【正文】 在晶體上選擇坐標(biāo)系統(tǒng)。即選擇坐標(biāo)軸（或稱為結(jié)晶軸）和確定各坐標(biāo)軸上的單位長（軸單位）之比（軸率）。 B、晶軸與軸單位 A、晶軸：交于晶體中心的三條或四條直線，它們分別稱為 X、 Y、（ U）、 Z軸，晶軸之間的夾角稱為軸角，分別表示為： ?（ Y?Z）、 ?（ Z?X）、 ?（ X?Y）。 晶軸的方向與數(shù)學(xué)中規(guī)定的一致，但與之不同的是晶軸之間的夾角不一定正交。 三方晶系及六方晶系為四軸系統(tǒng)，在水平方向上為 X、 Y、 U三條互成 120度夾角的坐標(biāo)。 B、軸率：軸單位是晶軸的長度單位，也即作為晶軸的行列的結(jié)點間距。 X、 Y、 Z軸上的軸單位分別以 a0,b0,c0表示。由于結(jié)點間距極小，一般以埃為單位，需借助 X射線分析方法方能測出，一般往往根據(jù)晶體外形，測量出它們的長度之比，a:b:c這個比率為軸單位之比，即軸率。 晶體定向的概念：在晶體上選擇適當(dāng)?shù)臉?biāo)系統(tǒng)，描述晶體在空間上的位子。 晶軸： X、 Y、 Z、（ U） 軸率：晶軸上的單位長度之比， a:b:c 晶胞常數(shù)： a， b， c。（單位是 nm,可以用 XRD測定，也可以幾何計算 ) 軸夾角 α 、 β 、 γ 晶軸選擇：晶軸的選擇不是任意的，必須遵守軸原則。 晶軸須符合對稱規(guī)律， 3L4 4L3 6L2 9PC 盡可能使 α 、 β 、 γ =90, a=b=c 各晶系歸納如下（教材 P23，表 1~5， 詳細講授，重點 ） C、晶體常數(shù) 晶體常數(shù)：軸率 a:b:c及軸角合稱為晶體常數(shù)。各晶系對稱程度不一樣，晶體常數(shù)也不樣。各晶系的晶體常數(shù)如下： 等軸晶系 a＝ b＝ c α ＝ β ＝ γ ＝９０ 四方晶系 a＝ b≠c α ＝ β ＝ γ ＝９０ 三方及六方 a＝ b≠c α ＝ β ＝９０， γ ＝１２０ 斜方晶系 a≠b≠c α ＝ β ＝ γ ＝９０ 單斜晶系 a≠b≠c α ＝ γ ＝９０， β ?９０ 三斜晶系 A≠b≠c α ?β ?γ ?９０ 二、晶面在晶軸上的截距系數(shù)之比為簡單整數(shù)比 1截距系數(shù)之比為整數(shù)比 因為晶面是面網(wǎng)，晶軸是行列，晶面與晶軸之交點為結(jié)點，或平移相交于結(jié)點。因此，若以晶軸之結(jié)點間距為度量單位，則晶面在晶軸上的截距系數(shù)之比為整數(shù)比 2為簡單整數(shù)比 晶體面網(wǎng)密度越大，則晶面在晶軸上的截距系數(shù)之比越簡單。又依布拉維法則，晶體總是為面網(wǎng)密度較大的面網(wǎng)所包圍，所以為簡單整數(shù)比。 OA1:OB1:OC1=O’ A1’ :O’ B1’ :O’ C1’ =p1a:q1b:r1c, OA2:OB2:OC2=O’ A2’ :O’ B2’ :O’ C2’ =p2a:q2b:r2c, 三、結(jié)晶符號 結(jié)晶符號有晶面符號，晶棱符號，單形符號，晶帶符號等。是以一組數(shù)碼為代號來表示晶體空間方位的一種符號。 1晶面符號 表示晶面空間位置的符號為晶面符號。通常采用的米氏符號為英國礦物學(xué)家,Miller于 1839年創(chuàng)造，又稱為密勒（ Miller）指數(shù) 。 