【正文】 =4水流速度 =8 千米 /時，逆流速度 =2水流速度 =4 千米 /時。 方法 方程法：設(shè)甲、丙兩港間距離為 X 千米，可列方程 X247。8+（ X－ 18） 247。4=12 解得 X=44。 方法 往返乙、丙所用時間 =1218247。8=39/4，從乙到丙順?biāo)脮r間是逆水的 1/2，順?biāo)叫袝r間 =39/41/3=13/4，則乙丙距離 =13/48=26，故所求距離 =18+26=44。 【題型特征】 核心公式：工作效率 工作時間 =工作量（常設(shè)為 “1”）。 【經(jīng)典例題】 一篇文章，甲乙兩人合譯，需 10 小時完成，乙丙合譯， 需 12 小時完成，現(xiàn)先由甲丙合譯 4 小時，剩下再由乙獨譯，需 12 小時完成，求乙單獨翻譯需多少小時？ 解析：方程法：設(shè)單獨完成甲需 a 小時，乙需 b 小時，丙需 c 小時。 4（ 1/a+1/c） +12/b=1, 1/a+1/b=1/10,1/b+1/c=1/12. b=15. 列表法： 甲 乙 丙 10 10 12 12 4 12 4 由表：甲 4 小時工作量 =丙 8 小時工作量，可知，相應(yīng)速度比 =2： 1故，甲工作 10 小時相當(dāng)于丙工作 20 小時。從而有， 乙 2 小時工作量 =丙 8 小時 工作量，可知，乙丙速度比 =4： 1,則丙工作 12 小時相當(dāng)于乙工作 3 小時，則乙單獨需 =12+3=15 小時。 【題型特征】 核心公式：溶液濃度 =溶質(zhì) /溶液 =溶質(zhì) /（溶質(zhì) +溶劑） 【經(jīng)典例題】 甲容器中有濃度為 4%的鹽水 150 克，乙容器中有某種濃度的鹽水若干，從乙中取出 450 克鹽水，放入甲中混合成濃度為 %的鹽水，那么乙容器中的濃度是多少？ 解析：法 方程法： 法 十字交叉法： 4% % 150 % ? =% % 450 2 把濃度為 20%、 30%和 50%的某溶液混合在一起，得到濃度為 36%的溶液 50 升。已知濃度為 30%的溶液用量是濃度為 20%的溶液用量的 2倍，濃度為 30%的溶液的用量是多少升？ 解析：法 方程法： 法 十字交叉法： 20% 14% /2 30% 36% 6% 50% 16% 50 /2 故有： 14%（ 50 /2） = 16%（ /2） + 6 %， =20。 【題型特征】 基本概念：成本、銷售價、利潤、 利潤率。 核心公式：利潤 =銷售價 成本 利潤率 =利潤 /成本 =（銷售價 成本） /成本 =銷售價 /成本 1。 銷售價 =成本 （ 1+利潤率） 成本 =銷售價 /（ 1+利潤率） 【經(jīng)典例題】 商店新進一批洗衣機，按 30%的利潤定價，售出 60%以后，打八折出售，這批洗衣機實際利潤的百分數(shù)是多少？ .【答案】 C。解析：先賣掉 60%收回的錢為 1（ 1+30%） 60%=78%，后賣掉 40%收回的錢為 1（ 1+30%） 80%（ 1－ 60%） =%，故實際利潤的百分數(shù)為 78%+%－ 100%=%。 ，每個可以獲得 45 元的利潤，現(xiàn)在按定價的八五折出售 8 個，按定價每個減價 35 元出售 12 個，所能獲得的利潤一樣。這種商品每個定價多少元？（ ） 【答案】 D。解析：每個減價 35 元出售可獲得利潤（ 45－ 35） 12=120元，則如按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤 120247。8=15 元，少獲得45－ 15=30 元，故每個定價為 30247。（ 1－ 85%） =200 元。 24. 牛吃草問題 【題型特征】 2022 年后的公務(wù)員考試中出現(xiàn)了一些較難的 “牛吃草 ”問題，這類題在理解上有一定的難度，但如果掌握了關(guān)鍵點，便較容易解答。 關(guān)鍵知識點： 草場原有的草量。 草場每天生長的草量； 牛每天吃的草量。 核心關(guān)系式： 牛吃草總量（牛頭數(shù) 時間） =原有草量 +新長出草量（每天長草量 時間） 總量的差 /時間差 =每天長草量 =安排去吃新草的牛的數(shù)量 原有草量 /安排吃原有草的牛的數(shù)量 =能吃多少天。 