【文章內(nèi)容簡介】 問題也很簡單?！稙貘f喝水》這篇文章你一定讀過。烏鴉發(fā)現(xiàn)瓶子里有水，但是瓶口太小，水面又太低，怎么辦呢？聰明的烏鴉發(fā)現(xiàn)周圍有小石子，于是銜來石子，放入瓶中。每放進一塊小石子，水面就會上升一次；投進的石子體積越大， 水面上升得就越高。這是因為投入的石子有 “體積 ”，要占據(jù)一定的空間，于是，它就把與它體積相等的水 “擠 ”上去。也就是說，被 “擠 ”上去的水的體積恰好等于投進石子的體積。 石頭的體積難以求出，那是因為它的形狀很不規(guī)則。如果我們能計算出被它 “擠 ”上去的水的體積，那么事情就好辦多了。只要我們用一個長方體器皿，就很容易算出被 “擠 ”出來的水的體積了。 假設這個長方體器皿底面是邊長 4 厘米的正方形，放入石頭后水面上升了 2 厘米，那么，石頭的體積是 442＝ 32（立方厘米）。到這里，你一定會高興地叫起來： “那我也會求雞蛋的體積了。 ” 烏鴉的聰明之處，在于它借助小石子，使瓶中的水面上升，從而喝到了它想喝的水。 人類的聰明之處，在于從烏鴉喝水想出了 “等量代換 ”的妙計。 1數(shù)學與音樂 音樂是心靈和情感在聲音方面的外化，數(shù)學是客觀事物高度抽象和邏輯思維的產(chǎn)物。那么，“多情 ”的音樂與 “冷酷 ”的數(shù)學也有關系嗎 ?我們的回答是肯定的。甚至可以說音樂與數(shù)學是相互滲透，互相促進的。 孔子說的六藝 “ 禮、樂、射、御、書、數(shù) ” ，其中 “ 樂 ” 指音樂， “ 數(shù) ” 指數(shù)學。即孔子就已經(jīng)把音樂與數(shù)學并列在一起。我國的七弦琴 (即古琴 )取 弦長 l， 7/8， 5/6， 4/5，3/4， 2/3， 3/5， 1/2， 2/5， 1/3， 1/4． 1/5， 1/6， 1/8得所渭的 13個徽位，含純率的 1度至 22 度，非常自然，足很理想的弦樂器。我國著名古琴家查阜西早就指出，要學好古琴，必須對數(shù)學有一定素養(yǎng)。 世界著名波蘭作曲家和鋼琴家肖邦很注意樂譜的數(shù)學規(guī)則、形式和結構，有位研究肖邦的專家稱肖邦的樂譜 “ 具有樂譜語言的數(shù)學特征 ” 。 數(shù)學的抽象美，音樂的藝術美．經(jīng)受了歲月的考驗，相互的滲透。如今，有了數(shù)學分析和電腦的顯示技術，眼睛也可辨別音律，成就是多么激動 人心啊 !對音樂美更深的奧秘至今還缺乏更合適的數(shù)學工具加以探究，還有待于音樂家和數(shù)學家今后的合作和努力。 1規(guī)矩與方圓 我國考古學者曾發(fā)掘出公元 2世紀漢朝的浮雕像，其中有女媧手執(zhí)規(guī)，伏羲手執(zhí)矩的圖像。在司馬遷所寫的《史記》中，也提到夏禹治水的時候 “ 左準繩（左手拿著準繩） ” ， “ 右規(guī)矩（右手拿著規(guī)矩） ” 。在甲骨文里，就發(fā)現(xiàn)有規(guī)和矩這兩個字。其中規(guī)字很像一個人手執(zhí)圓規(guī)在畫圖，矩字像兩個直角，可以說極盡象形文字之妙。 “ 規(guī) ” ，就是圓規(guī)，是用來畫圓的工具； “ 矩 ” 很像現(xiàn)在的直角尺，是用來畫方形的工具。正如俗話所說： “ 不以規(guī)矩不能成方圓。 ” 據(jù)數(shù)學史家考證，人類最早是用樹杈來畫圓的。這種原始圓規(guī)由于半徑固定不變，只能畫一種大小的圓。