【正文】 40克B30克20克分析：（1）據(jù)題意得： 解不等式組，得 因為其中的正整數(shù)解共有21個，所以符合題意的生產方案有21種。（2）由題意得： 整理得： 因為y隨x的增大而減小，所以x=40時，成本額最低10．某家電生產企業(yè)根據(jù)市場調查分析決定調整生產方案，準備每周（按120個工時計算）生產空調器，彩電，冰箱共360臺，且冰箱至少生產40臺，已知生產這些家電產品每臺所需工時和每臺產值如下表：家電名稱空調器彩電冰箱工時（個）產值（萬元/臺） 問：每周應生產空調器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產值最高，最高產值是多少萬元？解：設每周應生產空調器、彩電、冰箱分別是臺、臺、臺，設此時的產值為P萬元。根據(jù)題意得：由（1）和（2）知 ……（5）把（5）代入（3）得：解得： ＝＝要使P最大，只需最小當時P最大＝108－40＝106(萬元)此時（臺） （臺）答：每周應生產空調器20臺、彩電300臺、冰箱40臺，才能使產值最高，最高產值是106萬元？第十三講——方程與不等式的應用一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組是初一數(shù)學的重難點內容，也是數(shù)學學科的重要基礎。本講我們主要探究利用方程與不等式解決綜合性問題，利用類比轉化的思想研究不定方程（組）及含絕對值的一元一次方程問題。一、不等式與方程的綜合題例1．已知關于x的方程組的解滿足x＞y，求 p的取值范圍。解：（1）3+（2）（2）：x=p+5，將 x=p+5代入（1），得y=p7因為 x＞y，所以p+5＞p7，解得p6另解：（整體代入）（2）（1）：x+y=2 （3）把（3）代入（1），x=p+5，將 x=p+5代入（1），得y=p7因為 x＞y，所以p+5＞p7，解得p6例2． 若，、皆為非負數(shù)，求的取值范圍。解： （1）+（2）：4x+2y=80 , y=402x （3）把（3）代入（1）：z=x10 （4）所以：M=x+140即x=140M （5）分別將（5）代入（3）（4）： 解得所以二、不定方程（組）在實際生活中，我們還會遇到未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)的方程（組），這種方程（組）叫不定方程（組）不定方程或不定方程組若對解不加限制，則有無窮多個解，若對解加以限制，則不定方程（組）的解有三種可能：仍有無窮多解，只有有限個解、無解。我們常常研究不定方程（組）的整數(shù)解或正整數(shù)解的情況。 例3．若干只6腳蟋蟀和8腳蜘蛛，共有46只腳，問蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：設有只蟋蟀，只蜘蛛，則有：（稱之為不定方程）……①下面求此方程的非負整數(shù)解由①得：……②∵ ∴ ∴用＝0，1，2，3，4，5代入②式：當＝0時，不為整數(shù)，舍去當＝1時，不為整數(shù)，舍去當＝2時，為非負整數(shù)，符合條件當＝3時，不為整數(shù)，舍去當＝4時，不為整數(shù)，舍去當＝5時，為非負整數(shù)，符合條件所以原不定方程的非負整數(shù)解為或例4．有一根長38米的鐵絲，全部分成5米和3米長的鐵絲，要求沒有剩余，問有多少種不同的分法？解：設分成5米長的有條，分成3米長的有條，則有：（稱之為不定方程）……①下面求此方程的非負整數(shù)解由①得：……②∵ ∴ ∴最大取7用＝0，1，2，3，4，5，6，7代入②式：當＝0時，不為整數(shù)，舍去當＝1時，為非負整數(shù)，符合條件當＝2時，不為整數(shù)，舍去當＝3時，不為整數(shù)，舍去當＝4時，為非負整數(shù)，符合條件當＝5時，不為整數(shù)，舍去當＝6時，不為整數(shù)，舍去當＝7時，為非負整數(shù)，符合條件所以原不定方程的非負整數(shù)解為，例5．