【正文】 00cossintg ????????? )23,()2,0(c o ss in?????? 在 [0， 2?）的范圍內(nèi)，在同一坐標(biāo)系中作出 y=sinx 和 y=cosx 的圖像，可在?? )45,4( ?? 時， sin?cos?。 ∴ ?? )45,()2,4( ???? ? 應(yīng)選 B。 4．（ 1998年全國） sin600?的值是（ ）。 A、 21 B、 21? C、 23 D、 23? 解： sin600?=sin(360?+240?)=sin240? =sin(180?+60?)=sin60? = 23? ∴應(yīng)選 D。 6 高考 數(shù)學(xué) 數(shù)列 重點題型分析 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) . 在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位 . 一、等差數(shù)列與等比數(shù)列 例 1． A＝ {遞增等比數(shù)列的公比 }， B＝ {遞減等比數(shù)列的公比 }，求 A∩ B． 解： 設(shè) q∈ A，則可知 q0（否則數(shù)列為擺動數(shù)列）． 由 an＋ 1－ an＝ a1 qn－ a1 qn－ 1＝ a1 qn－ 1(q－ 1)0，得 當(dāng) a1＞ 0時，那么 q＞ 1；當(dāng) a1＜ 0時，則 0＜ q＜ 1． 從而可知 A＝ {q | 0q1 或 q1}． 若 q∈ A，同樣可知 q0．由 an＋ 1－ an＝ a1 qn－ a1 qn－ 1＝ a1 qn－ 1(q－ 1)＜ 0，得 當(dāng) a1＞ 0時，那么 0＜ q＜ 1；當(dāng) a1＜ 0時，則 q＞ 1． 亦可知 B＝ {q | 0q1或 q1}． 故知 A∩ B＝ {q | 0q1或 q1}． 說明： 貌似無法求解的問題，通過數(shù)列的基本量，很快就找到了問題的突破口！ 例 2． 求數(shù)列 1， (1＋ 2)， (1＋ 2＋ 22)，??， (1＋ 2＋ 22＋??＋ 2n－ 1)，??前 n 項的和． 分析 ： 要求得數(shù)列的和，當(dāng)務(wù)之急是要求得數(shù)列的通項，并從中發(fā)現(xiàn)一定規(guī)律．而通項又是一等比數(shù)列的和．設(shè)數(shù)列的通項為 an，則 an＝ 1＋ 2＋ 22＋??＋ 2n－ 1＝ 1 (1－ 2n)1－ 2 ＝ 2n－ 1．從而該數(shù)列前 n 項的和 Sn＝ (2－ 1)＋ (22－ 1)＋ (23－ 1)＋?＋ (2n－ 1) 22 ＝ (2＋ 22＋ 23＋?＋ 2n)－ n＝ 2 (1－ 2n)1－ 2 － n＝ 2n＋ 1－ n－ 2． 說明： 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法 . 等差數(shù)列求和公式： dnnnaaanS nn 2 )1(2 )( 11 ????? 等比數(shù)列求和公式：????? ???????? )1(11)1()1(111qq qaaqqaqnaS nnn )1(211 ??? ?? nnkS nkn )12)(1(611 2 ???? ?? nnnkS nkn 213 )]1(21[ ??? ?? nnkSnkn 常用的數(shù)列求和方法有：利用常用求和公式求和；錯位相減法求和；反序相加法求和；分組法求和；裂項法求和；合并法求和；利用數(shù)列的通項求和等等。 例 3． 已知等差數(shù)列 {an}的公差 d＝ 12 ， S100＝ 145．設(shè) S 奇 ＝ a1＋ a3＋ a5＋??＋ a99， S＇＝ a3＋ a6＋ a9＋??＋ a99，求 S 奇 、 S＇． 解： 依題意，可得 S 奇 ＋ S 偶 ＝ 145， 即 S 奇 ＋ (S 奇 ＋ 50d)＝ 145， 即 2 S 奇 ＋ 25＝ 145， 解得， S 奇 ＝ 120． 又由 S100＝ 145，得 (a1＋ a100)1002 ＝ 145，故得 a1＋ a100＝ S＇＝ a3＋ a6＋ a9＋??＋ a99 ＝ (a3＋ a99)332 ＝ (a2＋ a100)332 ＝ (＋ a1＋ a100)332 ＝ (＋ )332 ＝ 33＝． 說明：整體思想是求解數(shù)列問題的有效手段！ 例 4． 在數(shù)列 {an}中 ， a1＝ b(b≠ 0)， 前 n項和 Sn構(gòu)成公比為 q的等比數(shù)列。 （ 1）求證：數(shù)列 {an}不是等比數(shù)列； （ 2）設(shè) bn＝ a1S1＋ a2S2＋ ?＋ anSn， |q|1，求??nlimbn。 