因為圓有許多重要的性質(zhì)，人類很早就認識了圓，使用了圓。 把車輪做成圓形的，是因為圓周上的點到圓心的距離相等，車子行駛起來平穩(wěn)；還因為圓輪在滾動時摩擦力小，車子走起來省力。 把碗和盆做成圓形的，一方面是圓形物體制作起來比較容易，又沒棱沒角不易損壞；另一方面是用同樣大小的材料作碗，數(shù)圓形的碗裝東西最多。 把桶蓋和下水道蓋做成圓形的，是因為圓形的蓋子，不管你怎樣蓋法都不會掉進里面去。而方形和橢圓形 的蓋子。蓋得不合適，就會掉進去。 有的拱形門和屋頂做成半圓形的，是因為圓形拱門抗壓能力強。 充滿數(shù)學的旅途 爸爸和聰聰一塊到一個城市旅游，他們來到長途汽車站。車出站沒多久，就已經(jīng)通過 9公里指示牌。爸爸指一指那匆匆后移的計程牌對聰聰說： “在你已經(jīng)看到的 1， 2， … ， 9 這 9 個數(shù)字中，任取 8 個隨意排列都可組成一個 8 位數(shù)。在這許許多多 8 位數(shù)中，有些能被 12整除，有些則不能。你能在所有那些可被 12 整除的 8 位數(shù)中寫出最大的和最小的嗎？ ” 聰聰起初感到無從下手，但冷靜一想，只用了一些算術知識就解決了。下面我們一塊 來看看聰聰?shù)慕鉀Q思路吧。 聰聰注意到以下 4 件事：第一，數(shù)被 12 整除的條件是它既被 3 整除，也被 4 整除；第二，數(shù)被 3 整除的條件是：它的各位數(shù)字之和被 3 整除；第三，數(shù)被 4 整除的條件是它的十位和個位所成的兩位數(shù)被 4 整除；第四，在 1， 2， … ， 9 這 9 個數(shù)碼中取定幾個用種種次序排列而組成的多位數(shù)，要求這個多位數(shù)最大，則大的數(shù)字應盡可能放在高位；反之，要求這個多位數(shù)最小，則小的數(shù)字應盡可能放高位。 由于 1， 2， … ， 9 這 9 個數(shù)字之和是 45，棄去 3， 6 或 9 以后所剩 8 個數(shù)字之和都可被3 整除。于是，棄去最小的 3，再從大到 小排列并調(diào)整最后兩位的位置，使之所成的兩位數(shù)能被 4 整除，即得符合爸爸要求的最大的 8 位數(shù) 98765412。類似地，棄去 9 再從小到大排列并使最后兩位所成的兩位數(shù)能被 4 整除，得到最小的 12345768。 某一天是星期幾 歷史上的某一天是星期幾？未來的某一天是星期幾？關于這個問題，有很多計算公式（兩個通用計算公式和一些分段計算公式），其中最著名的是蔡勒（ Zeller）公式。即 w=y+[y/4]+[c/4]2c+[26（ m+1） /10]+d1 公式中的符號含義如下， w：星期； c：世紀； y：年（兩位數(shù)）； m：月（ m大于等于 3，小于等于 14，即在蔡勒公式中，某年的 2月要看作上一年的 1 14 月來計算，比如 2022年 1月 1日要看作 2022年的 13月 1日來計算）； d：日； [ ]代表取整，即只要整數(shù)部分。 相比于另外一個通用通用計算公式而言，蔡勒（ Zeller）公式大大降低了計算的復雜度。為節(jié)約篇幅，本文中對另外一個通用通用計算公式不作討論（讀者感興趣的話，可以參見杭州 14中網(wǎng)站上的相關內(nèi)容）。 不過，筆者給出的通用計算公式似乎更加簡潔（包括運算過程）?，F(xiàn)將公式列于其下： W=[y/4]+r（ y/7） 2r（ c/4） +m39。+d 公式中的符號含義如下， r （ ）代表取余，即只要余數(shù)部分； m39。