【正文】 “吃一半虧，我也應(yīng)該得 50 元才對(duì)，怎么只得 38 元呢？ ” 鼴鼠寫(xiě)了一個(gè)算式： （ 1－ ） 20＋（ 1－ ） 80＝ 6＋ 56＝ 62（元）。 “你 1 千克蔥白吃虧 元， 20 千克吃虧 6 元； 1 千克蔥葉吃虧 元， 80 千克吃虧 56 元，合起來(lái)正好少賣(mài)了 62 元。 ” 老山羊掉頭就往回跑，看見(jiàn)狐貍正在賣(mài)蔥，每千克賣(mài) 2 元。老山羊二話(huà)沒(méi)說(shuō)，一低頭，用羊角頂住瘸腿狐貍的后腰，一直把他頂進(jìn)了水塘里。 舉世聞名的數(shù)學(xué)難題 “ 七大千年數(shù)學(xué)難 題 ” 之一的龐加萊猜想，是本次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)討論的焦點(diǎn)。其實(shí)，除了 “ 七大千年數(shù)學(xué)難題 ” 之外，數(shù)學(xué)史上還有一些有趣的數(shù)學(xué)難題給人留下深刻印象。 哥德巴赫猜想 提出者：德國(guó)教師哥德巴赫； 提出時(shí)間： 1742年； 內(nèi)容表述：任何一個(gè)大于 2的偶數(shù)都可以表示為 兩個(gè)素?cái)?shù)之和； 研究進(jìn)展：尚未完全破解。 費(fèi)馬大定理 提出者：法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬； 提出時(shí)間： 1637年； 內(nèi)容表述： x的 n次方加 y的 n 次方等于 z的 n次方，在 n是大于 2的自然數(shù)時(shí)沒(méi)有正整數(shù)解； 研究進(jìn)展：由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯 懷爾斯和他的學(xué)生理查 泰勒于 1995年成功證明。 四色猜想 提出者：英國(guó)學(xué)生格思里； 提出時(shí)間： 1852年； 內(nèi)容表述：每幅地圖都可以用 4種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色； 研究進(jìn)展：于 1976年被計(jì)算機(jī)驗(yàn)證。 女生散步問(wèn)題 提出者：英國(guó)數(shù)學(xué)家柯克曼； 提出時(shí)間： 1850年； 內(nèi)容表述：某學(xué)生宿舍共有 15 位女生，每天 3人一組進(jìn)行散步，問(wèn)怎樣安排，才能使每位女生有機(jī)會(huì)與其他每一位女生在同一組中散步，并恰好每周一次； 研究進(jìn)展：已獲證明。 七橋問(wèn)題 提出者：起源于普魯士柯尼斯堡鎮(zhèn)（今俄羅斯加里寧格勒）； 提出時(shí)間： 18世紀(jì)初； 內(nèi)容表述：一條河的兩條支流繞過(guò)一個(gè)島，有 7座橋橫跨這兩條支流，問(wèn)一名散步者能否走過(guò)每一座橋，而且每座橋只能走一次，就讓這名散步者回到原地。 數(shù)學(xué)隱修士佩雷爾曼 8 月 22 日，西班牙馬德里，當(dāng)西班牙國(guó)王卡洛斯一世在 3000 名世界一流的數(shù)學(xué)家面前頒發(fā)菲爾茨獎(jiǎng)?wù)聲r(shí)，獲獎(jiǎng)?wù)吒窭锔昀?佩雷爾曼在巨大的榮譽(yù)面前缺席了。 格里戈里 佩雷爾曼，這名 40 歲的俄羅斯圣彼得堡數(shù)學(xué)奇人并不是第一次拒絕榮譽(yù)和獎(jiǎng)項(xiàng) ——1995 年，他拒絕 斯坦福大學(xué)等一批美國(guó)著名學(xué)府的邀請(qǐng)； 1996 年，他拒絕接受歐洲 數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)頒發(fā)的杰出青年數(shù)學(xué)家獎(jiǎng)。 “我想他是一個(gè)非傳統(tǒng)的人。他很討厭被卷入各種浮華和偶像崇拜。 ”哈佛大學(xué)的ArthurJaffe 說(shuō)。除了拒絕學(xué)術(shù)榮譽(yù)，佩雷爾曼似乎對(duì)金錢(qián)也不感興趣。 2022 年，美國(guó)克萊數(shù)學(xué)研究所篩選出了七大千年數(shù)學(xué)難題，并為每道題懸賞百萬(wàn)美元求解，龐加萊猜想是其中之一。 