米氏符號：晶面在各晶軸上的截距系數(shù)的倒數(shù)比，之后化簡，去比號，加小括號。小括號內(nèi)的數(shù)稱為晶面指數(shù)，按 X,Y,(U),Z軸順序排列，分別記為 hk(i)l。在四軸系統(tǒng)中， h+k+i=，則該指數(shù)為 0，交軸負端，指數(shù)為負。 為什么四軸定向中： h+k+i=0（同學(xué)們討論 ,作業(yè)題 1） 2單形符號 單形符號是代表該單形各晶面空間位置的符號。即在一組晶面符號中，選擇正指數(shù)最多，且為 遞降順序排列 的一組晶面符號，將小括號改為大括號即成單形符號。 單形是由對稱要素聯(lián)系起來的一組晶面。單形上的晶軸就是該單形的對稱要素。因此，同一單形的各晶面與晶軸都有相同的相對位置，所以同一單形中各個晶面指數(shù)的絕對值不變，而只有順序與正負號變化。 單形符號的選擇， 正指數(shù)最多的面，同時遵循先前、次右、后上原則 。 (這樣才能保證按 X、 Y、 Z軸的順序，截距指數(shù)的倒數(shù)比為 遞降順序排列 ） 下圖的三個晶面 (210)、（ 021）、（ 102）中，只有（ 210）符合上述原則，所以其單形符號為 {210}，五角十二面體（四條相對的長棱平行且相等），（ 210）是典型的晶面，用 {hkil}表示單形符號，（）表示晶面符號， []表示晶帶符號， 表示晶棱符號。 3晶面指數(shù)與晶面相對方位的關(guān)系 A、晶面符號中某指數(shù)為 0。表示晶面與相應(yīng)的軸平行。 B、指數(shù)絕對值越大，表示其截距系數(shù)值越小。 如果軸單位相等（等軸晶系），則截距短缺，夾角大。 在中級晶族中，如四方晶系的（ 231）與 X軸切距長， Y軸短，與 Y 軸夾角大，但與 Z軸不能比較。 C、指數(shù)相等，且晶軸單位一樣，則夾角一樣。 D、在一系列晶面中，如果有兩個指數(shù)不變，而另一指數(shù)變化越大的 越靠近對應(yīng)軸。 D、晶體上的兩平行晶面，指數(shù)絕對值相等，符號相反。 第五節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)的幾何規(guī)律 一、十四種空間格子 1單位平行六面體地劃分 前面所述的晶體特性和晶體外表上的各種幾何特征，都是由于晶體內(nèi)部格子構(gòu)造所決定的，讓我們來進一步了解晶體的內(nèi)部構(gòu)造。 晶體結(jié)構(gòu)的特征是質(zhì)點在三維空間周期性重復(fù)?？臻g格子則是表示晶體結(jié)構(gòu)中質(zhì)點在三維空間重復(fù)規(guī)律的幾何圖形。單位密度平行六面體是空間格子的最小單位。 單位密度平行六面體 的劃分應(yīng)遵循下列原則： A、所選的平行六面體應(yīng)能反映出整個格子結(jié)點分布所固有的對稱性。 B、在上述前提下所選平行六面體棱與棱之間直角最多。 C、在上述二原則下，應(yīng)體積最小。 其實，上述條件與晶體定向原則是一致的。 晶體定向要求：盡可能使 a=b=c,α =β =γ =90176。 下圖為 L44P對稱的平面格子，符合對稱型的劃分只有 2，而 1最小。故 1是劃分這一平面格子的基本單位。 在空間格子中符合選擇原則的平行六面體為單位平行六面體，或稱單位空間格子。 