【導(dǎo)讀】需要指出的是，新引進(jìn)的自變量只能依賴(lài)于原始變量，而不能與未知參數(shù)有關(guān)。y=β0+β1x+β2x2+…于是得到y(tǒng)關(guān)于x1,x2,…()式本來(lái)只有一個(gè)自變量x，是一元p次多項(xiàng)式回歸，在線(xiàn)性化后，變?yōu)閜元線(xiàn)性回歸。令y′=lny,β0=lna,β1=b,方法將回歸模型線(xiàn)性化，只能用非線(xiàn)性最小二乘方法求解。()式的誤差項(xiàng)稱(chēng)為加性誤差項(xiàng)。形式有關(guān)，而且與誤差項(xiàng)的形式有關(guān)。去誤差項(xiàng)，僅寫(xiě)出回歸函數(shù)的形式。除了以上SPSS軟件中收入的幾種曲線(xiàn)回歸外，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→1/a;x→-∞時(shí)，y→0。y=0與y=1/a是這條曲線(xiàn)的兩條漸進(jìn)線(xiàn)。銷(xiāo)售量與時(shí)間的關(guān)系，樹(shù)木、農(nóng)作物的生長(zhǎng)與時(shí)間的關(guān)系等。義下的S型曲線(xiàn)。SPSS軟件中的邏輯函數(shù)在0<b1<1時(shí)也是S型曲線(xiàn)。以1981年為基準(zhǔn)年，取值為t=1，1998年t=18，1981年至1998年的數(shù)據(jù)如表。首先畫(huà)出GDP對(duì)時(shí)間的散點(diǎn)圖，見(jiàn)圖。

　　

【正文】 ?是產(chǎn)出對(duì)資本投入的彈性系數(shù)，度量在勞動(dòng)投入保持不變時(shí)資本投入增加 1%時(shí)產(chǎn)出增加的百分比。 ?是產(chǎn)出對(duì)勞動(dòng)投入的彈性系數(shù)，度量在資本投入保持不變時(shí)勞動(dòng)投入增加 1%時(shí)產(chǎn)出增加的百分比。 兩個(gè)彈性系數(shù)之和 ?+? 表示規(guī)模報(bào)酬（ returns to scale）。 ?+? =1表示規(guī)模報(bào)酬不變，即 1倍的投入帶來(lái) 1倍的產(chǎn)出； ?+? ＜ 1表示規(guī)模報(bào)酬遞減，即 1倍的投入帶來(lái)少于 1倍的產(chǎn)出； ?+? ＞ 1表示規(guī)模報(bào)酬遞增，即 1倍的投入帶來(lái)大于 1倍的產(chǎn)出。 167。 非線(xiàn)性模型 (1 ) 乘性誤差項(xiàng)，模型形式為ey A K L? ? ?? (2 ) 加性誤差項(xiàng)，模型形式為y A K L?? ??? 對(duì)乘法誤差項(xiàng)模型可通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性模型。 ln y = ln A + ? ln K + ? ln L 令 y ′ = ln y , β 0= ln A , x 1=l n K , x 2=l n L , 則轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸方程：y ′ = β 0+ ? x 1 + ? x 2+ ? 167。 非線(xiàn)性 模型 年份 t GDP K L lnGDP lnK lnL 1978 1 40152 1979 2 41024 1980 3 42361 1981 4 43725 1982 5 45295 1983 6 46436 1984 7 48197 1985 8 49873 1986 9 51282 1987 10 52783 1988 11 54334 1989 12 55329 1990 13 64749 1991 14 65491 1992 15 66152 1993 16 66808 1994 17 67455 1995 18 68065 1996 19 68950 1997 20 69820 1998 21 70637 1999 22 71394 2020 23 72085 2020 24 73025 2020 25 73740 167。 非線(xiàn)性模型 其中， y是國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP (單位：億元 )， K是資金投入，包括固定資產(chǎn)投資和庫(kù)存占用資 金 (單位：億元 )， L是就業(yè)總?cè)藬?shù) (單位：萬(wàn)人 )。 (1)假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)為相乘的，我們可以用兩邊取對(duì)數(shù)的辦法，按照（ ）式將模型轉(zhuǎn)化線(xiàn)性形式，對(duì)數(shù)變換后的數(shù)據(jù)見(jiàn)表 ，用 SPSS作線(xiàn)性回歸得如下結(jié)果： 167。 非線(xiàn)性模型 A N O VA M o d e l S u m o f S q u a r e s df M e a n S q u a re F S i g . 