2022 年，在花了 8 年時(shí)間，終于攻克了這個(gè)足有一個(gè)世紀(jì)的古老數(shù)學(xué)難題后，佩雷爾曼并沒(méi)有將研究成果發(fā)表在正規(guī)雜志上，而只是將 3 份手稿粘貼到一家專(zhuān)門(mén)刊登 數(shù)學(xué)和物理論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學(xué)家。 “他把論文發(fā)到網(wǎng)上，簡(jiǎn)單地說(shuō) ?就是它 39。.”牛津大學(xué)教授 NigelHitchin 回憶說(shuō)。 “如果有人對(duì)我解決這個(gè)問(wèn)題的方法感興趣，都在那兒呢 —讓他們?nèi)タ窗伞?”佩雷爾曼博士說(shuō)， “我已經(jīng)發(fā)表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了。 ” 佩雷爾曼的做法讓克萊數(shù)學(xué)研究所大傷腦筋。因?yàn)榘凑者@個(gè)研究所的規(guī)矩，宣稱(chēng)破解了猜想的人需在正規(guī)雜志上發(fā)表并得到專(zhuān)家的認(rèn)可后，才能獲得 100 萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金。顯然，佩雷爾曼并不想把這 100 萬(wàn)美金補(bǔ)充到他那微薄的收入中去。 “我從沒(méi)見(jiàn)過(guò)他坐在加長(zhǎng)的豪華轎車(chē)?yán)?，手中揮舞著支票。這不是他的風(fēng)格。 ”牛津大學(xué)數(shù)學(xué)歷史學(xué)家 JeremyGray 說(shuō)。 對(duì)于佩雷爾曼，人們知之甚少。這位偉大的數(shù)學(xué)天才，出生于 1966 年 6 月 13 日，他的天分使他很早就開(kāi)始專(zhuān)攻高等數(shù)學(xué)和物理。 16 歲時(shí)，他以?xún)?yōu)異的成績(jī)?cè)?1982 年舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中摘得金牌。此外，他還是一名天才的小提琴家，桌球打得也不錯(cuò)。 從圣彼得堡大學(xué)獲得博士學(xué)位后，佩雷爾曼一直在俄羅斯科學(xué)院圣彼得堡斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所工作。上個(gè)世紀(jì) 80 年代末期，他曾到美國(guó)多所大學(xué)做博士后研究。 大約 10 年前，他回到斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所，繼續(xù)他的宇宙形狀證明工作。 證明龐加萊猜想讓佩雷爾曼很快曝光于公眾視野，但他似乎并不喜歡與媒體打交道。據(jù)說(shuō)，有記者想給他拍照，被他大聲制止；而對(duì)像《自然》、《科學(xué)》這樣聲名顯赫雜志的采訪(fǎng)，他也不屑一顧。 “我認(rèn)為我所說(shuō)的任何事情都不可能引起公眾的一絲一毫的興趣。 ”佩雷爾曼說(shuō)， “我不愿意說(shuō)是因?yàn)槲液芸粗刈约旱碾[私，或者說(shuō)我就是想隱瞞我做的任何事情。這里沒(méi)有頂級(jí)機(jī)密，我只不過(guò)認(rèn)為公眾對(duì)我沒(méi)有興趣。 ”他堅(jiān)持自己不值得如此的關(guān)注，并表示對(duì)飛來(lái)的橫財(cái)沒(méi)有絲毫的興趣。 2022 年，在發(fā)表了他的研究成果后不久，這位頗有隱者風(fēng)范的大胡子學(xué)者就從人們的視野中消失了。據(jù)說(shuō)他和母親、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且這個(gè)猶太人家庭很少對(duì)外開(kāi)放。對(duì)此，他的朋友并不感到奇怪。 “他有一點(diǎn)使自己疏離于整個(gè)數(shù)學(xué)界。 ”牛津大學(xué)的 DuSautoy 教授說(shuō)， “他對(duì)金錢(qián)沒(méi)興趣。對(duì)他來(lái)說(shuō)，最大的獎(jiǎng)勵(lì)就是證明自己的理論。 ” 關(guān)于數(shù)學(xué)的兩則笑話(huà) 差別在此 方老師在數(shù)學(xué)課上問(wèn)阿細(xì)： “一半和十六分之八有何分別？ ”阿細(xì)沒(méi)有回答。