單位平行六面體的三組棱長 a,b,c及三者相互之間的夾角是表征它們形狀大小的一組參數(shù)，稱為平行六面體參數(shù)或晶格參數(shù)。 根據(jù)平行六面體的結(jié)點分布方式，可分為四種格子類形： P— 原始（ Primery Lattice ）； C— 底心（ Centre Lattice ）； I—— 體心（ Inner Lattice ）； F—— 面心（ Face Lattice ） 2格子形狀和結(jié)點分布 A 格子形狀 平行六面體的形狀與結(jié)點分布稱為空間格子類型。對于平行六面體的描述，分為形狀與結(jié)點分布兩個方面。各晶系的對稱特點不同，空間格子也有很大的差別。對應(yīng)于 7個晶系，單位平行六面體的形狀也有 7種： 等軸晶系：立方格子 四方晶系：四方格子 六方晶系：六方格子，由三個底面為 120度、 60度的菱形柱拼合成。 三方晶系：有兩種格子，一種為三方格子即底面為正三角形的三方柱，另一 種為菱面體格子，三邊長相等的平行六面體。 斜方晶系：斜方格子。 單斜晶系：單斜格子。 三斜晶系：三斜格子。 B 結(jié)點分布 根據(jù)結(jié)點分布情況，格子又可以分為四種類型： 原始格子 P（三方菱面體格子用 R）：結(jié)點僅分布于平行六面體的角頂。 底心格子 C：結(jié)點分布于平行六面體的角頂及一對面的中心。結(jié)點在（ 001）符號 為 C，在（ 100）為 A，在（ 010）面為 B。 體心格子 I：結(jié)點分布于平行六面體的角頂及體心。 面心格子 F：結(jié)點分布于平行六面體的角頂及每面的中心。 同時考慮平行六面體的形狀及結(jié)點分布，則空間格子共有 14種－－布拉維十四種空間格子。 C、十四種空間格子 (見教材 P28) 三斜晶系：三斜原始格子 單斜晶系：單斜原始格子、單斜底心格子 斜方晶系：斜方原始格子、斜方底心格子、斜方面心格子、斜方體心格子 三方晶系：三方原始格子（菱面體格子） 四方晶系：四方原始格子、四方體心格子 六方晶系：六方原始格子 等軸晶系：立方原始格子、立方體心格子、立方面心格子 綜合考慮平行六面體結(jié)點的分布 . 空間格子具有十四種四種 空間格子有四類結(jié)點分布 ()和七種形狀 , 而只有十四種空間格子呢 而非 4 7=28。 起主要原因如下： 3. 不符合空間格子條件 七個晶系中一共有 14種空間點陣型式， 稱為 14種布拉維空間點陣， 是布拉維在 1848年推引出來的 其空間格子和等效點分布如表所示： 為什么空間格子只有十四種呢？ 一些晶系的幾種格子是重復(fù)的，只能取體積最小的一種。而某些晶系的某些格子劃分違背格子構(gòu)造原則，也即在客觀實際中不存在。 晶體構(gòu)造中，質(zhì)點的空間排列的重復(fù)規(guī)律與相應(yīng)的空間格子中結(jié)點分布規(guī)律完全一致。在晶體構(gòu)造中，引入相應(yīng)于單位平行六面體的劃分單位，即 單位晶胞 ，一般簡稱為 晶胞 。 晶胞 ( crystalline Cell) ：能充分反映整個晶體構(gòu)造特征的最小構(gòu)造單位。 晶胞的大小用晶胞參數(shù) (Cell parameters)來表征，其數(shù)據(jù)與相應(yīng)的單位平行六面體參數(shù)完全一致。如食鹽， a＝ b＝ c＝ 。 三 . 微觀對稱要素 A．