某人用15元錢買了20張郵票，其中有1元，8角，2角的郵票。問他可能有多少種不同的買法？解：設買一元郵票張，8角郵票張，2角郵票張。根據(jù)題意得：（此方程組稱為不定方程組，即未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)）下面我們求此不定方程組的正整數(shù)解由（2）得：……（3）由（3）－（1）得： ∵ ∴ ∴的最大整數(shù)取13經驗證當＝1，4，7，10，13時，取正整數(shù)∴原方程組的正整數(shù)解為：，，所以共有5種不同的買法。三、含絕對值的一元一次方程：（一）形如方程的解法例6． 解下列方程（1） 解法1：（分類討論）當5x20時，即x， 5x2=3， 5x=5， x=1 因為x=1符合大前提x，所以此時方程的解是x=1當5x2=0時，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此時方程無解當5x20時，即x， 5x2= 3，x= 因為x=符合大前提x，所以此時方程的解是x=綜上，方程的解為x=1 或x=注：求出x的值后應注意檢驗x是否符合條件解法2：（整體思想） 聯(lián)想：時，a=177。3 類比：，則5x2=3或5x2=3解兩個一元一次方程，方程的解為x=1 或x=（2） 解： 即：所以，方程的解為x=6或x=6例7．解方程解法1：當4x+20時，即x， 4x+2=x1， x=1 因為x=1不符合大前提x，所以此時方程無解當4x+20時，即x， 4x+2= x1，x= 因為x=不符合大前提x，所以此時方程無解綜上，原方程無解解法2：4x+2=x1或4x+2= 1解得x=1或x= 因為x10即x1所以原方程無解解法3：因為x10即x1，此時4x+20 所以4x+2=x1， x=1，不符合條件x1 所以原方程無解例8解方程 解：方法一：去掉絕對值符號，是解決這類問題的關鍵，而絕對值的中的代數(shù)式的值的正負性決定去掉絕對值后的形式，因而要分類討論，兩個絕對值分正負討論，共有下面四中組合（1）且（2）且（3）且（4）且可見，即使不討論絕對值等于0的情形，就已經很復雜。我們一般采用下面的方法（零點分段法）方法二：解：令解得：解得： 表示－3和2的點把數(shù)軸分成三部分，如下圖所示 （1） 當時， 原方程可化為：解得：∵滿足 ∴是原方程的一個解。（2） 當時，原方程可化為： 可化為：此方程無解（3） 當時， 原方程可化為：解得： ∵滿足 ∴是原方程的一個解。綜上所述：原方程的解是或例9．解方程解法1：當時， 原方程可化為：（x4）(x+3)=7 解得：x=3 ，舍去當時，原方程可化為： (x4)+x+3=7 即7=7所以當x4時，原方程可化為x4+x+3=7 x=4舍去綜上所述：原方程的解是解法2：利用絕對值與距離的關系即x與4的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與4之間的距離。即x與3的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與3之間的距離。因為3與4之間的距離為7，所以當時，x與4之間的距離加上x與3之間的距離等于7，所以原方程的解是第十四講——含字母系數(shù)的一次不等式一元一次不等式（組）是我們熟知的內容，但對于含字母系數(shù)和含絕對值的不等式（組）還比較陌生，本講我們將學習含字母系數(shù)的不等式（組）的解法。例1．解下列關于x的不等式（1） （2）解：（1） （2） 因為 所以 因為所以 所以例2．答案：（1）當時，此不等式解集為： （2）當時，此不等式解集為：（3）當時，原不等式可化為：，此時，原不等式無解。說明：解含字母系數(shù)的不等式欲解含數(shù)字系數(shù)的不等式的方法、步驟是一樣的，所不同的是，前者在最后一步要根據(jù)題中附加條件、隱含條件去判斷未知數(shù)系數(shù)的正負，從而確定不等號是否反向的問題。例3．