方老師說(shuō)：“想一想，如果要你選擇半個(gè)橙和八塊十六分之 一的橙子，你要哪一樣？ ”阿細(xì)： “我一定要一半。 ”“為什么？ ”“橙子在分成十六分之一時(shí)已流去很多橙汁了，老師你說(shuō)是不是？ ” 兩個(gè)飯桶 某大隊(duì)小學(xué)女老師講課。頭一節(jié)課教 “1+1 等于幾？ ”講了很久，孩子們都沒(méi)聽(tīng)懂 .她就就叫一名男孩站上來(lái)，問(wèn)： “一個(gè)中國(guó)加一個(gè)湖南等于幾？ ”男孩莫名其妙答不出來(lái)。女教師操起教鞭狠敲講臺(tái)，提高聲音： “1 根教鞭加 1 張講臺(tái)等于幾？ ” 男孩依舊答不出。此時(shí)女教師用教鞭敲了他的腦殼一下： “飯桶，我加你等于幾 ?。?”男孩立時(shí)醒悟了，道： “兩個(gè)飯 桶。 ” 你沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)的計(jì)算方法 幾乘十幾： 口訣：頭乘頭，尾加尾，尾乘尾。 例： 1214=？ 解 : 11=1 2＋ 4=6 24=8 1214=168 注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用 0 占位。 ，尾互補(bǔ) (尾相加等于 10)： 口訣：一個(gè)頭加１后，頭乘頭，尾乘尾。 例： 2327=？ 解： 2+1=3 23=6 37=21 2327=621 注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用 0 占位。 ，另一個(gè)乘數(shù)數(shù)字相同： 口訣：一個(gè)頭加１后，頭乘頭，尾乘尾。 例： 3744=？ 解： 3+1=4 44=16 74=28 3744=1628 注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用 0 占位。 ： 口訣：頭乘頭，頭加頭，尾乘尾。 例： 2141=？ 解： 24=8 2+4=6 11=1 2141=861 ： 口訣：首尾不動(dòng)下落，中間之和下拉。 例： 1123125=？ 解： 2+3=5 3+1=4 1+2=3 2+5=7 2 和 5 分別在首尾 1123125=254375 注：和滿(mǎn)十要進(jìn)一。 ： 口訣：第二乘數(shù)首位不動(dòng)向下落，第一因數(shù)的個(gè)位乘以第二因數(shù)后面每一個(gè)數(shù)字，加下一位數(shù)，再向下落。 例： 13326=？ 解： 13 個(gè)位是 3 33+2=11 32+6=12 36=18 13326=4238 注：和滿(mǎn)十要進(jìn)一。 韓信點(diǎn)兵 我國(guó)漢代有位大將，名叫韓信。他每次集合部隊(duì)，只要求部下先后按 l～ 1～ 1～ 7報(bào)數(shù)，然后再報(bào)告一下各隊(duì)每次報(bào)數(shù)的余數(shù)，他就知道到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱(chēng)為 鬼谷算，也叫隔墻算，或稱(chēng)為韓信點(diǎn)兵，外國(guó)人還稱(chēng)它為 “中國(guó)剩余定理 ”。到了明代，數(shù)學(xué)家程大位用詩(shī)歌概括了這一算法，他寫(xiě)道： 三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝， 七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知。 這首詩(shī)的意思是：用 3 除所得的余數(shù)乘上 70，加上用 5 除所得余數(shù)乘以 21，再加上用7 除所得的余數(shù)乘上 15，結(jié)果大于 105 就減去 105 的倍數(shù)，這樣就知道所求的數(shù)了。 比如，一籃雞蛋，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)余 1，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)余 2，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)余 3，籃子里有雞蛋一定是 52 個(gè)。算式是： 170＋ 221＋ 315＝ 157 157－ 105＝ 52（個(gè)） 平方塔 這里有一座小小的寶塔，由四個(gè)完全平方數(shù)排列而成： 25=52， 625=252， 5625=752， 15625=1252. 