【導(dǎo)讀】需要指出的是，新引進(jìn)的自變量只能依賴于原始變量，而不能與未知參數(shù)有關(guān)。y=β0+β1x+β2x2+…于是得到y(tǒng)關(guān)于x1,x2,…()式本來只有一個自變量x，是一元p次多項式回歸，在線性化后，變?yōu)閜元線性回歸。令y′=lny,β0=lna,β1=b,方法將回歸模型線性化，只能用非線性最小二乘方法求解。()式的誤差項稱為加性誤差項。形式有關(guān)，而且與誤差項的形式有關(guān)。去誤差項，僅寫出回歸函數(shù)的形式。除了以上SPSS軟件中收入的幾種曲線回歸外，當(dāng)x→+∞時，y→1/a;x→-∞時，y→0。y=0與y=1/a是這條曲線的兩條漸進(jìn)線。銷售量與時間的關(guān)系，樹木、農(nóng)作物的生長與時間的關(guān)系等。義下的S型曲線。SPSS軟件中的邏輯函數(shù)在0<b1<1時也是S型曲線。以1981年為基準(zhǔn)年，取值為t=1，1998年t=18，1981年至1998年的數(shù)據(jù)如表。首先畫出GDP對時間的散點圖，見圖。

　　

【正文】 ?是產(chǎn)出對資本投入的彈性系數(shù)，度量在勞動投入保持不變時資本投入增加 1%時產(chǎn)出增加的百分比。 ?是產(chǎn)出對勞動投入的彈性系數(shù)，度量在資本投入保持不變時勞動投入增加 1%時產(chǎn)出增加的百分比。 兩個彈性系數(shù)之和 ?+? 表示規(guī)模報酬（ returns to scale）。 ?+? =1表示規(guī)模報酬不變，即 1倍的投入帶來 1倍的產(chǎn)出； ?+? ＜ 1表示規(guī)模報酬遞減，即 1倍的投入帶來少于 1倍的產(chǎn)出； ?+? ＞ 1表示規(guī)模報酬遞增，即 1倍的投入帶來大于 1倍的產(chǎn)出。 167。 非線性模型 (1 ) 乘性誤差項，模型形式為ey A K L? ? ?? (2 ) 加性誤差項，模型形式為y A K L?? ??? 對乘法誤差項模型可通過兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型。 ln y = ln A + ? ln K + ? ln L 令 y ′ = ln y , β 0= ln A , x 1=l n K , x 2=l n L , 則轉(zhuǎn)化為線性回歸方程：y ′ = β 0+ ? x 1 + ? x 2+ ? 167。 非線性 模型 年份 t GDP K L lnGDP lnK lnL 1978 1 40152 1979 2 41024 1980 3 42361 1981 4 43725 1982 5 45295 1983 6 46436 1984 7 48197 1985 8 49873 1986 9 51282 1987 10 52783 1988 11 54334 1989 12 55329 1990 13 64749 1991 14 65491 1992 15 66152 1993 16 66808 1994 17 67455 1995 18 68065 1996 19 68950 1997 20 69820 1998 21 70637 1999 22 71394 2020 23 72085 2020 24 73025 2020 25 73740 167。 非線性模型 其中， y是國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP (單位：億元 )， K是資金投入，包括固定資產(chǎn)投資和庫存占用資 金 (單位：億元 )， L是就業(yè)總?cè)藬?shù) (單位：萬人 )。 (1)假設(shè)隨機(jī)誤差項為相乘的，我們可以用兩邊取對數(shù)的辦法，按照（ ）式將模型轉(zhuǎn)化線性形式，對數(shù)變換后的數(shù)據(jù)見表 ，用 SPSS作線性回歸得如下結(jié)果： 167。 非線性模型 A N O VA M o d e l S u m o f S q u a r e s df M e a n S q u a re F S i g . 1 R e g r e ssi o n 3 2 .2 3 6 2 1 6 .1 1 8 5 9 1 7 .7 7 4 . 0 0 0 R e si d u a l . 060 22 . 