是 m 的修正數(shù)，現(xiàn)給出 1至 12月的修正數(shù) 139。至 1239。如下：（ 139。， 10） =6；（ 239。， 339。， 1139。） =2；（ 439。， 739。） =5；539。=0； 639。=3； 839。=1；（ 939。， 1239。） =4（注意：在筆者給出的公式中， y為閏年時 139。=5； 239。=1）。其他符號與蔡勒（ Zeller）公式中的含義相同。 以 2049年 10月 1 日（ 100周年國慶）為例，分別用蔡勒（ Zeller）公式和筆者給出的公式進行計算，過程如下： 蔡勒（ Zeller）公式： w=y+[y/4]+[c/4]2c+[26（ m+1） /10]+d1 =49+[49/4]+[20/4]220+[26 （ 10+1） /10]+11 =49+[]+540+[] =49+12+540+28 =54 （除以 7余 5） 筆者給出的公式： w=[y/4]+r （ y/7） 2r（ c/4） +m39。+d = [49/4]+r （ 49/7） 2r（ 20/4） +1039。+1 =12+020+6+1 =19 （除以 7余 5） 即 2049 年 10月 1 日（ 100周年國慶）是星期 5。 你的生日（出生時、今年、明年）是星期幾？不妨試一試。 另外，用筆者給出的公式，只需稍加訓練 ，即可用心算（而用蔡勒公式進行心算是非 常困難的）。 若只具體到某一年來進行計算就更為簡單，比如說 2022 年，先用筆者給出的公式計算出前 3 項，不妨稱之為年修正數(shù)，簡記為 Y2022 39。=3，我們在計算 2022 年的某一天（比如說是六一兒童節(jié)）是星期幾時，直接將前 3項一次代入，則 w= Y202239。+6‘+1=3+3+1=7 （除以 7余 0），即 2022年 6月 1日是星期日。 順便給出未來幾年的年修正數(shù)： Y202239。=5； Y2022 39。=6； Y2022 39。=0； Y2022 39。=1； Y2022 39。=3； Y2022 39。=4； Y2022 39。= 3項自己計算。 不過，以上兩個公式都只適合于 1582年 10 月 15 日之后的情形（當時的羅馬教皇將愷撒大帝制訂的儒略歷修改成格里歷，即今天使用的公歷）。 比較： 蔡勒（ Zeller）公式 筆者所給公式 公式項數(shù) 7 5/4 運算次數(shù) 12（ 7次加減， 5次乘除） 9（ 4次加減， 4次乘除， 1次映射） /6 運算過程最大數(shù) 390 31 總項最大數(shù) 163 67 對 2月的處理 任何一年均要作特殊處理 僅閏才作特殊處理 2注釋：對于 20**年（包括 16**年， 24**年等），由于筆者所給公式的第 3項為 0，實際上在計算這些世紀時公式僅有 4項、相應地運算次數(shù)只有 6次。 貓捉老鼠 問題：如果 3 只貓在 3 分鐘內(nèi)捉住了 3 只老鼠，那么多少只貓將在 100 分鐘內(nèi)捉住 100只老鼠 ? 這是一個古老的趣題，常見的答案是這樣的：如果 3 只貓用 3 分鐘捉住了 3 只老鼠，那么它們必須用 1 分 鐘捉住 1 只老鼠。于是，如果捉 1 只老鼠要花去它們 1 分鐘時間，那么同樣的 3 只貓在 l00 分鐘內(nèi)將會捉住 100 只老鼠。 遺憾的是，問題并不那么簡單。剛才的解答實際上利用了某個假定，它無疑是題目中所沒有談到的。