【正文】 點(diǎn)評(píng)】 此題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．注意 △＞ 0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； x1， x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0）的兩根時(shí)， x1+x2= ， x1x2= ． 24．已知關(guān)于 x的方程 x2﹣ 2（ m+1） x+m2﹣ 3=0． （ 1）當(dāng) m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ （ 2）設(shè) x x2是方程的兩根，且（ x1+x2） 2﹣（ x1+x2）﹣ 12=0，求 m的值． 【考點(diǎn)】 根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程 因式分解法；根的判別式． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式 △ =b2﹣ 4ac＞ 0，建立關(guān)于 m的不等式，求出 m的取值范圍． （ 2）給出方程的兩根，根據(jù)所給方程形式，可利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到 x1+x2=2（ m+1），代入 且（ x1+x2） 2﹣（ x1+x2）﹣ 12=0，即可解答． 【解答】 解：（ 1） ∵ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴△ =b2﹣ 4ac=[﹣ 2（ m+1） ]2﹣ 41（ m2﹣ 3） =16+8m＞ 0， 解得： m＞﹣ 2； （ 2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得： x1+x2=2（ m+1）， ∵ （ x1+x2） 2﹣（ x1+x2）﹣ 12=0， ∴ [2（ m+1） ]2﹣ 2（ m+1）﹣ 12=0， 解得： m1=1或 m2=﹣ （舍去） ∵ m＞﹣ 2； ∴ m=1． 【點(diǎn)評(píng)】 根據(jù)方程的根的情況即可得到關(guān)于未知系數(shù)的不等式，轉(zhuǎn)化為結(jié)不等式的問(wèn)題，另外（ 2）把求未知系數(shù)的問(wèn)題，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可轉(zhuǎn)化為方程的問(wèn)題． 25．已知，下列 n（ n為正整數(shù)）個(gè)關(guān)于 x的一元二次方程： ①x2﹣ 1=0， ②x2+x﹣ 2=0， ③x2+2x﹣ 3=0， ④x2+3x﹣ 4=0， …， ?， … （ 1）上述一元二次方程的解為 ①x1=1， x2=﹣ 1， ②x1=1， x2=﹣ 2， ③x1=1， x2=﹣ 3， ④x1=1，x2=﹣ 4． （ 2）猜想：第 n個(gè)方程為 x2+（ n﹣ 1） x﹣ n=0，其解為 x1=1， x2=﹣ n． （ 3）請(qǐng)你指出這 n個(gè)方程的根有什么共同的特點(diǎn)（寫出一條即可）． 【考點(diǎn)】 一元二次方程的解． 【分析】 （ 1）用十字相乘法因式分解可以求出它們的根． （ 2）由（ 1）找出規(guī)律，寫出方程，解方程求出方程的根． （ 3）根據(jù)（ 1）、（ 2）可以寫出它們的共同特點(diǎn) ． 【解答】 解：（ 1） ①（ x+1）（ x﹣ 1） =0， ∴ x1=1， x2=﹣ 1． ②（ x+2）（ x﹣ 1） =0， ∴ x1=1， x2=﹣ 2． ③（ x+3）（ x﹣ 1） =0， ∴ x1=1， x2=﹣ 3． ④（ x+4）（ x﹣ 1） =0， ∴ x1=1， x2=﹣ 4． （ 2）由（ 1）找出規(guī)律，可寫出第 n個(gè)方程為： x2+（ n﹣ 1） x﹣ n=0， （ x﹣ 1）（ x+n） =0， 解得 x1=1， xn=﹣ n． （ 3）這 n個(gè)方程都有一個(gè)根是 1； 另一個(gè)根是 n的相反數(shù)； a+b+c=0； b2﹣ 4ac=（ n+1）2；都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 兩個(gè)根異號(hào)． 故答案是：（ 1） ①x1=1， x2=﹣ 1． ②x1=1， x2=﹣ 2． ③x1=1， x2=﹣ 3． ④x1=1， x2=﹣ 4． （ 2） x2+（ n﹣ 1） x﹣ n=0； x1=1， x2=﹣ n． （ 3）這 n個(gè)方程都有一個(gè)根是 1； 另一個(gè)根是 n的相反數(shù)； a+b+c=0； b2﹣ 4ac=（ n+1）2；都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 兩個(gè)根異號(hào)． