【正文】 方程 2ax＋ b＝ 0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是 ( ) A． ? x∈ R， f(x)≤ f(x0) B． ? x∈ R， f(x)≥ f(x0) C． ?x∈ R， f(x)≤ f(x0) D． ?x∈ R， f(x)≥ f(x0) [答案 ] C [解析 ] ∵ f ′ (x)＝ 2ax＋ b， 又 2ax0＋ b＝ 0， ∴ 有 f ′ (x0)＝ 0 故 f(x)在點(diǎn) x0處切線斜率為 0 ∵ a＞ 0 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c ∴ f(x0)為 f(x)的圖象頂點(diǎn)的函數(shù)值 ∴ f(x)≥ f(x0)恒成立 故 C 選項(xiàng)為假命題，選 C. [點(diǎn)評(píng) ] 可以用作差法比較． 二、填空題 11．給出以下四個(gè)命題： ① 若 p∨ q 為真命題，則 p∧ q 為真命題． ② 命題 “ 若 A∩ B＝ A，則 A∪ B＝ B” 的逆命題． ③ 設(shè) a、 b、 c 分別是 △ ABC 三個(gè)內(nèi)角 A、 B、 C 所對(duì)的邊，若 a＝ 1， b＝ 3，則 A＝ 30176。是 B＝ 60176。的必要不充分條件． ④ 命題 “ 若 f(x)是奇函數(shù)，則 f(－ x)是奇函數(shù) ” 的否命題， 其中真命題的序號(hào)是 ________． [答案 ] ②③④ [解析 ] ①∵ p∨ q為真， ∴ p真或 q真，故 p∧ q不一定為真命題，故 ① 假． ② 逆命題：若 A∪ B＝ B，則 A∩ B＝ A， ∵ A∪ B＝ B， A? B， ∴ A∩ B＝ A，故 ② 真． ③ 由條件得， ba＝ sinBsinA＝ 3，當(dāng) B＝ 60176。時(shí)，有 sinA＝ 12，注意 ba，故 A＝ 30176。；但當(dāng) A＝30176。時(shí)，有 sinB＝ 32 ， B＝ 60176。，或 B＝ 120176。.故 ③ 真； ④ 否命題：若 f(x)不是奇函數(shù)，則 f(－ x)不是奇函數(shù)，這是一個(gè)真命題， 假若 f(－ x)為奇函數(shù)，則 f[－ (－ x)]＝－ f(－ x)，即 f(－ x)＝－ f(x)， ∴ f(x)為奇函數(shù)，與條件矛盾． 12． (文 )設(shè) P 是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意 a、 b∈ P，都有 a＋ b、 a－ b、 ab、ab∈ P(除數(shù) b≠ 0)，則稱 P 是一個(gè)數(shù)域．例如有理數(shù)集 Q是數(shù)域．有下列命題： ① 數(shù)域必含有 0,1 兩個(gè)數(shù)； ② 整數(shù)集是數(shù)域； ③ 若有理數(shù)集 Q? M，則數(shù)集 M 必為數(shù)域； ④ 數(shù)域必為無限集； 其中正確命題的序號(hào)是 ________． (把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上 ) [答案 ] ①④ [解析 ] 結(jié)合題設(shè)的定義，逐一判斷，可知 ①④ 正確． (理 )設(shè) P 是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意 a、 b∈ P，都有 a＋ b、 a－ b、 ab、 ab∈P(除數(shù) b≠ 0)，則稱 P 是一個(gè)數(shù)域．例如有理數(shù)集 Q是數(shù)域；數(shù)集 F＝ {a＋ b 2|a， b∈ Q}也是數(shù)域．有下列命題： ① 整數(shù)集是數(shù)域； ② 若有理數(shù)集 Q? M，則數(shù)集 M 必為數(shù)域； ③ 數(shù)域必為無限集； ④ 存在無窮多個(gè)數(shù)域． 