1 R e g r e ssi o n 3 2 .2 3 6 2 1 6 .1 1 8 5 9 1 7 .7 7 4 . 0 0 0 R e si d u a l . 060 22 . 0 0 3 T o ta l 3 2 .2 9 6 24 C o e ff i c ie n ts ( a ) U n st a n d a r d i z e d C o e f fic ie n ts St a n d a r d i z e d C o e f fic ie n ts B St d . Er r o r B e ta t S i g ( C o n st a n t) 2 .0 8 6 1 .9 0 3 1 .0 9 6 . 2 8 5 ln K . 9 0 2 . 0 3 5 . 9 3 6 2 5 .8 6 3 . 0 0 0 ln L . 3 6 1 . 2 0 1 . 0 6 5 1 .7 9 4 . 0 8 7 a D e p e n d e n t V a r ia b le : ln G D P 167。 非線(xiàn)性模型 得兩個(gè)彈性系數(shù)為 ?=， ? =，資金的貢獻(xiàn)率大于勞動(dòng)力的貢獻(xiàn)率。 規(guī)模報(bào)酬 ?+? =+=＞ 1表示規(guī)模報(bào)酬遞增。 效率系數(shù) A==。 其中系數(shù) ? 的顯著性概率 P值 =，顯著性較弱。 得乘性誤差項(xiàng)的 CD生產(chǎn)函數(shù)為： 0 . 9 0 2 0 . 3 6 10 . 1 2 4 2y K L?167。 非線(xiàn)性模型 對(duì)加性誤差項(xiàng)模型 ,不能通過(guò)變量變換數(shù)轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性模型，只能用非線(xiàn)性最小二乘法求解未知參數(shù)。以上面乘性誤差項(xiàng)的參數(shù)為初值做非線(xiàn)性最小二乘，經(jīng)過(guò) 81步迭代得下面的輸出結(jié)果 8.。其中參數(shù) β 的置信度為 95%的置信區(qū)間為（ ， ），包含 0在內(nèi)，因而不能認(rèn)為 β 非 0，顯著性較弱。 得乘性誤差項(xiàng)的 CD生產(chǎn)函數(shù)為： 0 . 9 2 2 0 . 5 0 50 . 0 2 0y K L?167。 非線(xiàn)性模型 P a r a m e t e r E s ti m a t e s 9 5 % C o n fi d e n c e In te rv a l P a r a me te r E s ti ma te St d . Er r o r L o w e r B o u n d U p p e r B o u n d A . 0 2 0 . 1 0 4 .1 9 6 . 2 3 6 al pha . 9 2 2 . 0 6 4 . 7 8 9 1 .0 5 6 b e ta . 5 0 5 . 5 1 1 .5 5 5 1 .5 6 5 167。 非線(xiàn)性模型 乘性誤差項(xiàng)模型和加性誤差項(xiàng)模型所得的結(jié)果還是有較大差異的， 其中乘性誤差項(xiàng)模型認(rèn)為 y t 本身 是異方差的，而 l n y t 是等方差的。 加性誤差項(xiàng)模型認(rèn)為 y t 是等方差的。 從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)看兩者的差異，前者淡化了 y t值大的項(xiàng)（近期數(shù)據(jù)）的作用， 強(qiáng)化了 y t值小的項(xiàng)（早期數(shù)據(jù)）的作用，對(duì)早期數(shù)據(jù)擬合的效果較好。 而后者則對(duì)近期數(shù)據(jù)擬合的效果較好。 167。 非線(xiàn)性模型 使用線(xiàn)性化的乘性誤差項(xiàng)模型，由共線(xiàn)性檢驗(yàn)得方差擴(kuò)大因子 VIF=。使用嶺回歸，選取嶺參數(shù) k=，這時(shí) R2從原來(lái)的 14下降為 58，得嶺回歸如下： ****** Ridge Regression with k = ****** B SE(B) Beta B/SE(B) lnK .49700385 .02048319 .51558506 lnL .11798929 .39309616 Constant .00000000 167。 非線(xiàn)性模型 其中 ?=， ? =， A= 表明勞動(dòng)力的貢獻(xiàn)率遠(yuǎn)大于資金的貢獻(xiàn)率，與普通最小二乘的結(jié)果完全相反。并且 ? =。 從統(tǒng)計(jì)方法看，嶺回歸的結(jié)果是可信的，但是我們對(duì)其計(jì)算結(jié)果卻無(wú)法給出合理的解釋。 1 8 . 4 3 8 99 .8 2 8 1 0e ?? ??167。 非線(xiàn)性模型 三、其他形式的非線(xiàn)性回歸 非線(xiàn)性最小二乘是使殘差平方和 達(dá)極小的方法 ,其最大的缺點(diǎn)是缺乏穩(wěn)健性。