【正文】 【答案】 正確作出圖形即可，圖略．平移（ 4 分）旋轉(zhuǎn)（ 2 分） 4 （ 2022 年常德市 ） 如圖 9，若 △ ABC 和 △ ADE 為等邊三角形， M， N 分別 EB， CD 的中點(diǎn)，易證： CD=BE， △ AMN 是等邊三角形． （ 1）當(dāng)把 △ ADE 繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖 10 的位置時(shí)， CD=BE 是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說明理由 ；（ 4 分） （ 2）當(dāng) △ ADE 繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖 11 的位置時(shí)， △ AMN 是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，并求出當(dāng) AB=2AD 時(shí)， △ ADE 與 △ ABC 及 △ AMN 的面積之比；若不是，請(qǐng)說明理由．（ 6分） A B C F E D 圖 6 ABC圖 9 圖 10 圖 11 4 （ 2022年廣西欽州） （ 1）已知：如圖 1，在矩形 ABCD 中， AF＝ BE．求證： DE＝ CF； 4 （ 2022 年 廣西 梧州 ） 如圖（ 7）， △ ABC 中， AC 的垂直平分線 MN 交 AB 于 點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn) O， CE∥ AB 交 MN 于 E，連結(jié) AE、 CD． （ 1）求證： AD＝ CE； （ 2）填空：四邊形 ADCE 的形狀是 ★ ． 4 (2022 年甘肅定西 )如圖 13，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ ECD=90176。，D 為 AB 邊上一點(diǎn)，求證： （ 1） AC E BC D△ ≌ △ ；（ 2） 2 2 2AD DB DE??． 4 （ 2022 年清遠(yuǎn)）如圖，已知正方形 ABCD ，點(diǎn) E 是 AB 上的一點(diǎn)，連結(jié) CE ，以 CE 為一邊，在 CE 的上方作正方形 CEFG ，連結(jié) DG ． 求證： C BE C DG△ ≌ △ 4 （ 2022 年衢州） 如圖，四邊形 ABCD 是 矩形 ， △ PBC 和 △ QCD 都是 等邊三角形 ，且點(diǎn)P 在矩形上方，點(diǎn) Q 在矩形內(nèi)． 求證 ：（ 1）∠ PBA=∠ PCQ=30176。；（ 2） PA=PQ． E B C G D F A 圖 7 DB CAENM O圖 （ 7） 4 （ 2022 年舟山） 如圖，四邊形 ABCD 是 矩形 ， △ PBC 和 △ QCD 都是 等邊三角形 ，且點(diǎn)P 在矩形上方，點(diǎn) Q 在矩形內(nèi)． 求證 ：（ 1）∠ PBA=∠ PCQ=30176。；（ 2） PA=PQ． 4 （ 2022 河池） 如圖 7，在 △ ABC 中， ∠ ACB=2B? ． （ 1）根據(jù)要求作圖： ① 作 ACB? 的平分線交 AB 于 D； ② 過 D 點(diǎn)作 DE⊥ BC，垂足為 E． （ 2）在（ 1）的基礎(chǔ)上寫出一對(duì)全等三角形 和 一對(duì)相似比不為 ． ． ． ． ． ． ． 1． 的相似三角形： △ ≌△ ； △ ∽△ ． 請(qǐng)選擇其中一對(duì)加以證明． （ 2） △ BDE≌△ CDE ； A C B D P Q A C B D P Q A C B D P Q 4 （ 09 湖南懷化） 如圖 9， P 是 ∠ BAC 內(nèi)的一點(diǎn)， P E A B P F A C??， ，垂足分別為點(diǎn)EF， ， AFAE? ．求證：（ 1） PFPE? ； （ 2）點(diǎn) P 在 ∠ BAC 的角平分線上． 【 50、 （ 09 湖北宜昌） 已知：如圖 2，在 Rt△ ABC 和 Rt△ BAD 中， AB 為斜邊， AC=BD， BC，AD 相交于點(diǎn) E． (1) 求證： AE=BE； (2) 若∠ AEC=45176。， AC=1，求 CE 的長(zhǎng)． 圖 2 5 （ 09 湖北宜昌） 已知：如圖 ， AF 平分 ∠ BAC， BC⊥ AF， 垂足為 E， 點(diǎn) D 與點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn) E 對(duì)稱， PB 分別與線段 CF， AF 相交于 P，M． (1)求 證： AB=CD； (2)若 ∠ BAC=2∠ MPC， 請(qǐng)你 判斷 ∠ F 與 ∠ MCD 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 5 (2022 年寧德市 )如圖（ 1），已知正方形 ABCD 在直線 MN 的上方， BC 在直線 MN上， E 是 BC 上一點(diǎn)，以 AE 為邊在直線 MN 的上方作正方形 AEFG． （ 1）連接 GD，求證： △ ADG≌△ ABE； （ 2）連接 FC，觀察并猜測(cè) ∠ FCN 的度數(shù)，并說明理由； （ 3）如圖（ 2），將圖（ 1）中正方形 ABCD 改為矩形 ABCD， AB=a， BC=b（ a、 b 為常數(shù)）， E 是線段 BC 上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn) B、 C），以 AE 為邊在直線 MN 的上方作矩形 AEFG，使頂點(diǎn) G 恰好落在射線 CD 上．