【正文】 共有（） ? 析： 7 是最小的滿足條件的數。 9， 5， 4 的最小公倍數為 180，則 187 是第二個這樣的數，367， 547， 727， 907 共 5 個三位數。 ? 例：有一個年級的同學，每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每 5 人一排多 2 人，問這個年級至少有多少人？ ? 析：題目轉化為，一個數除以 9 余 5,除以 7 余 1，除以 5 除 2。第一步，從最大的數開刀，先找出除以 9 余 5 的最小數， 14。 ???? 第二步，找出滿足每 9 人一排多 5 人， 每 7 人一排多 1 人的最小的數。 14 除以 7 不余 1；再試 14+9 這個數， 23 除以 7 照樣不余 1；數取 14+9*4時， 50 除以 7 余 1，即滿足每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人的最小的數是， 50； ??? 第三步，找符合三個條件的。 50 除以 5 不余 2，再來 50+63（ 9， 7 的最小公倍數）＝ 123，除5 仍不余 2；再來， 50+126，不余 2；??當 50+63*4 時，余 2，滿足 3 個條件，即至少有302 個人。 ? 例：自然數 P 滿足下列條件： P 除以 10 的余數為 9， P 除以 9 的余數為 8， P 除以 8 的余數為 100P1000，則這 樣的 P 有幾個？ ? 析：此題可用剩余定理。但有更簡單的， P+1 是 10 的倍數 P+1 是 9 的倍數 P+1 是 8 的倍數 11000 內， 10， 9， 8 的公倍數為， 360,720，則 P 為 359,719。 *86＝？ 出現如 AB*AC=?，其中 B+C=10，計算結果為：百位數為 A(A+1)，十位 /個位數為： B*C。注：如果 B*C 小于 10，用 0 補足。如： 29*21,百位數為 2*3=6，個倍數為 1*9＝ 9，則結果為 609. 3,3 次根號下 5，哪個?。? 這類題，關鍵是用一個大次的根號包住兩個數。一個 是 2 次根號，一個是 3 次根號，則應該用 6 次根號包住它們。根號 3，可以化成 6 次根號下 27； 3 次根號下 5，可化為 6 次根號下25,則根號 3 大于 3 次根號下 5. 九．等差數列 ? 性質： （ 1）等差數列的平均值等于正中間的那個數（奇數個數或者正中間那兩個數的平均值（偶數個數） （ 2）任意角標差值相等的兩個數之差都相等，即 A(n+i)An=A(m+i)Am 例：｛ an｝是一個等差數列， a3＋ a7－ a10＝ 8， a11－ a4＝ 4，則數列前 13 項之和是： A3a10=A4A11=4 這道題應用這兩個性質 可以簡單求解。 因此 A7=8+4=12，而這 13 個數的平均值又恰好為正中間的數字 a7，因此這 13 個數的和為 ? 12 13=156 十．抽屜問題 解這類題的關鍵是，找出所有的可能性，然后用最不利的情況分析。 例：一個布袋中由 35 個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有 10 個，另外還有3 個藍色球、 2 個綠色球，試問一次至少取出多少個球 ,才能保證取出的球中至少有 4 個是同一顏色的球？ 析：最不利的情況是，取出 3 個藍色球，又取了 2 個綠色球，白、黃、紅各取 3 個，這個時候再取一個就有 4 個是同一顏色的球了。即?。?3+2+3*3+1＝ 15 個球。 例：從 4??、 12 這 12 個自然數中，至少任選幾個，就可以保證其中一定包括兩個數，他們的差是 7？ ?? ?重點 ?? 析 :考慮到這 12 個自然數中，滿足差為 7 的組合有， (12， 5)，（ 11， 4），（ 10， 3），（ 9， 2），（ 8， 1），共五種，還有 6,7 兩個數沒有出現過，則最不幸的情況就是，（ 12， 5）等都取了一個，即五個抽屜取了五個，還有 6,7 各取一個，再取一個就有兩個數差為 7 了，則取了5+2+1=8 個。 例：學校開辦了語文、數學、美術三個課外學習班，每個學生最多可 以參加兩個（可以不參加）。問：至少有多少名學生，才能保證有不少于 5 名同學參加學習班的情況完全相同 析：不同的情況有，都不參加、參加語文、參加數學、參加美術、參加語文和數學、參加語文和美術、參加數學和美術，最不幸的情況是， 4 組人都參加了這 7 項，共 28 項，這樣，再加入 1 人，即 29 人時，滿足題意。 ? 十一 .函數問題 這種題型，土方法就是找一個簡單的數代入。 X^3+Y^3=(x+y)(x^2xy+y^2) 1.???? 求值 例：已知 f(x)=x^2+ax+3,若 f(2+x)=f(2x)，則 f(2)是多少？ 析：既然 f(2+x)=f(2x)，當 x=2 時，方程成立，即 f(4)=f(0)，求得 a=4，得解。 例： f（ x*y） =f(x)*f(y)； f(1)=0,求 f(2022)=? 析： f(2022*1)=f(2022)*f(1)=0 例： f(x+1)= 1/f(x),f(2)=(2022)=? 析： f(3)=1/f(2)=1/2022， f(4)=1/1/2022=2022， f(5)=1/2022，則 f(2022)=1/2022 例： f(2x1)=4*X^22x,求 f(x) 析：設 2x1=u，則 x=u+1 / 2，則 f(u)=4* ((u+1)/2)^22*(u+1)/2 =u^2+u 所以 f(x)=x^2+x 例：某企業(yè)的凈利潤 y(單位： 10 萬元）與產量 x(單位： 100 萬件 )之間的關系為 y=x^2+4*x+1，問該企業(yè)的凈利潤的最大值是多少萬元？（ ） A． 10 B． 20 C． 30 D． 50 析： y=(x2)^2+5，則 y 最大值為 5。凈利潤為 50 萬元?？梢耘浞降摹? 例：某企業(yè)的凈利潤 y(單位： 10 萬元）與產量 x(單位： 100 萬件 )之間的關系為y=1/3x^3+x^2+11/3，問該企業(yè)的凈利潤的最大值是多少萬元？（ ? ） A 5? B 50 C 60 D70 析：這道題要求導，公式忘光了， y=1/3*3*x^2+2*x+0=0，解得 x=2，則代入 y 得 5。求導公式好像是 1/3x^3=3*(1/3)*x^2，常數為 0。不能配方的，極值試求導，不會做只能放棄。 十二、比賽問題 1. 100 名男女運動員參加乒乓球單打淘汰賽，要產生男女冠軍各一名，則要安排單打賽多少場？ ( ) 【解析】在此完全不必考慮男女運動員各自 的人數，只需考慮把除男女冠軍以外的人淘汰掉就可以了，因此比賽場次是 1002＝ 98(場 )。 2. 某機關打算在系統(tǒng)內舉辦籃球比賽，采用單循環(huán)賽制，根據時間安排，只能進行 21 場比賽，請問最多能有幾個代表隊參賽？ ( ) 【解析】根據公式，采用單循環(huán)賽的比賽場次＝參賽選手數（參賽選手數 1)/2，因此在21 場比賽的限制下，參賽代表隊最多只能是 7 隊。 3. 某次比賽共有 32 名選手參加，先被平均分成 8 組，以單循環(huán)的方式進行小組賽；每組前2 名隊員再進行淘汰賽，直到決出冠軍。請問，共需安排幾場比賽？ ( ) 【解 析】 根據公式，第一階段中， 32 人被平均分成 8 組，每組 4 個人，則每組單循環(huán)賽產生前 2 名需要進行的比賽場次是： 4（ 41)247。 2＝ 6(場 )， 8 組共 48 場；第二階段中，有 2 8＝ 16 人進行淘汰賽，決出冠軍，則需要比賽的場次就是：參賽選手的人數 1，即 15 場。最后，總的比賽場次是 48＋ 15＝ 63(場 )。 4. 某學校承辦系統(tǒng)籃球比賽，有 12 個隊報名參加，比賽采用混合制，即第一階段采用分 2組進行單循環(huán)比賽，每組前 3 名進入第二階段；第二階段采用淘汰賽，決出前三名。如果一天只能進行 2 場比賽，每 6 場需要休息一天，請問全 部比賽共需幾天才能完成？ ( ) 【解析】 根據公式，第一階段 12 個隊分成 2 組，每組 6 個人，則每組單循環(huán)賽產生前 2名需要進行的比賽場次是： 6（ 61)247。 2＝ 15(場 )， 2 組共 30 場；第二階段中，有 2 3＝ 6人進行淘汰賽，決出前三名，則需要比賽的場次就是：參賽選手的人數，即 6 場，最后，總的比賽場次是 30＋ 6＝ 36(場 )。 又，“一天只能進行 2 場比賽”，則 36 場需要 18 天；“每 6場需要休息一天”，則 36場需要休息 36247。 61＝ 5(天 )，所以全部比賽完成共需 18＋ 5＝ 23(天 )。 比賽賽制 在正規(guī)的大型賽 事中，我們經常聽到淘汰賽或者循環(huán)賽的提法，實際上這是兩種不同的賽制，選手們需要根據事前確定的賽制規(guī)則進行比賽。