醫(yī)用基礎(chǔ)化學(xué)第1章-資料下載頁
2025-01-13 10:50本頁面
【正文】 是連續(xù)的。 初等函數(shù)的連續(xù)性 一、基本初等函數(shù)的連續(xù)性 二、連續(xù)函數(shù)的運算 【 定理 6】 見書 例如 , 在 內(nèi)連續(xù)。 在其定義域內(nèi)連續(xù)。 三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 【 定理 7】 設(shè)函數(shù) 當(dāng) 時極限存在且等于 ,即 。函數(shù) y=f(u)在相應(yīng)點 連續(xù) ,即 ,則復(fù)合函數(shù) 當(dāng) 時的極限也存在且等于 ,即 。 【 推論 5】 設(shè)函數(shù) ,當(dāng) 時連續(xù) ,即 ,函數(shù) y=f(u)在相應(yīng)點 連續(xù) , 則復(fù)合函數(shù) 當(dāng) 時連續(xù) ,即 : 理解： 例 20 求極限 。 解： 連續(xù) ,根據(jù)定理 7有 函數(shù) 可看作由 復(fù)合而成 ,因為 ,而 在相應(yīng)點 例 21 討論函數(shù) 的連續(xù)性。 解： 函數(shù) 可看作由 復(fù)合而成 ,因 為 在 上連續(xù) , 在 上連續(xù) ,根據(jù)推論 5得 在 上連續(xù)。 練習(xí) 1: 求 解 : 原式 練習(xí) 2: 求 解 :令 ,1?? xat 則 ,)1(lo g tx a ??原式 )1(l o glim 0 ttat ?? ?說明 :當(dāng) 時 ,有 xx ~)1ln ( ? xe x ~1?是由連續(xù)函數(shù) ),0()0,( ??????x在 上連續(xù) . xyoxy1si n?練習(xí) 4： 討論 的連續(xù)性 解： 因此 復(fù)合而成 , ),0()0,( ??????x練習(xí) 3 求 解： 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 ,所謂定義區(qū)間是只包含在定義域內(nèi)的區(qū)間。 四、初等函數(shù)的連續(xù)性 例 22 求函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間 ,并求當(dāng) 時 ,f(x)的極限。 解： 續(xù)區(qū)間就是它的定義區(qū)間 ,f(x)在 (∞, 1)及在 因為 是初等函數(shù) ,所以 f(x)的連 (1,1)∪(1,+∞) 上有定義 ,故 f(x)的連續(xù)區(qū)間 為 (∞ 1)∪( 1,1)∪(1,+∞). 又因為 x=0為 f(x) 連續(xù)區(qū)間內(nèi)一點 ,所以 ,即 函數(shù) y=f(x)在區(qū)間上單值 ,單調(diào)增加 (或單調(diào)減少 )且連續(xù) ,則其反函數(shù) 在對應(yīng)的區(qū)間上也單值、單調(diào)增加 (或單調(diào)減少 )且連續(xù)。 例如 , xy sin? 在 上連續(xù)單調(diào)遞增 ,其反 函數(shù) xy a rc s in? 在 [－ 1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增 . 在 上連續(xù) 單調(diào) 遞增 , 其反函數(shù) 在 上也連續(xù)單調(diào)遞增 . 又如 , 在 (∞,+∞) 內(nèi)單調(diào)且連續(xù) 在 (0,+∞) 內(nèi)單調(diào)且連續(xù)。 注意 : 初等函數(shù)求極限的方法代入法 : )()(lim 00xfxfxx ??x∈ 定義區(qū)間。 內(nèi)容小結(jié) 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 說明 : 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其左、 右連續(xù)性。 作業(yè)： 【 定理 8】 （最大值最小值定理） 閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù) f(x)在該區(qū)間上至少取得它的最大值 M和最小值 m各一次。如圖所示 . 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) am2? xoyM1? b)( xfy ?注意 : 間斷點 ,結(jié)論不一定成立。 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù) ,或在閉區(qū)間內(nèi)有 例如 , 無最大值和最小值 xoy11xoy1122也無最大值和最小值 又如 , 閉區(qū)間 [a,b]上的連續(xù)函數(shù) f(x)一定有界。 因為 取 所以當(dāng) 時 ,有 成立 . 【 推論 6】 【 定理 9】 (介值定理）設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 上連續(xù) ,且 ,C為 A與 B之 間的任意一個值 ,則在開區(qū)間 內(nèi)至少存 在一點 ，使 ,如圖所示。 3?CBa 2?xo1?Ay1P 3P2P)( xfy ?b 連續(xù)曲線 y=f(x)與水平直線 y=c至少相交于一點 ?axoyb)( xfy ?【 推論 7】 y=f(x)在區(qū)間 上連續(xù) ,且 時 ,則在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點 ,使 如圖所示。 連續(xù)曲線 y=f(x)與 x軸至少相交于一點 例 23 證明三次方程 至少有一個實 根介于 0和 1之間。 解： 令 ,它為初等函數(shù) ,在閉區(qū) 間 [0,1]上連續(xù) ,且 f(0)=10,f(1)=30,由定 理 9推論 7可知 ,在開區(qū)間 (0,1)內(nèi)至少存在一 在 (0,1)內(nèi)至少有一個實根。 點 ,使得 ,說明方程 內(nèi)容小結(jié) 在 上達(dá)到最大值與最小值 。 上可取最大與最小值之間的任何值 。 時 , 使 必存在 上有界 。 在 在 設(shè) ,則 1. 任給一張面積為 A的紙片 (如圖 ), 證明必可 思考與練習(xí)： 將它一刀剪為面積相等的兩片 . 提示 : 建立坐標(biāo)系如圖 . xoy???則面積函數(shù) ],[)( ??? CS ?因 ,0)( ??S AS ?)(?故由介值定理可知 : ,),(0 ??? ?? .2)( 0 AS ??使)(?S證明至少存 使 提示 :令 則 易證 2. 設(shè) 在 一點 證： 至少有一個不超過 4的正根 . 令 連續(xù) ,且 根據(jù)零點定理 , 原命題得證。 內(nèi)至少存在一點 在開區(qū)間 顯然 f(x)在閉區(qū)間 [0,4]上 使 思考與練習(xí) 1. 討論函數(shù) x = 2 的間斷點。 2. 設(shè) 時， 提示 : 為 連續(xù)函數(shù)。 答案 : x = 1
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