解： （ 1）證明：由已知 S1＝ a1＝ b ∵ {Sn}成等比數(shù)列，且公比為 q。 ∴ Sn＝ bqn－ 1，∴ Sn－ 1＝ b qn－ 2(n≥ 2)。 當(dāng) n≥ 2時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ bqn－ 1－ bqn－ 2＝ b (q－ 1) qn－ 2 故當(dāng) q≠ 1時， an＋ 1an ＝ b(q－ 1) qn－ 1b(q－ 1) qn－ 2 ＝ q， 而 a2a1 ＝ b(q－ 1)b ＝ q－ 1≠ q，∴ {an}不是等比數(shù)列。 23 當(dāng) q＝ 1， n≥ 2時， an＝ 0，所以 {an}也不是等比數(shù)列。 綜上所述， {an}不是等比數(shù)列。 （ 2）∵ |q|1，由（ 1）知 n≥ 2， a2， a3， a4，?， an構(gòu)成公比為 q的等比數(shù) 列，∴ a2S2，a3S3， ? ， anSn是公比為 q2的等比數(shù)列。 ∴ bn＝ b2＋ a2S2 (1＋ q2＋ q4＋ ?＋ q2n－ 4) ∵ S2＝ bq， a2＝ S2－ S1＝ bq－ b ∴ a2S2＝ b2q(q－ 1) ∴ bn＝ b2＋ b2q(q－ 1) 1－ q2n－ 21－ q2 ∵ |q|1 ∴??nlimq2n－ 2＝ 0 ∴??nlimbn＝ b2＋ b2q(q－ 1) 11－ q2 ＝ b21＋ q 說 明： 1＋ q2＋ q4＋ ?＋ q2n－ 4 的最后一項及這個式子的項數(shù)很容易求錯，故解此類題時要細(xì)心檢驗。數(shù)列的極限與數(shù)列前 n 項和以及其他任何有限多個項無關(guān)，它取決于 n→∞時，數(shù)列變化的趨勢。 二、數(shù)列應(yīng)用題 例 5． (2022年全國理 )從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè) . 根據(jù)規(guī)劃，本年度投入 800萬元，以后每年投入將比上年減少 15 .本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為 400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加 14 。 (Ⅰ) 設(shè) n年內(nèi) (本年度為第一年 )總投入為 an萬元，旅游業(yè)總收入為 bn萬元 . 寫出 an， bn的表達(dá)式 (Ⅱ) 至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 ? 解： 第 1年投入 800萬元，第 2年投入 800(1 － 15 )萬元 ?? ， 54 第 n年投入 800(1 － 15 )n－ 1萬元 所以總投入 an＝ 800＋ 800(1－ 15 )＋ ?? ＋ 800(1 － 15 )n－ 1＝ 4000［ 1－ (45 )n］ 同理：第 1年收入 400 萬元，第 2年收入 400(1 ＋ 14 )萬元， ?? ， 第 n年收入 400(1 ＋ 14 )n－ 1萬元 bn＝ 400＋ 400(1 ＋ 14 )＋ ?? ＋ 400(1 ＋ 14 )n－ 1＝ 1600 ［ (54 )n－ 1］ (2)∴ bn－ an＞ 0， 1600［ (54 )n－ 1］－ 4000 ［ 1－ (45 )n］＞ 0 化簡得， 5( 45 )n＋ 2( 54 )n－ 7＞ 0 24 設(shè) x＝ (45 )n， 5x2－ 7x＋ 2＞ 0 ∴ x＜ 25 ， x＞ 1(舍 ) 即 (45 )n＜ 25 ， n≥5. 說明 ： 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點在過好三關(guān)： (1)事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容； (2)文理關(guān) ：將 “ 問題情景 ” 中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件； (3)數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實際意義的解答。 例 6． 某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進(jìn)行著頑強的斗爭，到 2022 年底全縣的綠化率已達(dá) 30%。從 2022年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的 16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的 4%又被沙化。 (1)設(shè)全縣面積為 1， 2022年底綠化面積為 a1＝ 310 ，經(jīng)過 n年綠化總面積為 an＋ 1 求證 an＋ 1＝ 425＋ 45 an (2)至少需要多少年 (年取整數(shù)， lg2＝ )的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到 60%？ (1)證明 ：由已知可得 an確定后， an＋ 1表示如下： an＋ 1= an(1－ 4%)＋ (1－ an)16% 即 an＋ 1=80% an +16%=45 an +425 (2)解 ：由 an＋ 1=45 an+425可得： an＋ 1－ 45 =45 (an－ 45 )=(45 )2(an－ 1－ 45 )=? =(45 )n(a1－ 45 ) 故有 an＋ 1＝－ 12 (45 )n＋ 45 ，若 an＋ 1≥ 35 ，則有－ 12 (45 )n＋ 45 ≥ 35 即 12 ≥ (45 )n－ 1 兩邊同時取對數(shù)可得－ lg2≥ (n－ 1)(2lg2－ lg5)＝ (n－ 1)(3lg2－ 1) 故 n≥ lg21－ 3lg2 ＋ 1＞ 4，故使得上式成立的最小 n∈ N＋ 為 5， 故最少需要經(jīng)過 5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到 60%. 三、 歸納、猜想 與 證明 例 7．已知數(shù)列 { an}滿足 Sn＋ an＝ 12 (n2＋ 3n－ 2)，數(shù)列 { bn}滿足 b1＝ a1， 且 bn＝ an－ an－ 1－ 1(n≥ 2). (1)試猜想數(shù)列 { an}的通項公式，并證明你的結(jié)論 。 解：（ 1） ∵ Sn＋ an＝ 12 (n2＋ 3n－ 2)， S1＝ a1，∴ 2a1＝ 12 (1＋ 31 － 2)＝ 1， ∴ a1＝ 12 ＝ 1－ 12 .當(dāng) n＝ 2時，有 12 ＋ 2a2＝ 12 (22＋ 32 － 2)＝ 4， ∴ a2＝ 74 ＝ 2－ 122 猜想，得數(shù)列 { an}的通項公式為 an＝ n－ 12n (2)若 ＝ b1＋ b2＋?＋ bn，求nn c??lim的值 . 25 當(dāng) n＝ 3時，有 12 ＋ 74 ＋ 3a3＝ 8， ∴ a3＝ 238＝ 3－ .123 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： ①當(dāng) n＝ 1時， a1＝ 1－ 12 ＝ 12 ，等式成立 . ②假設(shè) n＝ k時，等式 ak＝ k－ 12k 成立，那么 n＝ k＋ 1時， ak＋ 1＝ Sk＋ 1－ Sk＝ [(k＋ 1)2＋ 3(k＋ 1)－ 22 － ak＋ 1]－ [k2＋ 3k－ 22 － ak], .∴ 2 ak＋ 1＝ k＋ 2＋ ak， 2 ak＋ 1＝ k＋ 2＋ (k－ 12k )， ∴ ak＋ 1＝ (k＋ 1)－ 12k＋ 1 ，即當(dāng) n＝ k＋ 1時，等式也成立 . 綜上①、②知，對一切自然數(shù) n都有 an＝ n－ 12n 成立 . (2)∵ b1＝ a1＝ 12 ， bn＝ an－ an－ 1－ 1＝ [n－ 12n ]－ [(n－ 1)－ 12n－ 1 ]－ 1＝ 12n . ∴ ＝ b1＋ b2＋?＋ bn＝ 1－ (12 )n， ∴nn c??lim＝??nlim[1－ (12 )n]＝ 1. 例 8． 已知數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 2，對于任意的 n∈N ，都有 an＞ 0，且 (n＋ 1) an2＋ an an＋ 1－ n an＋ 12＝ {bn}滿足： bn＝ 2n－ 1＋ 1.. (Ⅰ) 求數(shù)列 {an}的通項 an以及它的前 n 項和 Sn； (Ⅱ) 求數(shù)列 {bn}的前 n項和 Tn； (Ⅲ) 猜想 Sn和 Tn的大小關(guān)系，并說明理由 . 解 ： (n＋ 1) an2＋ an an＋ 1－ n an＋ 12＝ an和 an＋ 1的二次齊次式，故可利用求根公式得到 an與 an＋ 1的更為明顯的關(guān)系式，從而求出 an ． (Ⅰ)∵a n＞ 0（ n∈ N） ，且 (n＋ 1) an2＋ an an＋ 1－ n an＋ 12＝ 0， ∴ ( n＋ 1)( anan＋ 1)2＋ ( anan＋ 1)－ n＝ 0． ∴ anan＋ 1＝－ 1或 anan＋ 1＝ nn＋ 1 ． ∵a n＞ 0（ n∈ N） ， ∴ anan＋ 1＝ nn＋ 1 ． ∴ ana1＝ anan－ 1 an－ 1an－ 2 an－ 2an－ 3?