下面四個結論中，正確的個數(shù)有（ B ）①，當時解為 ②，當時解為 ③，當時解集為 ④的解集是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例4．（逆用不等式解集的定義）關于的不等式的解集 （1） 有沒有可能是 （2）有沒有可能是 （3）有沒有可能是 分析：由得： （1） 得： 所以，沒有可能；（2） 得： 所以，有可能；（3） 得： 所以，有可能；例5． 討論關于x的不等式 的解的情況解： （3） （4）（5）類比：如何解關于x的不等式解：（1） （2）（3）（4）（5）思考：如何解關于x的不等式解：（1） （2）（3）（4）（5）例6．已知、是實數(shù)，若不等式和是同解不等式，則不等式的解是什么？解： 解不等式 ， 得 由不等式 得 由題意 解得： 所以則：， 因為 a4b0 所以 得：例7. 解關于 解：（1） （2）（3）（4）（5）例8．如果適合不等式的正整數(shù)為1，2，3，那么k的取值范圍是_______________.分析：解不等式 得 觀察數(shù)軸得到 所以 第十五講 —— 含絕對值的一次不等式思考：聯(lián)系你所學習的知識，試試你能解決下面的問題嗎？（1）解關于的不等式（） （2）解關于的不等式（）例1 ．解下列不等式（1） （2） 解：（1）當x0時, x≤5 ，此時不等式的解集為0x≤5； 當x=0時， 0≤5 ，此時x=0 當x0時, x≥5 ，此時不等式的解集為5≤x0 綜上所述，不等式解集為：（2）當x0時, x2 ，此時不等式的解集為x2 當x=0時， 02 ，此時不等式無解 當x0時, x2 ，此時不等式的解集為x2 綜上所述，不等式解集為： 另解：我們還可以利用絕對值的幾何意義得出上兩題的解集。（1）不等式解集為：（2）不等式解集為 說明：一般地，如果a0，不等式的解集為xa或xa，的解集為axa；如果a0，不等式的解為有任意解，的解集為無解。例2．解下列含絕對值的不等式。（1） （2） （3） 解：（1）當2x10，即x時, 2x13 ，x2 , 此時不等式的解集為x2 當2x1=0 , 即x=時，0 3 ，此時x= 當2x10, 即 x 時, (2x1)3 ，x1 ，此時不等式的解集為1x 綜上所述，不等式解集為1x2另解： 因為，所以 ，解得說明：顯然方法1較繁，方法2利用了絕對值的幾何意義來解則十分簡單。 （2）當，即x時, ， , 此時不等式的解集為 當，即x=時, ，此時不等式無解， 當，即x時, ， , 此時不等式的解集為 綜上所述，不等式解集為或另解： 因為，所以 或，解得不等式解集為或（3）由 得 當，即 時，，此時不等式的解集為當，即 時，此時當，即 時，，此時不等式的解集為綜上所述，不等式解集為另解：由 得 ， 所以解得不等式解集為例3．解：當，即 時，，此時不等式的解集為當，即 時，此時當，即 時，，此時不等式的解集為綜上所述，不等式解集為另解：由題意 解得 所以不等式解集為例4．解：當，即 時，，此時不等式無解當，即 時，此時不等式無解當，即 時，，此時不等式的解集為綜上所述，不等式解集為例5．（利用“零點”分段法求解）解：當 時， ，此時不等式無解 當 時，，此時不等式解集為當 時，，此時不等式解集為綜上所述，不等式解集為例6． 解：當 時， ，此時不等式解集為 當 時，，此時不等式無解當 時，，此時不等式解集為綜上所述，不等式解集為或另解：利用絕對值與距離的關系即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與1的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與1之間的距離。因為1與2之間的距離為3，所以當或時，x與2之間的距離加上x與1之間的距離大于3，即原不等式的解集為或例7．解不等式組解：由（1）得：，即； 由（2）得：或所以，原不等式組可化為兩個不等式組： 或 解得原不等式組的解集為：或例8．解：當 時， ，此時不等式無解 當 時，，此時不等式解集為：當 時，，此時不等式解集為綜上所述，不等式解集為