【正文】 ?)()](2l o g [)( 21 NhPPePC NSS ??? ?2()( ) s u p { ( ) ( ) 。 ( ) }xSSpxC P h Y h N E X P? ? ? 無法給出解析形式的解，但可以給出其上下界表達式 下界 ： 根據(jù)前面的討論很容易得 上界 ： ? 當輸入信號功率限制在 PS以下，噪聲功率限制在 PN以下 ? 則輸出信號功率將 = PS ＋ PN。 ? 此時 ? 所以有： 167。 － 12 輸入輸出均正態(tài) 輸入為正態(tài)分布 最佳輸入分布 ()1m a x ( 。 ) ( 。 ) l o g ( 1 )2SNpxNPC I X Y I X YP? ? ? ?167。 － 13 () 11 2 1 2() 1( ) s u p { ( 。 ) 。 }s u p { ( . . . . 。 . . . . ) 。 }nnNS S Sp nNN N S Sp nC P I P PI X X X Y Y Y P P????????xxXY? 無記憶加性高斯噪聲信道的并聯(lián) 信道 1 信道 2 信道 N ….. 1Y2YNYYX并用信道 1X2XNX1,0nnNS S SnP P P????1( 。 ) ( 。 )NnnnI I X Y?? ?XY等號是在各分量統(tǒng)計獨立時才成立 () 11( ) m a x [ l o g ( 1 ) ]2nnNSS pn NPCPP????x167。 － 14 ? 這又是凸函數(shù)在約束下求極值的問題 12nnNSPP???111 l o g ( 1 ) 02iiniNNSSinSNPPPP??????? ? ???? ????若極值不發(fā)生在邊緣上， 11,nnNNS S N NnnP P P P??????nnSNSNPPPPN???167。 － 15 1 ,02n n nN S SP P P?? ? ?當 時111 l o g ( 1 ) 0 , 02iinniNN SSSinSNP PPPP ??????? ? ? ???????? 當 時若極值發(fā)生在邊緣上， 注水功率 PN1 PS1 PN2 PS2 PS3 PS4 PS5 PN3 PN4 PN5 PN6 PN7 PN8 PN9 PS7 PS9 9N?1 2 3 4 5 6 7 8 912?功率 6 8 6 81,02N N S SP P P P?? ? ?,167。 :模擬信道及其容量 ?模擬信道：在時間和取值上都連續(xù)的信道 光纖，電纜，電磁波空間傳播 ?我們僅研究非常特殊的一類模擬信道： AWGN ?帶寬有限： W ?加性噪聲： y(t) = x(t)+z(t) ?白色噪聲：平穩(wěn)遍歷隨機過程，功率譜密度均勻分布于整個頻域，即功率譜密度（單位帶寬噪聲功率）為一常數(shù) ?高斯噪聲：平穩(wěn)遍歷隨機過程，瞬時值的概率密度函數(shù)服從高斯分布 167。 :模擬信道及其容量－ 4 ? 廣義平穩(wěn)的限頻 (F)、限時 (T)、限功率 (P)白色高斯信道及其容量 C – 對限頻 (F)、限時 (T)的連續(xù)過程信源可展成下列取樣函數(shù)序列：參見傅祖蕓第二版 p140頁 – 現(xiàn)將 2FT個樣值序列通過一個功率受限 (P)的白色高斯信道并求其容量值 C。 sin 2 ( )12( , ) ( )22 ()2FTn F TnFtn FX t f XnFF tF????????167。 :模擬信道及其容量 – Shannon公式 ? 定理 ：滿足限頻 (F)、限時 (T)的廣義平穩(wěn)隨機過程信源 X(t,f)，當它通過一個功率受限(P)的白色高斯信道，其容量為： 這就是著名的 Shannon公式 。 則單位時間 T=1時的容量為： l o g ( 1 )sNPC F TP??l o g ( 1 )sNPCFP??167。 :模擬信道及其容量 ? 證明：前面已求得單個連續(xù)消息（第 k個）通過高斯信道以后的容量值為： 1 l o g (1 )2 sNPC P??1( 。 ) ( 。 )NnnnII XY?? ?XY( ) ( )1( , ) ( , )m a x m a xNnnp x p xnC I I XY??? ?XY同時，在消息序列的互信息中已證明當 信源、信道 滿足 無記憶 時，下列結論成立： 由信道容量定義，有 1NnnnNCC?? ??平 穩(wěn) 12 l og ( 1 ) l og ( 1 )2 SSNNPPF T F T? ? ? ? ?1 l o g ( 1 )Ts SNPFP????? ? ?例 在圖片傳輸中，每幀約為 106個像素，為了能很好地重現(xiàn)圖像，需分 16個亮度電平，并假設亮度電平等概率分布。試計算每秒鐘傳送 30幀圖片所需信道的帶寬 (信噪功率比為30dB)。 高斯白噪聲加性信道單位時間的信道容量： Ct= 106 log16 30= 108（ bit/s) Ct=F log(1+S/N) 而： 10lg(S/N)=30dB?S/N=103 F=( 108 )/log(1+103) ≈ 107 (HZ ) 167。 :模擬信道及其容量 它給出了在信道中傳輸信號的三個物理參量： F、 T、 之間的辯證關系。 log( 1 )SNPP??Shannon公式的物理意義 T t F f sNPPl o g ( 1 )sNPC F TP??lo g (1 )sNPP?三者的乘積是一個“可塑”性體積（三維）。 三者間可以互換。 167。 :模擬信道及其容量－ 信道與信息傳輸要求的匹配 1 222()ytTF?22()xtTF預處理器 （ Ⅰ ） 限帶加性白色 高斯噪聲信道 （ Ⅱ ） 后處理器 （ Ⅲ ） 11()utTF111()vtTF?( ( ) 。 ( ) ) ( ( ) 。 ( ) )I U t V t I X t Y t?1 1 2 20012l og ( 1 ) l og ( 1 )SSPPF T F TFFNN? ? ?1 1 1 2 2 2l o g ( 1 ) l o g ( 1 )F T F T??? ? ?0SPFN? ?令167。 :模擬信道及其容量－ 信道與信息傳輸要求的匹配 2 1 1 2 2l o g ( 1 ) l o g ( 1 )TT ??? ? ?2112 1TT????( 1 + )12FF?21TT?在相同頻帶下用時間換取信噪比 12???若 則 重傳、弱信號累積接收基于這一原理。 167。 :模擬信道及其容量－ 信道與信息傳輸要求的匹配 3 1212FTTF?1 1 2 2F T F T?用時間換取頻帶或用頻帶換取時間 12???擴頻－－縮短時間：通信電子對抗、潛艇通信 窄帶－－增加時間：電話線路傳準活動圖象 167。 :模擬信道及其容量－ 信道與信息傳輸要求的匹配 4 1 1 2 2l o g ( 1 ) l o g ( 1 )FF ??? ? ? ?12TT?2112 1FF??? ? ?( 1 + )用頻帶換取信噪比：擴頻通信原理。 2112FF????2 1? ??當 21FF稱為擴頻因子或或擴頻系數(shù) 其中 － 雷達信號設計中的線性調(diào)頻脈沖，模擬通信中，調(diào)頻優(yōu)于調(diào)幅，且頻帶越寬，抗干擾性就越強。 – 數(shù)字通信中，偽碼 (PN)直擴與時頻編碼等，帶寬越寬，擴頻增益越大，抗干擾性就越強。 – 深空通信中（功率受能源限制，頻譜資源相對豐富），采用兩電平數(shù)字通信方式有效利用信道容量。 用信噪比換取頻帶 多進制多電平多維星座調(diào)制方式的基本原理 衛(wèi)星、數(shù)字微波中常采用的有： 多電平調(diào)制、多相調(diào)制、高維星座調(diào)制 (MQAM)等 等，它利用高質(zhì)量信道中富裕的信噪比換取頻帶，以提高傳輸有效性。 167。 :模擬信道及其容量－ 信道與信息傳輸要求的匹配 5 ?在增加信道通帶的寬度而不改變信號的平均功率的情況下增大信道容量的極限 0220 0 0 0l i m l i m l o g ( 1 ) l o g 1 . 4 4sNFPs s s stFFP P P PCeN N F N N? ? ? ?? ? ? ?220l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) ( / )SStNPPC F FP N F? ? ? ? 比 特 秒01 .4 4 /sPN( / )tC b it s0/sPN0/sPNF可實現(xiàn)區(qū) ?在增加信號的平均功率而不改變信道通帶的寬度的情況下增大信道容量的極限 01l im l im 0sstPP ssdCPdP NF? ? ? ????0l n( 1 )St PCF NF??因為 所以，隨著 Ps的增長， Ct的增長速度不斷減少，直至趨于零。 00l n ( ) ( / )SP N F SPF NF??? 奈 特 秒3F( / )tC b it sFsP可實現(xiàn)區(qū) 07NF0NF0 － Shannon公式 另一種理解： ? 設 為噪聲密度，即單位帶寬的噪聲強度； 0SPFN? ?令N0000/b s t stE P C PCNNN??結論： Eb/N0的最小值是在帶寬趨于無限時達到的，這一最小值稱為香濃限，它表明傳輸 1bit信息所需要的能量至少為 0 l o g (1 )bEN??? ?則： 000 221m i n l i m l i ml og( 1 ) l og l n( 1 )1 l ogbEeNdBe????????????? ? ? ?? 設 Eb 表示同樣噪聲強度下傳輸 1bit信息所需的最小能量，要使信道的傳輸速率達到信道容量 Ct,則至少需要的平均功率 PS=CtEb， 00l o g ( 1 )sSPPFNFN??167。 :模擬信道及其容量－ Shannon公式 5 ? 討論信道容量及容量費用函數(shù)的目的： –不是為了實現(xiàn)可靠傳輸（這是信道編碼的目的） –只是為了實現(xiàn)最大限度達到信道的信息傳輸能力 ?關于 Shannon公式 – 條件是加性高斯白噪聲（ AWGN)信道下 – 給出的是 S、 N、 F與信道容量（最大信息傳輸速率）的關系 – 沒有給出 S、 N、 F與差錯概率的關系 信道最大數(shù)據(jù)傳輸率： Nyquist amp。Shannon M 最大數(shù)據(jù)率 (Ct) 2 6000 bps 4 12022 bps 8 18000 bps 16 24000 bps 32 30000 bps 64 36000 bps Ct = 2F log2 M F = 帶寬 M = 信號電平級數(shù) 話音級線路的信道容量計算 (3000 Hz) Nyquist公式為 估算 已知帶寬信道的最高速率提供了依據(jù)。 Nyquist 公式：用于 理想低通信道 非理想信道 實際的信道上存在三類損耗：衰減、延遲、噪聲。 ?衰減 信道的損耗引起信號強度減弱，導致 信噪比 S/N降低 。 ?延遲 信號中的各種頻率成分在信道上的延遲時間各不相同，在接收端會產(chǎn)生 信號畸變 。 ?噪聲