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是用因式分解法解方程，用十字相乘法因式分解求出方程的根，然后找出規(guī)律，寫出第 n個(gè)方程，求出第 n個(gè)方程的根，并寫出它們的共同特點(diǎn)． 26．如圖，學(xué)校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積 為 48m2的矩形花園．它的一邊靠墻，其余三邊利用長(zhǎng) 20m的圍欄．已知墻長(zhǎng) 9m，問(wèn)圍成矩形的長(zhǎng)和寬各是多少？ 【考點(diǎn)】 一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】 幾何圖形問(wèn)題． 【分析】 設(shè)寬為 xm，則長(zhǎng)為 m，然后根據(jù) 48平方米的長(zhǎng)方形即可列出方程，解方程即可解決問(wèn)題． 【解答】 解：設(shè)寬為 x m，則長(zhǎng)為 m． 由題意，得 x?=48， 解得 x1=4， x2=6． 當(dāng) x=4時(shí)， 20﹣ 24=12＞ 9（舍去）， 當(dāng) x=6時(shí)， 20﹣ 26=8． 答：圍成矩形的 長(zhǎng)為 8m、寬為 6m． 【點(diǎn)評(píng)】 此題是利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，解題關(guān)鍵是找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，從而找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程． 27．某商場(chǎng)銷售一批進(jìn)價(jià)為 120元的名牌襯衫，平均每天可銷售 20件，每件可盈利 40元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降 1元，每天就可多售出 2件襯衫．這種襯衫的單價(jià)應(yīng)降價(jià)多少元？才能使商場(chǎng)通過(guò)銷售這批襯衫平均每天盈利 1200元． 【考點(diǎn)】 一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】 銷售問(wèn)題． 【分析】 設(shè)襯衫的單價(jià)應(yīng)下降 x元．則每天可售出件，每件盈利（ 40﹣ x）元．再根據(jù)相等關(guān)系：每天的獲 利 =每天售出的件數(shù) 每件的盈利；列方程求解即可． 【解答】 解：設(shè)這種襯衫的單價(jià)應(yīng)降價(jià) x元， 根據(jù)題意，得 （ 40﹣ x） =1200， 解得： x1=10， x2=20． 答：這種襯衫的單價(jià)應(yīng)降價(jià) 10元或 20元，才能使商場(chǎng)平均每天盈利 1200元． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到題目的相等關(guān)系：每天的獲利 =每天售出的件數(shù) 每件的盈利是解答本題的關(guān)鍵． 28．如圖，在矩形 ABCD中， AB=6cm， BC=8cm，動(dòng)點(diǎn) P以 2cm/s的速度從點(diǎn) A出發(fā)，沿AC向點(diǎn) C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q以 1cm/s的速度從點(diǎn) C出發(fā)， 沿 CB向點(diǎn) B移動(dòng)，設(shè) P、 Q兩點(diǎn)移動(dòng) ts（ 0＜ t＜ 5）后， △ CQP的面積為 S cm2．在 P、 Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中， △ CQP的面積能否等于 ？若能，求出此時(shí) t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】 幾何圖形問(wèn)題． 【分析】 在矩形 ABCD中求出對(duì)角線 AC的長(zhǎng)度，然后表示出 CQ、 PC的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn) P作PH⊥ BC于點(diǎn) H，然后在 Rt△ PHC中表示出 PH的長(zhǎng)度，根據(jù)面積為 ，列方程求解． 【解答】 解：在矩形 ABCD中， ∵ AB=6cm， BC=8cm， ∴ AC=10cm， AP=2tcm， PC=（ 10﹣ 2t） cm， CQ=tcm， 過(guò)點(diǎn) P作 PH⊥ BC于點(diǎn) H， 則 PH= （ 10﹣ 2t） cm， 根據(jù)題意，得 t? （ 10﹣ 2t） =， 解得： t1=2， t2=3． 答： △ CQP的面積等于 ， t的值為 2或 3． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，表示出 CQ、 PC的長(zhǎng)度，求出三角形的面積，然后解方程．