其中正確命題的序號(hào)是 ________． (把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上 ) [答案 ] ③④ [解析 ] ① 整數(shù) a＝ 2， b＝ 4， ab不是整數(shù)； ② 如將有理數(shù)集 Q，添上元素 2，得到數(shù)集 M，則取 a＝ 3， b＝ 2， a＋ b?M； ③ 由數(shù)域 P的定義知，若 a∈ P， b∈ P(P中至少含有兩個(gè)元素 )，則有 a＋ b∈ P，從而 a＋2b， a＋ 3b， ? ， a＋ nb∈ P， ∴ P中必含有無窮多個(gè)元素， ∴③ 對(duì)． ④ 設(shè) x 是一個(gè)非完全平方正整數(shù) (x1)， a， b∈ Q，則由數(shù)域定義知， F＝ {a＋ b x|a、 b∈Q}必是數(shù)域，這樣的數(shù)域 F有無窮多個(gè)． 13． (2022遼寧葫蘆島四校聯(lián)考 )設(shè)有兩個(gè)命題 ： p：不等式 ?? ??13 x＋ 4m2x－ x2 對(duì)一切實(shí)數(shù)x 恒成立； q： f(x)＝－ (7－ 2m)x是 R 上的減函數(shù)，如果 p 且 q 為真命題，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ________． [答案 ] (1,3) [解析 ] ∵ ?? ??13 x＝ 44,2x－ x2＝－ (x－ 1)2＋ 1≤ 1， ∴ 要使 ?? ??13 x＋ 4m2x－ x2對(duì)一切 x∈ R都成立，應(yīng)有 1m≤ 4；由 f(x)＝－ (7－ 2m)x在 R上是單調(diào)減函數(shù)得， 7－ 2m1， ∴ m3， ∵ p且 q為真命題， ∴ p真且 q真， ∴ 1m3. 14． (2022福建理 )已知定義域?yàn)?(0，＋ ∞ )的函數(shù) f(x)滿足： (1)對(duì)任意 x∈ (0，＋ ∞ )，恒有f(2x)＝ 2f(x)成立； (2)當(dāng) x∈ (1,2]時(shí)， f(x)＝ 2－ ： ① 對(duì)任意 m∈ Z，有 f(2m)＝ 0； ② 函數(shù) f(x)的值域?yàn)?[0，＋ ∞ )； ③ 存在 n∈ Z，使得 f(2n＋ 1)＝ 9； ④ “ 函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a， b)上單 調(diào)遞減 ” 的充要條件是 “ 存在 k∈ Z，使得 (a， b)? (2k,2k＋ 1)． 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ________． [答案 ] ①②④ [解析 ] 對(duì)于 ① ， f(2)＝ 0，又 f(2)＝ 2f(1)＝ 0， ∴ f(1)＝ 0，同理 f(4)＝ 2f(2)＝ 0， f(8)＝ 0?? f(1)＝ 2f(12)＝ 0， ∴ f(12)＝ 0， f(14)＝ 0?? 歸納可得，正確． 對(duì)于 ②④ 當(dāng) 1x≤ 2 時(shí)， f(2x)＝ 4－ 2x，而 22x≤ 4， ∴ 當(dāng) 2x≤ 4 時(shí)， f(x)＝ 4－ x 同理，當(dāng) 4x≤ 8 時(shí)， f(x)＝ 8－ x ?? ∴ 當(dāng) 2m－ 1x≤ 2m時(shí)， f(x)＝ 2m－ x，故 ② 正確， ④ 也正確． 而 ③ 中，若 f(2n＋ 1)＝ 9， ∵ 2n2n＋ 1≤ 2n＋ 1∴ f(x)＝ 2n＋ 1－ x， ∴ f(2n＋ 1)＝ 2n＋ 1－ 2n－ 1＝ 9， ∴ 2n＝ 10， ∴ n?Z，故錯(cuò)誤． 三、解答題 15．已知 c P：函數(shù) y＝ logcx 為減函數(shù)． 命題 Q：當(dāng) x∈ ?? ??12， 2 時(shí)，函數(shù) f(x)＝ x＋ 1x1c恒成立．如果 P 或 Q 為真命題， P 且 Q 為假命題，求 c 的取值范圍． [解析 ] 由 y＝ logcx為減函數(shù)得 0c1 當(dāng) x∈ ?? ??12， 2 時(shí)，因?yàn)?f ′ (x)＝ 1－ 1x2， 故函數(shù) f(x)在 ?? ??12， 1 上為減函數(shù)，在 (1,2]上為增函數(shù)． ∴ f(x)＝ x＋ 1x在 x∈ ?? ??12， 2 上的最小值為 f(1)＝ 2 當(dāng) x∈ ?? ??12， 2 時(shí)，由函數(shù) f(x)＝ x＋ 1x1c恒成立．得 21c，解得 c12 如果 P真，且 Q假，則 0c≤ 12 如果 P假，且 Q真，則 c≥ 1 所以 c的取值范圍為 (0， 12]∪ [1，＋ ∞ )． 16．