這個假定認為這 3 只貓把注意力全部集中于同一只老鼠身上，它們通過合作在1 分鐘內(nèi)把它捉住，然后再聯(lián)合把注意力轉向另 —只老鼠。 但是，假設 3 只貓換一個做法，每只貓各追捕 1 只老鼠，各花 3 分鐘把它們捉住。按照這種設想， 3 只貓還是用 3 分鐘捉住 3 只老鼠。于是，它們要花 6 分鐘去捉住 6 只老鼠，花9 分鐘捉住 9 只老鼠，花 99 分鐘捉住 99 只老鼠?，F(xiàn)在我們面臨著一個計算上的困難，同樣的 3 只貓究竟要花多長時間才能捉住第 100 只老鼠呢 ?如果它們還是要足足花上 3 分鐘去捉住這只老鼠，那么這 3 只貓得花 l02 分鐘捉住 102 只老鼠。要在 100 分鐘內(nèi)捉住 100 只老鼠──這是題目關于貓捉老鼠的效率指標，我們肯定需要多于 3 只而少于 4 只的貓，因此答案只能是需要 4 只貓，雖然這有點浪費。 顯然，對于 3 只貓是怎樣準確地計算貓捉老鼠這種行動的時間，這個趣題沒做任何交代。因此，如果允許答案不唯一，那么，答案可以是豐富多彩的， 3 只、 4 只、甚至更多。如果要求答案 唯一的話，這個問題的唯一正確答案是：這是一個意義不明確的問題，由于沒有更多關于貓是怎樣捕捉老鼠的信息，因此無法回答這個問題。 這個簡單的趣題啟示我們，在解答一個數(shù)學問題（也包括其他問題）前，一定要仔細領會題目所給出的全部信息，既不要曲解題義，也不要人為添加條件以迎合所謂的標準答案。當然這個趣題也給了我們一個有益的人生啟示 ──只有合作才能產(chǎn)生最佳的工作效益。 一杯豌豆 你常能看到豌豆，手里也常拿著一只玻璃杯，這兩樣東西的大小尺寸你一定都很清楚。 現(xiàn)在，設有一個玻璃杯，裝滿了豌豆。把一個個豆粒用線串接起來， 象項珠一樣。 如果把這根串有豆粒的線拉直，它大約會有多長？ 答案： 如果只憑眼力估量，很可能得不到正確的答案，也許還會錯得很厲害。得進行一下計算，哪怕是大略的計算也好。 豌豆粒的直徑約為 1／ 2厘米。在一立方厘米的立方體中可以至少容納 2x2x2＝ 8粒豌豆（如果壓緊，可能還會多些）一只容量為 250立方厘米的玻璃杯至少將能容納 8x250＝ 2022粒。如果把它們一個挨一個地穿到線上，所達長度將為： 1／ 2x2022＝ 1000 厘米，即 10 米之多！ 農(nóng)夫過河 從前，一個農(nóng)夫帶了一只狗，一只兔子和一棵青 菜，來到河邊，他要把這三件東西帶過河去。那兒僅有一只很小的舊船，農(nóng)夫最多只能帶其中的一樣東西上船，否則就有沉船的危險。 剛開始，他帶了菜上船，回頭一看，調(diào)皮的狗正在欺侮膽小的兔子。他連忙把菜放在岸上，帶著狗上船 ，但貪嘴的兔子又要吃鮮嫩的青菜，農(nóng)夫只好又回來。他坐在岸邊，看著這三件東西，靜靜地思索了一番，終于想出了一個渡河的辦法。小朋友，你知道農(nóng)夫是怎么做的嗎？ 答案分析 狗要咬兔子，兔子要吃青菜。所以，關鍵是要在渡河的任何一個步驟中，把兔子和狗，兔子和青菜分開，才能免受損失。 農(nóng)夫可以先帶兔子到對 岸，然后空手回來。第二步，帶狗到對岸，但把兔子帶回來。第三步，把兔子留下，帶菜到對岸，空手回來。最后，帶兔子到對岸。這樣三件東西都帶過河去了，一件也沒有遭受損失。 排座位 有人邀請了三對夫妻來吃午飯，安排大家（包括主人自己和妻子）圍繞圓桌就座時，想讓男女相間而又不使任何一位丈夫坐在自己妻子旁邊。 問：這樣就座可以有幾種方法？假如只注意各人座位的順序，而不把同樣順序但坐在不同地方