我們先談談兩者的概念和區(qū)別。 1. 循環(huán)賽：就是參加比賽的各隊之間，輪流進行比賽，做到隊隊見面相遇，根據各隊勝負的場次積分多少決定名次。 循環(huán)賽包括單循環(huán)和雙循環(huán)。 單循環(huán)是所有參加比賽的隊均能相遇一次，最后按各隊在全部比賽中的積分、得失分率排列名次。如果參賽選手數目不多，而且時間和場地都有保證，通常都采用這種競賽方法。 單循環(huán)比賽場次計算的公式為： 由于單循環(huán)賽是任意兩個隊 之間的一場比賽，實際上是一個組合題目，就是 C(參賽選手數， 2)，即：單循環(huán)賽比賽場次數＝參賽選手數（參賽選手數 1 )/2 ? 雙循環(huán)是所有參加比賽的隊均能相遇兩次，最后按各隊在兩個循環(huán)的全部比賽中的積分、得失分率排列名次。如果參賽選手數目少，或者打算創(chuàng)造更多的比賽機會，通常采用雙循環(huán)的比賽方法。 雙循環(huán)比賽場次計算的公式為：由于雙循環(huán)賽是任意兩隊之間比賽兩次，因此比賽總場數是單循環(huán)賽的 2 倍，即：雙循環(huán)賽比賽場次數＝參賽選手數（參賽選手數 1 ) 2. 淘汰賽：就是所有參加比賽的隊按照預 先編排的比賽次序、號碼位置，每兩隊之間進行一次第一輪比賽，勝隊再進入下一輪比賽，負隊便被淘汰，失去繼續(xù)參加比賽的資格，能夠參加到最后一場比賽的隊，勝隊為冠軍，負隊為亞軍。 ? 淘汰賽常需要求決出冠 (亞 )軍的場次，以及前三 (四 )名的場次。 決出冠 (亞 )軍的比賽場次計算的公式為：由于最后一場比賽是決出冠 (亞 )軍，若是 n 個人參賽，只要淘汰掉 n1 個人，就可以了，所以比賽場次是 n1 場，即：淘汰出冠 (亞 )軍的比賽場次＝參賽選手數 1； 決出前三 (四 )名的比賽場次計算的公式為：決出冠亞軍之后，還要在前 四名剩余的兩人中進行季軍爭奪賽，也就是需要比只決出冠 (亞 )軍再多進行一場比賽，所以比賽場次是 n 場，即：淘汰出前三 (四 )名的比賽場次＝參賽選手數。 第六部分、數字運算下 十三．其它問題 例：一項工作，甲單獨做需要 14 天，乙單獨做需要 18 天，丙丁合做需要 8 天。則 4 人合作需要（ ）天？ A、 4? B、 5? C、 6? D、 7 析：丙丁合做需要 8 天，則丙丁平均效率 16 天，這里最差的 18 天，則四人做最差也只要 天，則選 4。 例：一項工作由編號為 1～ 6 的工作組來單獨完成，各自完 成所需的時間是： 5 天， 7 天， 8天， 9 天， 天， 18 天?，F在將這項工作平均分配給這些工作組來共同完成。則需要（ ）天？ A、 ?? B、 3?? C、 ?? D、 6 析：平均分配給這些人做，則每人做 1/6，需要的天數由最差效率的人決定。則需 1/6 / 1/18 =3 母親現在的年齡個位數跟十位數對調就是女兒的年齡。再過 13 年 母親的年齡就是女兒年齡的 2 倍。則母親年齡是（ ） A、 52? B、 42? C、 41? D、 44 析：此題不用列方程，直接代入即可。另一種方法 是，母親現在的年齡加上 13 是偶數，則現在年齡是奇數。 頁碼里含有多少個 2? 析： 1－ 99 里有 20 個 2， 100－ 199 有 20 個 2。 0－ 999 中，除了 200299 有 100+20 個 2 以外，每 100 都有 20 個 2，則 0－ 999 共有 2： 120+9*20＝ 300 同理： 3000－ 3999 也有 300 個 2 考慮 20222999，因為 0999 含有 300 個 2，這 1000 個數里，每個數其實都多加了一個 2，則應該含有 1000+300 個 2。 則共有 2:1300+300+300。 一般地： 001－ 099 有 20 個 N（ N 表示 1－ 9 的任何數） 100－ 199 有 20 個 N（ N 不能等于 1) 200－ 299 有 20 個 N（ N 不能等于 2） ?? 0000－ 0999 有 300 個 N， 1000－ 1999 有 300 個 N（ N 不能等于 1） 2022－ 2999 有 300 個 N（ N 不能等于 2） ?? 00000－ 09999 有 4000 個 N 10000－ 19999 有 4000 個 N（ N 不能等于 1） 100000－ 199999 有 500