判斷當(dāng)點(diǎn) E 由 B 向 C 運(yùn)動(dòng)時(shí)， ∠ FCN 的大小是否總保持不變，若 ∠ FCN 的大小不變，請(qǐng)用含 a、 b 的代數(shù)式表示 tan∠ FCN 的值；若 ∠ FCN 的大小發(fā)生改變，請(qǐng)舉例說明． EDCBAFMPE DCBAN M B E C D F G 圖（ 1） 圖（ 2） M B E A C D F G N 5 （ 2022 年山東青島市）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡． 為美化校園，學(xué)校準(zhǔn)備在如圖所示的三角形（ ABC△ ）空地上 修建一個(gè)面積最大的圓形花壇，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)圓形花壇． 解： 結(jié)論： 結(jié)論． 5 （ 2022 年山東青島市）已知：如圖，在 ABCD 中， AE 是 BC邊上的高，將 ABE△ 沿 BC 方向平移，使點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合，得GFC△ ． （ 1）求證： BE DG? ； （ 2）若 60B??176。 ，當(dāng) AB 與 BC 滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形 ABFG是菱形？證明你的結(jié)論． ， 5 （ 2022 年湖北荊州） 如圖 ， D 是等邊△ ABC 的邊 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)，以 CD 為一邊向上作等邊△ EDC，連接 AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由． 【答案】 5 （ 2022 湖北荊州年） 把一個(gè)正方形分成面積相等的四個(gè)三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四個(gè)三角形外，你還能用三種 不同的 ． ． ． 方法將正方形分成 面積相等的四個(gè)三角形嗎？請(qǐng)分別畫出示意圖。 【 【答案】 5 （ 2022 年茂名市）如圖，方格中有一個(gè) ABC△ ， 請(qǐng)你在方格內(nèi)，畫出滿足條件E D C B A A B C A D G C B F E 第 3 題圖 1 1 1 1A B A B B C B C??， ， 1AA? ?? 的 1 1 1ABC△ ， 并判斷 1 1 1ABC△ 與 ABC△ 是否一定全等？ 60、 (2022 年肇慶市 )如圖 8，在 ABC△ 中， 36A B A C A? ? ?， 176。，線段 AB 的垂直平分線交 AB 于 D，交 AC 于 E，連接 BE． （ 1）求證：∠ CBE=36176。； （ 2）求證： 2AE AC EC? ． 61 、 （ 2022 年 崇 左 ） 如圖，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD BC∥ ，24AB DC AD BC? ? ?， ，延長(zhǎng) BC 到 E ，使 CE AD? ． （ 1）證明： BAD DC E△ ≌ △ ； （ 2）如果 AC BD? ，求等腰梯形 ABCD 的高 DF 的值． 6 （ 2022年佳木斯） 如圖，將矩形紙片 ABCD沿對(duì)角線 AC折疊，使點(diǎn) B落到點(diǎn) B′的位置，AB′與 CD交于點(diǎn) E. （ 1）試找出一個(gè)與△ AED全等的三角形，并加以證明 . （ 2）若 AB=8， DE=3， P 為線段 AC 上的任意一點(diǎn)， PG⊥ AE 于 G， PH⊥ EC 于 H，試求 PG+PHB A C A E C B D 圖 8 D A B E C F 的值，并說明理由 . 6 （ 2022 年赤峰市）如圖，在四邊形 ABCD 中， AB=BC， BF 是∠ ABC 的平分線， AF∥DC，連接 AC、 CF，求證： CA 是∠ DCF 的平分線。 6 (2022 年云南省 )如圖，在△ ABC 和△ DCB 中， AB = DC， AC = DB， AC 與 DB 交于點(diǎn) M． （ 1）求 證：△ ABC≌△ DCB ； （ 2）過點(diǎn) C 作 CN∥ BD，過點(diǎn) B 作 BN∥ AC， CN 與 BN 交于點(diǎn) N，試判斷線段 BN 與CN 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． B C A D M N