解不等式 ， 得 由不等式 得 由題意 解得： 所以則：， 因?yàn)?a4b0 所以 得：例7. 解關(guān)于 解：（1） （2）（3）（4）（5）例8．如果適合不等式的正整數(shù)為1，2，3，那么k的取值范圍是_______________.分析：解不等式 得 觀察數(shù)軸得到 所以 第十五講 —— 含絕對(duì)值的一次不等式思考：聯(lián)系你所學(xué)習(xí)的知識(shí)，試試你能解決下面的問題嗎？（1）解關(guān)于的不等式（） （2）解關(guān)于的不等式（）例1 ．解下列不等式（1） （2） 解：（1）當(dāng)x0時(shí), x≤5 ，此時(shí)不等式的解集為0x≤5； 當(dāng)x=0時(shí)， 0≤5 ，此時(shí)x=0 當(dāng)x0時(shí), x≥5 ，此時(shí)不等式的解集為5≤x0 綜上所述，不等式解集為：（2）當(dāng)x0時(shí), x2 ，此時(shí)不等式的解集為x2 當(dāng)x=0時(shí)， 02 ，此時(shí)不等式無解 當(dāng)x0時(shí), x2 ，此時(shí)不等式的解集為x2 綜上所述，不等式解集為： 另解：我們還可以利用絕對(duì)值的幾何意義得出上兩題的解集。（1）不等式解集為：（2）不等式解集為 說明：一般地，如果a0，不等式的解集為xa或xa，的解集為axa；如果a0，不等式的解為有任意解，的解集為無解。例2．解下列含絕對(duì)值的不等式。（1） （2） （3） 解：（1）當(dāng)2x10，即x時(shí), 2x13 ，x2 , 此時(shí)不等式的解集為x2 當(dāng)2x1=0 , 即x=時(shí)，0 3 ，此時(shí)x= 當(dāng)2x10, 即 x 時(shí), (2x1)3 ，x1 ，此時(shí)不等式的解集為1x 綜上所述，不等式解集為1x2另解： 因?yàn)?，所? ，解得說明：顯然方法1較繁，方法2利用了絕對(duì)值的幾何意義來解則十分簡單。 （2）當(dāng)，即x時(shí), ， , 此時(shí)不等式的解集為 當(dāng)，即x=時(shí), ，此時(shí)不等式無解， 當(dāng)，即x時(shí), ， , 此時(shí)不等式的解集為 綜上所述，不等式解集為或另解： 因?yàn)?，所? 或，解得不等式解集為或（3）由 得 當(dāng)，即 時(shí)，，此時(shí)不等式的解集為當(dāng)，即 時(shí)，此時(shí)當(dāng)，即 時(shí)，，此時(shí)不等式的解集為綜上所述，不等式解集為另解：由 得 ， 所以解得不等式解集為例3．解：當(dāng)，即 時(shí)，，此時(shí)不等式的解集為當(dāng)，即 時(shí)，此時(shí)當(dāng)，即 時(shí)，，此時(shí)不等式的解集為綜上所述，不等式解集為另解：由題意 解得 所以不等式解集為例4．解：當(dāng)，即 時(shí)，，此時(shí)不等式無解當(dāng)，即 時(shí)，此時(shí)不等式無解當(dāng)，即 時(shí)，，此時(shí)不等式的解集為綜上所述，不等式解集為例5．（利用“零點(diǎn)”分段法求解）解：當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)不等式無解 當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)不等式解集為當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)不等式解集為綜上所述，不等式解集為例6． 解：當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)不等式解集為 當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)不等式無解當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)不等式解集為綜上所述，不等式解集為或另解：利用絕對(duì)值與距離的關(guān)系即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與1的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x與1之間的距離。因?yàn)?與2之間的距離為3，所以當(dāng)或時(shí)，x與2之間的距離加上x與1之間的距離大于3，即原不等式的解集為或例7．解不等式組解：由（1）得：，即； 由（2）得：或所以，原不等式組可化為兩個(gè)不等式組： 或 解得原不等式組的解集為：或例8．解：當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)不等式無解 當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)不等式解集為：當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)不等式解集為綜上所述，不等式解集為