0 0 3 T o ta l 3 2 .2 9 6 24 C o e ff i c ie n ts ( a ) U n st a n d a r d i z e d C o e f fic ie n ts St a n d a r d i z e d C o e f fic ie n ts B St d . Er r o r B e ta t S i g ( C o n st a n t) 2 .0 8 6 1 .9 0 3 1 .0 9 6 . 2 8 5 ln K . 9 0 2 . 0 3 5 . 9 3 6 2 5 .8 6 3 . 0 0 0 ln L . 3 6 1 . 2 0 1 . 0 6 5 1 .7 9 4 . 0 8 7 a D e p e n d e n t V a r ia b le : ln G D P 167。 非線性模型 得兩個彈性系數(shù)為 ?=， ? =，資金的貢獻(xiàn)率大于勞動力的貢獻(xiàn)率。 規(guī)模報酬 ?+? =+=＞ 1表示規(guī)模報酬遞增。 效率系數(shù) A==。 其中系數(shù) ? 的顯著性概率 P值 =，顯著性較弱。 得乘性誤差項的 CD生產(chǎn)函數(shù)為： 0 . 9 0 2 0 . 3 6 10 . 1 2 4 2y K L?167。 非線性模型 對加性誤差項模型 ,不能通過變量變換數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型，只能用非線性最小二乘法求解未知參數(shù)。以上面乘性誤差項的參數(shù)為初值做非線性最小二乘，經(jīng)過 81步迭代得下面的輸出結(jié)果 8.。其中參數(shù) β 的置信度為 95%的置信區(qū)間為（ ， ），包含 0在內(nèi)，因而不能認(rèn)為 β 非 0，顯著性較弱。 得乘性誤差項的 CD生產(chǎn)函數(shù)為： 0 . 9 2 2 0 . 5 0 50 . 0 2 0y K L?167。 非線性模型 P a r a m e t e r E s ti m a t e s 9 5 % C o n fi d e n c e In te rv a l P a r a me te r E s ti ma te St d . Er r o r L o w e r B o u n d U p p e r B o u n d A . 0 2 0 . 1 0 4 .1 9 6 . 2 3 6 al pha . 9 2 2 . 0 6 4 . 7 8 9 1 .0 5 6 b e ta . 5 0 5 . 5 1 1 .5 5 5 1 .5 6 5 167。 非線性模型 乘性誤差項模型和加性誤差項模型所得的結(jié)果還是有較大差異的， 其中乘性誤差項模型認(rèn)為 y t 本身 是異方差的，而 l n y t 是等方差的。 加性誤差項模型認(rèn)為 y t 是等方差的。 從統(tǒng)計性質(zhì)看兩者的差異，前者淡化了 y t值大的項（近期數(shù)據(jù)）的作用， 強化了 y t值小的項（早期數(shù)據(jù)）的作用，對早期數(shù)據(jù)擬合的效果較好。 而后者則對近期數(shù)據(jù)擬合的效果較好。 167。 非線性模型 使用線性化的乘性誤差項模型，由共線性檢驗得方差擴(kuò)大因子 VIF=。使用嶺回歸，選取嶺參數(shù) k=，這時 R2從原來的 14下降為 58，得嶺回歸如下： ****** Ridge Regression with k = ****** B SE(B) Beta B/SE(B) lnK .49700385 .02048319 .51558506 lnL .11798929 .39309616 Constant .00000000 167。 非線性模型 其中 ?=， ? =， A= 表明勞動力的貢獻(xiàn)率遠(yuǎn)大于資金的貢獻(xiàn)率，與普通最小二乘的結(jié)果完全相反。并且 ? =。 從統(tǒng)計方法看，嶺回歸的結(jié)果是可信的，但是我們對其計算結(jié)果卻無法給出合理的解釋。 1 8 . 4 3 8 99 .8 2 8 1 0e ?? ??167。 非線性模型 三、其他形式的非線性回歸 非線性最小二乘是使殘差平方和 達(dá)極小的方法 ,其最大的缺點是缺乏穩(wěn)健性。當(dāng)數(shù)據(jù)存在異常值時，參數(shù)的估計效果變得很差。