兩者的區(qū)別 晶體的微觀對稱性是不連續(xù)、不均勻的無限結(jié)構(gòu)中的對稱性，晶體的宏觀對稱性是連續(xù)的、均勻的外形中的對稱性，這是兩者的根本區(qū)別。在此根本區(qū)別的基礎(chǔ)上， 可以歸納出下列各項，以示兩者的區(qū)別。 微觀對稱和（宏觀對稱）的區(qū)別 、不均勻的無限結(jié)構(gòu)中的對稱性 (宏觀對稱是連續(xù)的、均勻的外形中的對稱性） 、本質(zhì)的 （宏觀對稱是分辨能力受到限制時所觀察到的） （宏觀對稱是對稱動作只有點動作，有個點不動，是點群） （ .宏觀對稱是對稱要素只是方向固定，與位置無關(guān)） ，數(shù)目無限 （宏觀對稱是一個對稱類型中對稱要素有公共點（點操作或點群）， 數(shù)目有限） 230種空間群（宏觀對稱有 32種對稱型） 晶體的外形對稱取決于其內(nèi)部構(gòu)造 。 兩者是相互聯(lián)系的 、 彼此統(tǒng)一 、 他們的區(qū)別是 : 晶體外形是有限圖形 . 其對稱是有限圖形的宏觀對稱 晶體由微觀構(gòu)造是無限的 . 微觀對稱屬無限圖形的對稱 。 微觀對稱特點： 行是任何一個對稱要素 . 都有無窮個與之相同的對稱要素 現(xiàn)外形上不可能重復(fù)的平行操作 。 微觀對稱要素： 1 平移軸 為一假象的直線方向 ， 圖形沿次方向移動一定的距離 （ 移距 ） ， 可使相同部分重復(fù)出現(xiàn) 。 晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中 ， 任何行列方向都是平移軸 ， 所以晶體微觀對稱中有無窮個平移軸 ， 平移軸的集合組成平移群 ， 和使四種空間格子相對應(yīng) ， 共有十四種平移群 2 滑移面 與滑移面相應(yīng)的對稱動作是 反映和平移 組成的復(fù)合對稱動作（又稱為滑移反映）。動作進行時，先通過某一平面進行反映，然后在此平面平行的方向上平移（或 先平移，后反映 ），該平面就稱為滑移面，整個動作進行中每一點都動了。例如氯化鈉結(jié)構(gòu)中就有滑移面存在。 進行一次滑移反映不能使相等圖形重合，這是在平面圖上區(qū)別二次螺旋軸與滑移面的關(guān)鍵。 3 螺旋軸 與螺旋軸相應(yīng)的對稱動作是 旋轉(zhuǎn)和平移 組成的復(fù)合對稱動作（又稱為螺旋旋轉(zhuǎn)）。動作進行時，先繞一直線旋轉(zhuǎn)一定角度，然后在與此直線平行的方向上進行平移（或先平移再旋轉(zhuǎn)），該直線就稱為 螺旋軸 ，整個動作進行中每一點都動了。螺旋旋轉(zhuǎn)動作只能使相等圖形重合，而不能使左右手重合。 32種宏觀對稱型，加上十四種 Bravis格子的微觀對稱操作 ,就可以推導(dǎo)出 230種空間群（請參考相關(guān)資料） B 對稱型及空間群的國際符號 m表示對稱面 a,b,c 表示的滑移面為對應(yīng) X， Y， Z軸方向上滑移 1/2個軸單位的滑移面 n 表示的滑移面為對應(yīng) X+Y,或 Y+Z,或 X+Z方向上滑移 1/2（ a+b), 1/2（ b+c) 1/2（ a+c)個軸單位的滑移面。（注意：此處 a,b,c指向量，包括方向和長度） d 表示的滑移面為對應(yīng) X+Y,或 Y+Z,或 X+Z方向上滑移 1/4（ a+b), 1/4（ b+c) 1/4（ a+c)個軸單位的滑移面，為金剛石型滑移。 1， 2， 3， 4， 6表示螺旋軸和對稱軸，