【正文】 ∵ BC 是 ⊙ O 的切線， ∴∠ ABC=90176。， ∵ CD=CB， ∴∠ CBD=∠ CDB， ∵ OB=OD， ∴∠ OBD=∠ ODB， ∴∠ ODC=∠ ABC=90176。， 即 OD⊥ CD， ∵ 點 D 在 ⊙ O 上， ∴ CD 為 ⊙ O 的切線； （ 2）解：在 Rt△ OBF 中， 第 25 頁（共 30 頁） ∵∠ ABD=30176。， OF=1， ∴∠ BOF=60176。， OB=2， BF= ， ∵ OF⊥ BD， ∴ BD=2BF=2 ， ∠ BOD=2∠ BOF=120176。， ∴ S 陰影 =S 扇形 OBD﹣ S△ BOD= ﹣ 2 1= π﹣ ． 【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 15．如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑， AF 是 ⊙ O 切線， CD 是垂直于 AB 的弦，垂足為 E，過點 C 作 DA 的平行線與 AF 相交于點 F， CD= ， BE=2．求證： （ 1）四邊形 FADC 是菱形； （ 2） FC 是 ⊙ O 的切線． 【考點】切線的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】（ 1）首先連接 OC，由垂徑定理，可求得 CE 的長，又由勾股定理，可求得半徑 OC 的長，然后由勾股定理求得 AD 的長，即可得 AD=CD，易證得四邊形 FADC 是平行四邊形，繼而證得四邊形 FADC是菱形； （ 2）首先連接 OF，易證得 △ AFO≌△ CFO，繼而可證得 FC 是 ⊙ O 的切線． 【解答】證明：（ 1）連接 OC， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， CD⊥ AB， 第 26 頁（共 30 頁） ∴ CE=DE= CD= 4 =2 ， 設 OC=x， ∵ BE=2， ∴ OE=x﹣ 2， 在 Rt△ OCE 中， OC2=OE2+CE2， ∴ x2=（ x﹣ 2） 2+（ 2 ） 2， 解得： x=4， ∴ OA=OC=4， OE=2， ∴ AE=6， 在 Rt△ AED 中， AD= =4 ， ∴ AD=CD， ∵ AF 是 ⊙ O 切線， ∴ AF⊥ AB， ∵ CD⊥ AB， ∴ AF∥ CD， ∵ CF∥ AD， ∴ 四邊形 FADC 是平行四邊形， ∵ AD=CD， ∴ 平行四邊形 FADC 是菱形； （ 2）連接 OF， AC， ∵ 四邊形 FADC 是菱形， ∴ FA=FC， ∴∠ FAC=∠ FCA， ∵ AO=CO， ∴∠ OAC=∠ OCA， ∴∠ FAC+∠ OAC=∠ FCA+∠ OCA， 即 ∠ OCF=∠ OAF=90176。， 即 OC⊥ FC， ∵ 點 C 在 ⊙ O 上， 第 27 頁（共 30 頁） ∴ FC 是 ⊙ O 的切線． 【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 16．如圖 1， △ ABC 中， CA=CB，點 O 在高 CH 上， OD⊥ CA 于點 D， OE⊥ CB 于點 E，以 O 為圓心，OD 為半徑作 ⊙ O． （ 1）求證： ⊙ O 與 CB 相切于點 E； （ 2）如圖 2，若 ⊙ O 過點 H，且 AC=5， AB=6，連接 EH，求 △ BHE 的面積和 tan∠ BHE 的值 ． 