單位： 1 頭牛 1 天吃草 的量 【經(jīng)典例題】 一片牧草，可供 16 頭牛吃 20 天，也可以供 20 頭牛吃 12 天，那么 25 頭牛幾天可以吃完？ 解析：法 1（方程法），等量關(guān)系：原有草量相等。 設(shè)每頭每天吃草量為 “1”， 天吃完，每天長草量 162020 =201212 =25 , =8, =10. 法 2，速度差（追及問題），吃完草可以看著是牛追上草。 （牛吃草速度 草生長速度） 時間（天數(shù)） =原有草量 20（ 16 ） =12（ 20 ） = （ 25 ） , =8, =10. 法 3（利用基本關(guān)系式） 總量的差 /時間差 =每天長草量，（ 16202012） /（ 2012） =10； 原有草量 =牛吃草總量 新長出草量， 16202010=120； 25 頭牛分 10 頭吃每天長出的草，還剩 15 頭吃原有的草， 120/15=8天。 有一個水池，池底有泉水不斷涌出。用 5 臺抽水機 20 小時可將水抽完，用 8 臺抽水機 15 小時可將水抽完。如果 14 臺抽水機需多少小時可以抽完？（ ） 解析：泉水每小時涌出量為：（ 815－ 520） 247。（ 20－ 15） =4 份水； 原來有水量： 815415=60 份； 用 4 臺抽涌出的水量， 10 臺抽原有的水，需 60/10=6 小時。 25. 容斥問題 【經(jīng)典例題】 100 名員工進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中 58 人喜歡看球賽， 38 人喜歡看戲劇， 52 人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有 18 人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16 人，三種都喜歡看的有 12 人，則只喜歡看電影的有： A． 22 人 B． 28 人 C． 30 人 D． 36 人 （ 2022 年國家 A 類行測真題） 正確答案【 A】 解法 1：設(shè) A＝喜歡看球賽的人（ 58）， B＝喜歡看戲劇的人（ 38），C＝喜歡看電影的人（ 52），則有： A∩B＝既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人（ 18） B∩C＝既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人（ 16） A∩B∩C＝三種都喜歡看的人（ 12） A∪ B∪ C＝看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種（ 100） 根據(jù)公式： A＋ B＋ C＝ A∪ B∪ C＋ A∩B＋ B∩C＋ C∩A－ A∩B∩C C∩A＝ A＋ B＋ C－（ A∪ B∪ C＋ A∩B＋ B∩C－ A∩B∩C） ＝ 148－（ 100＋ 18＋ 16－ 12）＝ 26 所以，只喜歡看電影的人＝ C－ B∩C－ C∩A＋ A∩B∩C ＝ 52－ 16－ 26＋ 12＝ 22 【題型特征】 我們先來看一個例子，如果將 13 只鴿子放進 6 只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放 3 只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放 2只鴿子， 6 只鴿籠共放 12 只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了 3 只鴿子。這個例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理 2。 抽屜原理 1：將多于 n 件物品任意放到 n 個抽屜 中，那么知道有一個抽屜中的物品件數(shù)不少于 2 個。 抽屜原理 2：將多于 mn 件的物品任意放到 n 個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數(shù)不少于 m+1。 【經(jīng)典例題】 1. 一個布袋中有 40 塊相同的木塊，其中編上號碼 1， 2， 3， 4 的各有 10 塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有 3 塊號碼相同的木塊？ 