這個(gè)寶塔的左邊，從下往上走，每一層的平方數(shù)劃掉最前面一位數(shù)字，就得到上一層的平方數(shù)。 下面是另外一座類(lèi)似的平方塔。 25=52， 225=152， 1225=352， 81225=2852. 還存在一些以 25 為塔頂?shù)钠椒剿?，你如果有興趣，很容易把它們找出來(lái)。 奇妙的 666 用 珠算做加法練習(xí)，常做的一道題目是： 1+2+3+4+…+36= ？ 為什么從 1 加到 36，而不是加到 30 或 50，或者其他整數(shù)呢？這是因?yàn)閺?1 加到 36 的得數(shù)容易記住，等于 666： 1+2+3+4+…+36=666. 666 還有一些其他美妙性質(zhì)，例如： （ 6+6+6） +（ 63+63+63） =666. 上面這個(gè)等式表明， 666 等于它的各位數(shù)字的和加上各位數(shù)字的立方和。 666 與它的各位數(shù)字之和的平方也有關(guān)系： （ 6+6+6） 2+（ 6+6+6） 2+（ 6+6+6） =666. 下 面的等式提供了 666 與前面 6 個(gè)自然數(shù)的聯(lián)系： 13+23+33+43+53+63+53+43+33+23+13=666. 一個(gè)更有趣的等式是： 22+32+52+72+112+132+172＝ 666. 式中的數(shù) 1 1 I7 都是質(zhì)數(shù)，而且是前面 7 個(gè)質(zhì)數(shù)。由此可見(jiàn)， 666等于前 7 個(gè)質(zhì)數(shù)的平方和。 8 的怪圈 很多人喜歡數(shù)字 8，因?yàn)?“八 ”和 “發(fā) ”的讀音相近。下面介紹幾個(gè)有關(guān) 8 的有趣等式： 83=512， 5+1+2=8； 183=5832， 5+8+3+2=18； 285=17210368， 1+7+2+1+0+3+6+8=28. 在上面這些等式里，利用了乘方記號(hào)。其中， 83 表示 3 個(gè) 8 連乘，讀成 8 的 3 次方；285 表示 5 個(gè) 28 連乘，讀成 28 的 5 次方；其余類(lèi)推。 2 次方簡(jiǎn)稱(chēng)為平方， 3 次方簡(jiǎn)稱(chēng)為立方。 計(jì)算面積和體積都離不開(kāi)乘方，特別是平方和立方。在競(jìng)賽題和各種算術(shù)趣題中，更是經(jīng)常要和乘方打交道。 數(shù)木塊 用一些同樣大小的方木塊，堆成圖 1 的形狀。數(shù)數(shù)看，這里共有多少木塊？ 觀(guān)察圖 1 木塊堆成的形狀，發(fā)現(xiàn)可以看成一個(gè) 4 級(jí)階梯。從下往上，最低的一級(jí)只有 1 塊木塊；第二級(jí)階梯由兩層木塊組成，每層 3 塊；第三級(jí)階梯有 3 層，每層 5 塊；第四級(jí) 4 層，每層 7 塊。所以木塊的總數(shù)是 1+32+53+74=50. 即：共有 50 塊方木塊。 上面的思考方法是用加法。還可以改用減法來(lái)解。 圖 1 的形狀，可以看成從一個(gè)每邊 4 塊木塊的大立方體里面挖去若干木塊 而得到的。最上面一層挖去的是一個(gè)每邊 3 塊的正方形，往下看第二層挖去每邊 2 塊的正方形，第三層挖去每邊 1 塊的正方形。所以實(shí)際留下的木塊數(shù)是 43322212=50. 兩種解法，得到完全相同的結(jié)果。 五色木塊比大小 有五個(gè)木塊，顏色分別是紅的、白的、黑的、綠的和紫的，大小各不相同。已知其中綠木塊比紅木塊小，黑木塊比紫木塊大但比綠木塊小，紫木塊比白木塊大，紅木塊比白木塊大。請(qǐng)按照從小到大的順序，把這幾塊木塊排成一行。 本題中的條件比較多，可以先把每個(gè)條件涉及的木塊一律按從小到大順序，各自排成一行， 然后匯總。 從條件得到： 綠＜紅， 紫＜黑＜綠， 白＜紫， 白＜紅。 綜合以上各個(gè)條件，得到： 白＜紫＜黑＜綠＜紅。 所以，五個(gè)木塊從小到大，順次是：白木塊，紫木塊，黑木塊，綠木塊，紅木塊。 解答本題的關(guān)鍵，先將雜亂的條件根據(jù)需要按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)整理。條理清晰了，問(wèn)題也就迎刃而解了。數(shù)學(xué)需要條理性，所以數(shù)學(xué)也特別能鍛煉人的條理性。 生活趣味數(shù)學(xué)題