【考點】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】（ 1）由 CA=CB，且 CH 垂直于 AB，利用三線合一得到 CH 為角平分線，再由 OD 垂直于 AC，OE 垂直于 CB，利用角平分線定理得到 OE=OD，利用切線的判定方法即可得證； （ 2）由 CA=CB， CH 為高，利用三線合一得到 AH=BH，在直角三角形 ACH 中，利用勾股定理求出 CH的長，由圓 O 過 H， CH 垂直于 AB，得到圓 O 與 AB 相切，由（ 1）得到圓 O 與 CB 相切，利用切線長定理得到 BE=BH，如圖所示，過 E 作 EF 垂直于 AB，得到 EF 與 CH 平行，得出 △ BEF 與 △ BCH 相似，由 第 28 頁（共 30 頁） 相似得比例，求出 EF 的長，由 BH 與 EF 的長，利用三角形面積公式即可求出 △ BEH 的面積；根據(jù) EF 與BE 的長，利用勾股定理求出 FB 的長，由 BH﹣ BF 求出 HF 的長，利用銳角三角形函數(shù)定義即可求出 tan∠ BHE 的值． 【解答】（ 1）證明： ∵ CA=CB，點 O 在高 CH 上， ∴∠ ACH=∠ BCH， ∵ OD⊥ CA， OE⊥ CB， ∴ OE=OD， ∴ 圓 O 與 CB 相切于點 E； （ 2）解： ∵ CA=CB， CH 是高， ∴ AH=BH= AB=3， ∴ CH= =4， ∵ 點 O 在高 CH 上， 圓 O 過點 H， ∴ 圓 O 與 AB 相切于 H 點， 由（ 1）得圓 O 與 CB 相切于點 E， ∴ BE=BH=3， 如圖，過 E 作 EF⊥ AB，則 EF∥ CH， ∴△ BEF∽△ BCH， ∴ = ，即 = ， 解得： EF= ， ∴ S△ BHE= BH?EF= 3 = ， 在 Rt△ BEF 中， BF= = ， ∴ HF=BH﹣ BF=3﹣ = ， 則 tan∠ BHE= =2． 第 29 頁（共 30 頁） 【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵． 17．如圖， ⊙ O 的直徑 AB=6， AD、 BC 是 ⊙ O 的兩 條切線， AD=2， BC= ． （ 1）求 OD、 OC 的長； （ 2）求證： △ DOC∽△ OBC； （ 3）求證： CD 是 ⊙ O 切線． 【考點】切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】（ 1）由 AB 的長求出 OA 與 OB 的長，根據(jù) AD， BC 為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到三角形AOD 與三角形 BOC 都為直角三角形，利用勾股定理即可求出 OD 與 OC 的長； （ 2）過 D 作 DE 垂直于 BC，可得出 BE=AD， DE=AB，在直角三角形 DEC 中，利用勾股定理求出 CD 的長，根據(jù)三邊對應成比例的三角形相似即可得 證； （ 3）過 O 作 OF 垂直于 CD，根據(jù)（ 2）中兩三角形相似，利用相似三角形的對應角相等得到一對角相等，利用 AAS 得到三角形 OCF 與三角形 OCB 全等，由全等三角形的對應邊相等得到 OF=OB，即 OF 為圓的半徑，即可確定出 CD 為圓 O 的切線． 【解答】（ 1）解： ∵ AD、 BC 是 ⊙ O 的兩條切線， ∴∠ OAD=∠ OBC=90176。， 在 Rt△ AOD 與 Rt△ BOC 中， OA=OB=3， AD=2， BC= ， 根據(jù)勾股定理得： OD= = ， OC= = ； 第 30 頁（共 30 頁） （ 2）證明：過 D 作 DE⊥ BC，可得出 ∠ DAB=∠ ABE=∠ BED=90176。， ∴ 四邊形 ABED 為矩形， ∴ BE=AD=2， DE=AB=6， EC=BC﹣ BE= ， 在 Rt△ EDC 中，根據(jù)勾股定理得： DC= = ， ∵ = = = ， ∴△ DOC∽△ OBC； （ 3）證明：過 O 作 OF⊥ DC，交 DC 于點 F， ∵△ DOC∽△ OBC， ∴∠ BCO=∠ FCO， ∵ 在 △ BCO 和 △ FCO 中， ， ∴△ BCO≌△ FCO（ AAS）， ∴ OB=OF， 則 CD 是 ⊙ O 切線． 【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性 質(zhì)是解本題的關鍵．