【正文】 (1 10% ) x a x? ? ? ? ?． 2 年后的住房面積為 22( ) ( 1 10% ) ( 1 )a x x a x x a x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 3 年后的住房面積為 2 3 2 3 2( 1 .1 1 .1 ) ( 1 1 0 % ) 1 .1 1 .1 1 .1 1 .1 ( 1 1 .1 1 .1 )a x x x a x x x a x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …… 10 年后的住房面積為 1 0 2 9101 .1 (1 1 .1 1 .1 1 .1 )1 (1 1 .1 )2 .61 1 .12 .6 1 6 .axaxax? ? ? ? ? ???? ? ???? 25 由題設(shè)得 16 x abb? ?? ，解得 132xa? ． （ 2）全部拆除舊住房還需 1 162 32aa??． 答：（ 1）每年拆除的舊住房面積為 2116am ． （ 2） 按此速度全部拆除舊住房還需 16 年 ． 另外：設(shè)今年為第一年，第 n 年年底的住房面積為 an， 由題意知 a1=, 當(dāng) n≥2時 an=， an10x=(an110x) ,∴ {an10x}為等比數(shù)列。 a1010x=(a110x)，同樣可以求解此題。 ７． （本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，且 nS ＝ 2 2( 1, 2 , 3 )nan= ，數(shù)列 {}nb 中， 1 1b= ，點 1( , )nnP b b+在直線 20xy + = 上． （ I） 求數(shù)列 { }{ },nnab的通項 na 和 nb ； (II) 設(shè) n n nc a b? ，求 數(shù)列 ??nc 的前 n 項和 nT ，并求滿足 167nT 的最大正整數(shù) n ． 解（ 1） 112 2 , 2 2 ,n n n nS a S a??? ? ? ? *1 2 , )n n nS S a n n N? ??又 － ＝ ， （ 12 2 ,0,n n nna a aa ?? ? ?? . ? ?*1 2 , ( 2 , ) ,n nna n n N aa ?? ? ? ? 即 數(shù) 列 是 等 比 數(shù) 列 。 1 1 1 1 1, 2 2 , 22 nna S a a aa ? ? ? ??? 　 　 即 ＝ ， 　 　 　 　　 11, ) 2 0n n n nP b b b b?? ??點 （ 在 直 線 xy+2=0 上 ， ＋ ＝ ? ?112 , 1 2 1n n n nb b b b b n?? ? ? ? ? ?即 數(shù) 列 是 等 差 數(shù) 列 ， 又 ＝ ， （ II） (2 1)2 ,nn?＝ 231 1 2 2 1 2 3 2 5 2 ( 2 1 ) 2 ,nn n nT a b a b a b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝ 2 3 1 12 1 2 3 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 3 ) 2 6n n nnnT n n T n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26 111116 7, 2 3 ) 2 6 16 7, ( 2 3 ) 2 16 14 ( 2 3 ) 2 16 0 5 ( 2 3 ) 2 44 816 7 4nnnnnnT n nn n n nn????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??即 ： （ 于 是當(dāng) 時 ， ＝ ， 當(dāng) 時 ， ＝ ，故 滿 足 條 件 T 的 最 大 正 整 數(shù) 為 ８．（本題滿分 12 分）甲、乙兩同學(xué)利用暑假到某縣進(jìn)行社會實踐，對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六年來的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查研究，得到如下兩個不同的信息圖： （ A）圖表明：從第 1 年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 1 萬只雞上升到第 6 年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 2 萬只雞： （ B）圖表明：由第 1 年養(yǎng)雞場個數(shù) 30 個減少到第 6 年的 10 個 . 請你根據(jù)提供的信息解答下列問題： （ 1）第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？ （ 2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？ 解：（ 1）設(shè)第 n 年的養(yǎng)雞場的個數(shù)為 na ，平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)雞 nb 萬只， 由圖（ B）可知： 1a =30， ,106 ?a 且點 ),( nan 在一直線上， ),6,5,4,3,2,1( ?n 所以， 。6,5,4,3,2,1,434 ??? nna n ?????????? 3 分 由圖（ A）可知： ,2,1 61 ?? bb 且點 ),( nbn 在一直線上， ),6,5,4,3,2,1( ?n 所以， 。6,5,4,3,2,1,5 4 ??? nnbn 22 ),(26 ba 個? = ? （萬只）， ?ba （萬只） 第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)是 26 個，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù) 是 萬只；???? 6 分 （ 2）由 )(,2,4131)49(5222m a x2 ??????? babannba nnnn 時當(dāng)（萬只）， 第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞 萬只 . ?????????? 12 分 ９．（本題滿分 14 分） 對于函數(shù) )(xf ，若存在 000 )(, xxfRx ?? 使 成立，則稱 )(0 xfx為 的不動點 .如果函數(shù) ),()( 2 Ncbcbx axxf ???? 有且只有兩個不動點 0， 2，且 ,21)2( ???f 27 （ 1）求函數(shù) )(xf 的解析式； （ 2）已知各項不為零的數(shù)列 1)1(4}{ ??nnn afSa 滿足，求數(shù)列通項 na ； （ 3）如果數(shù)列 }{na 滿足 )(,4 11 nn afaa ?? ? ，求證：當(dāng) 2?n 時，恒有 3?na 成立 . 