【正文】 。 ? ? 0mn ?，Ra na mR m ax m? ? R mRmRn? 由圖 與 的投影關(guān)系 n c os( , ) ( )m n m m n? ?? ?? ? ? ? ??????????????????R a R R a例如： 氣流和水流速度場(chǎng)的激勵(lì)源（輪船和直升飛機(jī)的螺旋槳 ， 洗衣機(jī)的渦輪 ， 龍卷風(fēng)） ； 靜磁場(chǎng)的電流源 。 ● 旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式（證明略） r ot( )yy xxzzx y zx y zx y zFF FFFFy z z x x yx y zF F F??? ? ? ????? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ???? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?? ??????? ? ???? ??F a a aa a aF 【 例 】 求例 D的旋度。 解： 已知 式中， 有類似形式，根據(jù)式（ ），有 ? ? ? ? ? ?34 x y zq x x y y z zR? ? ? ???? ? ? ? ? ???D a a a? ?3 ,4x y zq x xD D DR???? 和? ? ? ? ? ?3 3 34x y zqx x zx x y y z zR R R?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ? ?? ? ? ???? ?????? ?????? ?????? ????? ? ?? ? ?? ? ???? ??? ??a a aD? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?55534330xyzz z y y z z y yqRz z x x z z x xRy y x x y y x xR?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ??? ???? ? ? ?? ? ? ? ????????? ? ? ?? ? ? ? ??????? ????aaa 顯然，上式要求滿足在 處的條件，結(jié)合例 ，點(diǎn)電荷的電位移矢量在無(wú)源區(qū) 這一特定條件下，是一個(gè)無(wú)散無(wú)旋場(chǎng)。 0R?? ?0R ? 梯度、散度和旋度的比較 1． 三個(gè)度均用于描述某點(diǎn)場(chǎng)的空間變化率，但變化方式不同，揭示了場(chǎng)的特性也不同。 問(wèn)題：由梯度、散度和旋度的定義式和直角坐標(biāo)式說(shuō)明，為什么在數(shù)學(xué)上可以引入矢性微分算符“ ”來(lái)統(tǒng)一表示？ 圖 、散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)變化方式的比較。 ? 2． 三個(gè)度均用于表述某點(diǎn)場(chǎng)與場(chǎng)源的相依關(guān)系，不同變化規(guī)律的場(chǎng)對(duì)應(yīng)于不同性質(zhì)的場(chǎng)源。 散度場(chǎng)（或無(wú)旋場(chǎng)）～散度源（或通量源） 旋度場(chǎng)（或無(wú)散場(chǎng)）～散度源（或旋渦源） 標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)（或位場(chǎng)）～散度源（或通量源） 3． 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量函數(shù)，矢量場(chǎng)的散度是標(biāo)量函數(shù)，矢量場(chǎng)的旋度是矢量函數(shù) 。 這些函數(shù)分別表示梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)。 常用恒等式和公式 引入拉普拉斯算符“ ”，在直角坐標(biāo)中 2?2 2 222 2 2x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?（ ） 2 2 22 2 2( ) ( )x y z x y zx y z x y zx y z?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? a a a a a a（ ） 1．微分形式 2．積分形式 2( )0 ( )0 ( )uuu? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ??? ????????????? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ???? ??????????????? ???? ? ? ? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ???????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?FFF2( )?? ? ?????? ?????? ?????? ???Fd d ( )d d ( )VSVl? ? ?? ? ??? ?????? ?????? ?????? ?????? ?? ? ???? ?? ??? ?????? ?????? ?????? ??????????F V F SF S F l 亥姆霍茲定理 亥姆霍茲定理：在無(wú)界區(qū)域中，某場(chǎng)點(diǎn)的矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定 。 式中縱場(chǎng) 表示無(wú)旋場(chǎng)，橫場(chǎng) 表示無(wú)散場(chǎng)。 設(shè) g和 G分別表示通量源（例如 ）和旋渦源（例如 J），則無(wú)旋場(chǎng)和無(wú)散場(chǎng)分別滿足方程 ?nF tF+ ( )nt? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ??????F F F, ( 1 . 5 7 a )0 , ( 1 . 5 7 b )nnttg? ?? ? ? ?? ? ??? ? ???????????????????????????????? ? ? ? ?? ? ??? ????????????????????????????????FFF F G 對(duì)式（ ）分別取散度和旋度，由式（ 、 b）知 看出矢量場(chǎng) F由 g和 G產(chǎn)生的無(wú)旋場(chǎng)和無(wú)散場(chǎng)唯一確定。 若引入標(biāo)量位 和矢量位 A來(lái)表示矢量場(chǎng) 和 ，則將式（ ）和 對(duì)比，將式（ ）和式 對(duì)比，可得 ??0n? ? ?F 0t? ? ?FnF tF( 1 . 5 8 a )( 1 . 5 8 b )ntg? ? ? ? ?? ? ????????????????????????????????????? ?? ? ? ? ?? ? ? ??????????????????????????????????FFF F G( )nt ??? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?F F A 式（ ）代入式（ ）得 亥姆霍茲定理是矢量場(chǎng)的場(chǎng)點(diǎn)性質(zhì)的判別準(zhǔn)則。 按場(chǎng)的無(wú)旋性和無(wú)散性可將場(chǎng)分為如下類型： （ 1）無(wú)散無(wú)旋場(chǎng) ，如無(wú)源空間中的靜電場(chǎng)； （ 2）有散無(wú)旋場(chǎng) ，如有源空間 中的靜電場(chǎng)； （ 3）無(wú)散有旋場(chǎng) ，如有源空間 中的靜磁場(chǎng)； ? ?00? ? ? ? ? ?，F(xiàn)F? ?0g? ? ? ? ? ?，F(xiàn)F ? ?0? ?? ?0? ? ? ? ? ?，F(xiàn) F G ? ?0?J( 1. 60 )?? ?? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ????FA （ 4）有散有源場(chǎng) ，如有源空間 和時(shí)變磁場(chǎng) 中的電場(chǎng)。 亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場(chǎng)的場(chǎng)點(diǎn)性質(zhì)，是研究電磁場(chǎng)與電磁波的重要基礎(chǔ)。 ? ?g? ? ? ? ? ?，F(xiàn) F G ? ?0? ?0t?????????B