當(dāng)數(shù)據(jù)存在異常值時(shí)，參數(shù)的估計(jì)效果變得很差。因而在一些場(chǎng)合，我們希望用一些更穩(wěn)健的殘差損失函數(shù)代替平方損失函數(shù) ???? n1i2ii )),x(fy()(Q θθ167。 非線(xiàn)性模型 絕對(duì)值殘差損失函數(shù) ????niii xfyQ1|),(|)( θθ 利用 SPSS的非線(xiàn)性回歸程序，可以用數(shù)值計(jì)算法求解多種損失函數(shù)的回歸估計(jì)值。以下以例 北京經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)數(shù)據(jù)為例，說(shuō)明用 SPSS軟件的最小絕對(duì)值法求解方法。 167。 非線(xiàn)性模型 1．進(jìn)入非線(xiàn)性回歸對(duì)話(huà)框，在因變量框中點(diǎn)入 y，在Model Expressions框中輸入回歸方程表達(dá)式b0+b1*x1+b2*x2； ，以普通最小二乘估計(jì)值為初始值，初始值為 b0=,b1=,b2=，點(diǎn) Continue返回非線(xiàn)性回歸對(duì)話(huà)框 。 Options選項(xiàng) ,進(jìn)入 Options選項(xiàng)框選擇數(shù)值計(jì)算方法，默認(rèn)的計(jì)算方法是 LevenbergMarquardt方法 ,將其改為Sequential quadratic program方法，點(diǎn) Continue返回非線(xiàn)性回歸對(duì)話(huà)框。用自定義損失函數(shù)計(jì)算時(shí)必須做這個(gè)改動(dòng)； 4．點(diǎn) Loss進(jìn)入 Loss Function對(duì)話(huà)框給出損失函數(shù)，默認(rèn)的損失函數(shù)是 Sum of squared residuals,將其改為 Userdefiend loss function，然后輸入 ABS(yb0b1*x1b2*x2)，點(diǎn)Continue返回非線(xiàn)性回歸對(duì)話(huà)框； 5．點(diǎn) Save保存殘差變量和預(yù)測(cè)值： 167。 非線(xiàn)性模型 Iteration Loss funct B0 B1 B2 .368000000 .403145685 .431261430 .429074345 .427309206 得最小絕對(duì)值法的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為： y? = + 2x 1 + 2 普通最小二乘經(jīng)驗(yàn)回歸方程為： 21 4 6 3 3 2 7? xxy ????167。 非線(xiàn)性 模型 序號(hào) x1 x2 yi iay? ei a iy? ei 1 25 35 4 7. 79 55 3 .9 6 13 5 5. 6 8 0 1. 64 13 8 5. 63 8 3 1. 67 2 20 89 6 .3 4 20 8 .5 5 21 1 .9 3 3 . 38 13 3 .5 2 75 . 03 3 6 75 0 .3 2 3. 1 0 11 9 .6 4 1 1 6. 54 36 . 62 3 3 .5 2 4 10 0 1 20 8 7. 05 28 1 5. 40 28 1 5. 4 0 26 8 8. 57 12 6 .8 3 5 52 5 16 3 9. 31 10 5 2. 12 16 0 7. 71 5 5 5. 59 15 0 9. 71 4 5 7. 59 6 82 5 33 5 7. 70 34 2 7. 00 29 8 2. 56 44 4 .4 4 29 2 5. 4 50 1 .6 7 12 0 80 8 .4 7 44 2 .8 2 38 7 .9 1 54 . 91 29 5 .9 6 14 6 .8 6 8 28 52 0 .2 7 70 . 12 68 . 32 1. 8 2 6 .3 4 96 . 46 9 7 67 1 .1 3 12 2 .2 4 87 . 94 34 . 3 1. 5 7 12 0 .6 7 10 53 2 28 6 3. 32 14 0 0. 00 21 4 5. 68 7 4 5. 68 20 9 7. 28 6 9 7. 28 11 75 11 6 0. 00 46 4 .0 0 44 2 .0 4 21 . 96 36 9 95 12 40 86 2 .7 5 7. 5 0 24 0 .2 9 2 3 2. 79 15 8 .5 1 1 5 1. 01 13 18 7 67 2 .9 9 22 4 .1 8 47 3 .0 8 2 4 8. 9 36 8 .9 2 1 4 4. 74 14 12 2 9 0 1 .7 6 53 8 .9 4 43 2 .0 4 10 6 .9 34 3 .7 3 19 5 .2 1 15 74 35 4 6. 18 24 4 2. 79 14 5 9. 54 98 3 .2 5 14 8 4. 64 95 8 .1 5