解：設(shè) xcbx ax ???2 得： ,0)1( 2 ???? acxxb 由違達(dá)定理得：??????????????,102,102babc 解得 ,210????????cba 代入表達(dá)式cxcxxf??? )21()(2 ，由 ,211 2)2( ?????? cf 得 xxfbcNbNcc ?????? )(,1,0,3 則若又 不止有兩個不動點， ).1(,)1(2)(,2,2 2 ?????? xxxxfbc 于是 ??????????????? 5 分 （ 2）由題設(shè)得 ,2:1)11(2)1(4 22nnnnnn aaSaaS ????? 得 （ A） 且 2 1112:1,1 ??? ???? nnnn aaSnna 得代以 （ B） 由（ A） ? （ B）得： ,0)1)(()()(2 112 121 ???????? ???? nnnnnnnnn aaaaaaaaa 即 ,2:)(1,1 211111 aaaAnaaaa nnnn ????????? ?? 得代入以或 解得 01?a （舍去）或 11 ??a ；由 11 ??a ，若 ,121 ??? ? aaa nn 得 這與 1?na 矛盾， 11 ???? ?nn aa ，即 { }na 是以 ? 1 為首項， ? 1 為公差的等差數(shù)列， nan ??? ； ???????????????????????? 10 分 （ 3）證法（一）：運用反證法，假設(shè) ),2(3 ?? nan 則由（ 1）知22)(21 ???? n nnn aaafa ),2(,143)211(21)111(21)1(2 11 Nnnaaaa aaa nnnn nnn ?????????????? ?? 即 ∴ 21 aaa nn ??? ? ? ，而當(dāng) ,3。33828 1622,2 1212 ????????? naa aan 時 這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立， ∴ 3na? .??????????????? 14 分 證法（二）：由2121)211(21,22)( 21211 ???????? ??? nnn nnnn aaa aaafa 得 得 1?na 0 或 ,30,0,2 111 ???? ??? nnn aaa 則若 結(jié)論成立； 28 若 1?na 2? ，此時 ,2?n 從而 ,0)1(2 )2(1 ??????? n nnnn a aaaa 即數(shù)列 { na } 在 2?n 時單調(diào)遞減，由 3222 ?a，可知 2,33222 ???? naa n 在上成立 .????????????????????????????????? 14 分 １０．（本題滿分 12 分） 數(shù)列 ??na 的通項公式 ).1()1)(1)(1()(*),()1( 1 3212 nn aaaanfNnna ???????? ?設(shè) （ 1）求： f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)的值； （ 2）由上述結(jié)果推測出計算 f(n)的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明 . 解：（ 1） ,432111)1( 21 ????? af ,649843)1)(1()( 21 ?????? aaf ,85161564)1)(1)(1()3( 321 ??????? aaaf .106252485)1)(1)(1)(1()4( 4321 ???????? aaaaf 。。。 4 分 （ 2）推測 .)!(2 2)( ??? nnnf下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng) n=1 時 ， ,43)11(2 21)1( ????f ∴等式成立 .②假設(shè) n=k+1 時等式成立∴即 ,)1(2 2)( ??? kkkf則 。6 分 ②當(dāng) n=k+1 時，有221 )2( )3)(1()1(2 2])2( 11[)1(2 2)1()()1( ? ???????????????? ? k kkkkkkkakfkf k= ,]1)1[(2 2)1()2(2 3 ?? ????? kkkk當(dāng) n=k+1 時，當(dāng) n=k+1 時，等式)1(2 2)( ??? nnnf也成立，由①、②知對任意正整數(shù) n，)1(2 2)( ??? nnnf都成立 . 。。。 。。 12 分 11．（ 2022 湖南師大附中高考模擬題）已知二次函數(shù) ? ? 2f x ax bx c? ? ?經(jīng)過點 ? ?0,0 ，導(dǎo)數(shù)? ? 21f x x? ??，當(dāng) ? ?? ?*,1x n n n N? ? ?時， ??fx是整數(shù)的個數(shù)記為 na ． （ 1）求 a b c、 、 的 值； （ 2）求數(shù)列 ??na 的通項公式 （ 3）令12nnnb aa??，求 ??nb 的前 n 項和 nS 29 (18) 已知 { na }是公比為 q 的等比數(shù)列，且 231 , aaa 成等差數(shù)列 . （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）設(shè) { nb }是以 2 為首項， q 為公差的等差數(shù)列，其前 n 項和為 Sn，當(dāng) n≥ 2 時，比較 Sn與 bn的大小，并說明理由 .. 解：（Ⅰ）由題設(shè) ,2,2 1121213 qaaqaaaa ???? 即 .012,0 21 ????? qq? .211 ??? 或q （Ⅱ）若 .2 312 )1(2,1 2 nnnnnSqn ??????? 則 當(dāng) .02 )2)(1(,21 ??????? ? nnSbSn nnn時 故 .nn bS ? 若 .4 9)21(2 )1(2,21 2 nnnnnSqn ????????? 則 當(dāng) ,4 )10)(1(,21 ??????? ? nnSbSn nnn時 故對于 .,11。,10。,92, nnnnnn bSnbSnbSnNn ???????? ? 時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng) 14.（本題滿分 12 分） 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 *)(2 Nnansnn ??，且 12?a ， *)()12 11( 1 Nnaab nnn ???? ?。（ 1）求數(shù)列 ??na 的通項次式；（ 2）已知定理：若函數(shù) )(xf 在區(qū)內(nèi) D 上是凹函數(shù)，且 )(xf 存在，則當(dāng) ),( Dyxyx ?? 時，總有 )()()( xfyx yfxf ????且函數(shù)*)(1 Nnxy n ?? ? 在 ),0( ?? 上是凹函數(shù)，試判斷 nb 與 1?nb 的大小。（ 3）求證： 223 ?? nb 解：（ 1） 1?n 時， 021111 ???? aasa，又 3,12 ?? na ， 11 2 1 ?? ????? nnnnn anaanssa ∴211 ???? nnaann 從而 1...223211 ??????