給出下列命題： (1)p： x－ 2＝ 0， q： (x－ 2)(x－ 3)＝ 0. (2)p： m－ 2； q：方程 x2－ x－ m＝ 0 無實(shí)根． (3)已知四邊形 M， p： M 是矩形； q： M 的對(duì)角線相等． 試分別指出 p 是 q 的什么條件． [解析 ] (1)∵ x－ 2＝ 0? (x－ 2)(x－ 3)＝ 0； 而 (x－ 2)(x－ 3)＝ 0? / x－ 2＝ 0. ∴ p是 q的充分不必要條件． (2)∵ m－ 2? 方程 x2－ x－ m＝ 0 無實(shí)根； 方程 x2－ x－ m＝ 0 無實(shí)根 ? / m－ 2. ∴ p是 q的充分不必要條件． (3)∵ 矩形的對(duì)角線相等， ∴ p? q； 而對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形． ∴ q? / p. ∴ p是 q的充分不必要條件． 17． (文 )已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝ pn＋ q(p≠ 0，且 q≠ 1)，求數(shù)列 {an}成等比數(shù)列的充要條件． [解析 ] 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， a1＝ S1＝ p＋ q. 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ (p－ 1)pn－ 1， 由于 p≠ 0， q≠ 1， ∴ 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， {an}為公比為 p的等比數(shù)列． 要使 {an}是等比數(shù)列 (當(dāng) n∈ N*時(shí) )，則 a2a1＝ p. 又 a2＝ (p－ 1)p， ∴ ?p－ 1?pp＋ q ＝ p， ∴ p2－ p＝ p2＋ pq， ∴ q＝－ 1，即 {an}是等比數(shù)列的必要條件是 p≠ 0，且 p≠ 1，且 q＝－ 1. 再證充分性： 當(dāng) p≠ 0，且 p≠ 1，且 q＝－ 1 時(shí)， Sn＝ pn－ 1. 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， S1＝ a1＝ p－ 1≠ 0； 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ (p－ 1)pn－ 1. 顯然當(dāng) n＝ 1 時(shí)也滿足上式， ∴ an＝ (p－ 1)pn－ 1， n∈ N*， ∴ anan－ 1＝ p(n≥ 2)， ∴ {an}是等比數(shù)列． 綜上可知，數(shù)列 {an}成等比數(shù)列的充要條件是 p≠ 0， p≠ 1，且 q＝－ 1. (理 )(2022哈三中模擬 )已知函數(shù) f(x)＝ 12(x－ 1)2＋ lnx－ ax＋ a. (1)若 x＝ 2 為函數(shù)極值點(diǎn)，求 a 的值； (2)若 x∈ (1,3)時(shí)， f(x)0 恒成立，求 a 的取值范圍． [解析 ] (1)f ′ (x)＝ (x－ 1)＋ 1x－ a，由 f ′ (2)＝ 0 得， a＝ 32； (2)當(dāng) a≤ 1 時(shí)， ∵ x∈ (1,3)， ∴ f ′ (x)＝ ?? ??x＋ 1x － (1＋ a)≥ 2－ 2＝ 0 成立，所以函數(shù) y＝ f(x)在 (1,3)上為增函數(shù)， 對(duì)任意的 x∈ (1,3)， f(x)f(1)＝ 0，所以 a≤ 1 時(shí)命題成立； 當(dāng) a1 時(shí)，令 f ′ (x)＝ (x－ 1)＋ 1x－ a＝ 0 得， x＝ ?a＋ 1?177。 ?a＋ 1?2－ 42 ，則函數(shù)在 (0， ?a＋ 1?－ ?a＋ 1?2－ 42 )上為增函數(shù)， 在 (?a＋ 1?－ ?a＋ 1?2－ 42 ，?a＋ 1?＋ ?a＋ 1?2－ 42 )上為減函數(shù)， 在 (?a＋ 1?＋ ?a＋ 1?2－ 42 ，＋ ∞ )上為增函數(shù)， 當(dāng) a≤ 73時(shí)， 1≤ ?a＋ 1?＋ ?a＋ 1?2－ 42 ≤ 3， 則 f(1)f(?a＋ 1?＋ ?a＋ 1?2－ 42 )，不合題意，舍去． 當(dāng) a73時(shí)，函數(shù)在 (1,3)上是減函數(shù)， f(x)f(3)0，不合題意，舍去． 綜上， a≤ 1.