解析：將 1， 2， 3， 4 四種號碼看成 4 個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有 3 件物品，根據(jù)抽屜原理 2，至少要有 42＋ 1=9（件）物品。所以一次至少要取出 9 塊木塊，才能保證其中有 3 塊號碼相同 的木塊。 2．在一個口袋中有 10 個黑球、 6 個白球、 4 個紅球，至少從中取出多少個球才能保證其中有白球？ A． 14 B． 15 C． 17 D． 18 解析：抽屜原理，最壞的情況是 10 個黑球和 4 個白球都拿出來了，最后第 15 次拿到的肯定是白球。 27. 排列組合問題 【題型特征】 加法原理：做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有m1 種不同的方法，在第二類辦法中有 m2 種不同的方法， …… ，在第 n類辦法中有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有： N=m1+m2+…+mn 種不同方法。 再看下面一道例題： 問題 2：由 A 村去 B 村的道路有 3 條，由 B 村去 C 村的道路有 2 條．從A 村經(jīng) B 村去 C 村，共有多少種不同的走法？ 乘法原理：做一件事，完成它可以有 n 個步驟，在第一個步驟中有m1 種不同的方法，在第二個步驟中有 m2 種不同的方法， …… ，在第 n個步驟中有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有： N=m1m2…mn 種不同的方法。 排列 從 n 個不同元素中，任取 m( )個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取 出 m 個元素的一個排列 1. 什么叫不同的排列？ //**元素和順序至少有一個不同 .// 2. 什么叫相同的排列？ //**元素和順序都相同的排列 .// 排列數(shù) 從 n 個不同元素中，任取 m 個元素的所有排列的個數(shù)叫做從 n 個元素中取出 m 元素的排列數(shù)，用符號 表示 . 其中 =n（ n1）（ n2） … （ nm+1） 例題：由數(shù)字 4 可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 組合 從 n 個不同元素種取出 m 個元素拼成一組，稱為從 n 個不同元素取出 m 個元素的一個組合 組合數(shù) 從 n 個不同元素中，任取 m 個元素的所有組合的個數(shù)叫做從 n 個元素中取出 m元素的組合數(shù)，用符號 表示 . 其中 = n（ n1）（ n2） … （ nm+1）/m! 組合數(shù)性質(zhì)： 二項式定理基礎(chǔ)知識： 【經(jīng)典例題】 1：某鐵路線上有 25 個大小車站，那么應(yīng)該為這條路線準(zhǔn)備多少種不同的車票 ( )。 A． 625 B． 600 C． 300 D． 450 解析：此題的關(guān)鍵是要分清到底屬于排列問題還是組合問題，此題要問有多少種不同的車票，在這里從甲地到乙地和從乙地到甲地（即往返票）是要準(zhǔn)備兩種車票的 ，故屬于排列問題，即 =600 種。相對應(yīng)的我們看下面這道題 2：從 6 名男生， 5 名女生中任選 4 人參加競賽，要求男女至少各 1名，有多少種不同選法？ A． 240 解析；此題中正面考慮情況比較多，采用間接法，至少 1 名的反面就是分別只選男生或者女生，故共有 =310 種 3． 6 個人站成一排，要求甲、乙必須相鄰，那么有多少種不同的排法？ A． 280 解析：將甲、乙 “捆綁 ”在一起，看做是一個人參與排列，注意甲乙本身 的順序（即甲在乙的左邊還是右邊），那么共有： =240 種。 10 臺電腦分配給 5 個村，每村至少一臺，那么有所少中不同的分配方法？ A． 126 解析： 10 臺電腦并成一排，內(nèi)部形成 9 個孔空，任意在這 9 個空中插入 4 個板，那么就把著 10 臺電腦分成了 5 部分，每一種插法就對應(yīng)一種分配方法，故有 =126 種方法 28. 簡單概率問題 【題型概述】 1. 隨機事件基本概念