因而在一些場合，我們希望用一些更穩(wěn)健的殘差損失函數(shù)代替平方損失函數(shù) ???? n1i2ii )),x(fy()(Q θθ167。 非線性模型 絕對值殘差損失函數(shù) ????niii xfyQ1|),(|)( θθ 利用 SPSS的非線性回歸程序，可以用數(shù)值計算法求解多種損失函數(shù)的回歸估計值。以下以例 北京經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)數(shù)據(jù)為例，說明用 SPSS軟件的最小絕對值法求解方法。 167。 非線性模型 1．進(jìn)入非線性回歸對話框，在因變量框中點入 y，在Model Expressions框中輸入回歸方程表達(dá)式b0+b1*x1+b2*x2； ，以普通最小二乘估計值為初始值，初始值為 b0=,b1=,b2=，點 Continue返回非線性回歸對話框 。 Options選項 ,進(jìn)入 Options選項框選擇數(shù)值計算方法，默認(rèn)的計算方法是 LevenbergMarquardt方法 ,將其改為Sequential quadratic program方法，點 Continue返回非線性回歸對話框。用自定義損失函數(shù)計算時必須做這個改動； 4．點 Loss進(jìn)入 Loss Function對話框給出損失函數(shù)，默認(rèn)的損失函數(shù)是 Sum of squared residuals,將其改為 Userdefiend loss function，然后輸入 ABS(yb0b1*x1b2*x2)，點Continue返回非線性回歸對話框； 5．點 Save保存殘差變量和預(yù)測值： 167。 非線性模型 Iteration Loss funct B0 B1 B2 .368000000 .403145685 .431261430 .429074345 .427309206 得最小絕對值法的經(jīng)驗回歸方程為： y? = + 2x 1 + 2 普通最小二乘經(jīng)驗回歸方程為： 21 4 6 3 3 2 7? xxy ????167。 非線性 模型 序號 x1 x2 yi iay? ei a iy? ei 1 25 35 4 7. 79 55 3 .9 6 13 5 5. 6 8 0 1. 64 13 8 5. 63 8 3 1. 67 2 20 89 6 .3 4 20 8 .5 5 21 1 .9 3 3 . 38 13 3 .5 2 75 . 03 3 6 75 0 .3 2 3. 1 0 11 9 .6 4 1 1 6. 54 36 . 62 3 3 .5 2 4 10 0 1 20 8 7. 05 28 1 5. 40 28 1 5. 4 0 26 8 8. 57 12 6 .8 3 5 52 5 16 3 9. 31 10 5 2. 12 16 0 7. 71 5 5 5. 59 15 0 9. 71 4 5 7. 59 6 82 5 33 5 7. 70 34 2 7. 00 29 8 2. 56 44 4 .4 4 29 2 5. 4 50 1 .6 7 12 0 80 8 .4 7 44 2 .8 2 38 7 .9 1 54 . 91 29 5 .9 6 14 6 .8 6 8 28 52 0 .2 7 70 . 12 68 . 32 1. 8 2 6 .3 4 96 . 46 9 7 67 1 .1 3 12 2 .2 4 87 . 94 34 . 3 1. 5 7 12 0 .6 7 10 53 2 28 6 3. 32 14 0 0. 00 21 4 5. 68 7 4 5. 68 20 9 7. 28 6 9 7. 28 11 75 11 6 0. 00 46 4 .0 0 44 2 .0 4 21 . 96 36 9 95 12 40 86 2 .7 5 7. 5 0 24 0 .2 9 2 3 2. 79 15 8 .5 1 1 5 1. 01 13 18 7 67 2 .9 9 22 4 .1 8 47 3 .0 8 2 4 8. 9 36 8 .9 2 1 4 4. 74 14 12 2 9 0 1 .7 6 53 8 .9 4 43 2 .0 4 10 6 .9 34 3 .7 3 19 5 .2 1 15 74 35 4 6. 18 24 4 2. 79 14 5 9. 54 98 3 .2 5 14 8 4. 64 95 8 .1 5