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清北學堂高中數(shù)學競賽試題-資料下載頁

2025-01-08 21:49本頁面
  

【正文】 1a =1, 2,?, 8,共 8 種;??;當 q=14 時, 1a =1,共 1 種. ∴ 取法共有11112234581222501420222022200 222 ????????????????????????????????? =?112= 評析:本題采用分類計數(shù)原理和窮舉法解決,是一道相對簡單的排列組合問題。關鍵是統(tǒng)計方法的確定和符合條件的等比 數(shù)列的決定要素的確定。 已知 整數(shù) tzy 、x 滿足 tzyx ??? ,且 13142222 ???? tzyx ,則 tzyx ???等于 24 . 解: ∵ )2221(22222 x xtxzxytzyx ??? ??????? , 顯然 括號內為奇數(shù), 又1314= 65721? , ∴ 1?x 且 656222 ??? ??? xtxzxy ;由于 412656 4 ?= ,可得4xy ? 且 4022 ?? ?? ytyz ,∴ 5?y ;同理可得 10t8,z ?? .∴ tzyx ??? =24. 評析:本題屬于數(shù)字技巧題,主要考查學生的觀察能力。難度不大。 從盛滿 a 升( a> 1)純酒精的容器里倒出 1 升,然后填滿水,再倒出 1 升混合溶液后又用水填滿,如此繼續(xù)下去.則第 n 次操作后溶液的濃度na?????? ?11 。 評析:此題為初中數(shù)學中的濃度配比問題。關鍵是明確濃度的概念,把握每次倒出并加水后的濃度計算。 已知 ? = arctan125 ,那么, 復數(shù) iiz ??? 239 2sin2c os ?? 的輻角主值是 4? 評析:本題為復數(shù)化簡及三角函數(shù)公式的運用。屬于基本題。 斜率為 1 的直線與橢圓 22 14yx ??交于 A、 B 兩點, P 為線段 AB 上的點,且 2APPB? . 則P 點的軌跡方程是 2)(5324 xyyx ???? )5( ?? xy 解 :設動點為 ),( yxP ?? ,則過 P 點 )( xyxy ????? . 代入橢圓方程 1422 ?? yx , 整理得: 04)()(25 22 ?????????? xyxxyx (※ ) 若直線 l 橢圓交于 ),( 11 yxA , ))(,( 2122 xxyxB ? ,則 21,xx 是方程 (※ )的兩個根 , 且 5 )(52)( 21 xyxyx ?????????? ① 5 )(52)( 22 xyxyx ?????????? ② 又 ∵ 2?PBAP , 21 xx? . ∴ 32 21 xxx ??? . 將 ① 、 ② 代入并整理得: 2)(5324 xyyx ???????? ( 5???? xy ) 評析:此題中解析幾何簡單綜合題。難度不大。 二 、 解答題: ( 14 分)已知 ABC? 滿足 AB+BC=3AC, I 為 ABC? 內心。內切圓與邊 AB, BC 的切點分別為 D, E。點 D, E 關于點 I 的對稱點分別為 K, L。證明: A、 C、 K、 L 四點共圓。 kMIHLDBECDA [證明 ] 作 ABC? 的外接圓。作 BI 延長線交外接圓于 P。取 AC 中點 M,連 PM, PA, PC,并過P 做 PH IK? ,垂足為 H。 ( 1)觀察 BDI? 和 PMC? ( 2) , 3B D B E D A E C A CA B B C A C? ? ??? ??? 2 , 2, , 21 1 1I A , ( ) ( )2 2 212,BD BE AC BD AC C MD BI M C P D I B M PC D I M PI AP A C AP A B AI P A B AI P I APAP PC PIPI K D I B M PC PI H M PC I H M P D IH I K PI PK PC PKPC PL? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??又 且連又是 中 點同 理 ?A、 C、 K、 L 是以 P 為圓心的圓上 4 點, ?A、 C、 K、 L 四點共圓。 評析:此題為平面幾何題。題目看似簡單,但需要較 復雜的輔助線添加才能完成。本題的關鍵是確定四點所共圓的圓心的位置,然后證明四點距圓心距離相等即可。 ( 15 分) 求出 ]31010[10020220? 的個位數(shù)字 。 【解】先找出 3101010020220? 的整數(shù)部分與分數(shù)部分 。 3101010020220? = 310 3310 3)10( 100202200 202202200 ???? 10 0 20 0 20 0 10 0 2 10 0 2 10 010 0 2 2 20 00 0 20 010 0 10 0 2 220 00 0 20 010020 0 10 010 0 10 020 00 0 20 00 0 20 0 20 00 0 10 0 20 0010 0 10 0 10 0( 10 ) 3 [ ( 10 ) ] ( 3 ) ,( 10 ) 3 | 10 310 3 | ( 10 ) 3 ,10 3.10 3391,10 3 10 310 10 3 10 9 10[]10 3 10 3 10 3? ? ?????????????? ? ?? ? ?知又知 是 整 數(shù)顯 然知0 5010081.10 3?? 其中分母的個位數(shù)字為 3,分子的個位數(shù)字為 9,故商的個位數(shù)字為 3。 評析:此題關鍵是把 3101010020220? 分成整數(shù)部分和小數(shù)部分。主要考查學生的變形能力。 ( 15 分) 設二次函數(shù) 2()f x ax bx c? ? ?滿足條件: ( 1) ( 1) 0f ?? , (1) 1f ? ; ( 2)當 xR? 時, ()f x x? ; ( 3)當 (0,2)x? 時, 2( 1)() 4xfx ?? 。 求 m 的取值 范圍,使得存在實數(shù) t,對 t, m 之間的每個 x 都有 ()f x t x??。 解 : ( 1 ) 0 , ( 1 ) 1 , ( ) ( ) ( 1 ) 0f f x f x x??? ? ? ? ? ? ? 可設 2( ) ( 1)x a x? ??,由 1( 1) 1, 4a? ? ? ?得 ,則 21( ) ( 1)4f x x??。 21( ) ( ) ( 1 ) 04g x f x t x x t x? ? ? ? ? ? ? ?,開口向上。 (1) 0g ? , 2( 2 ) 4 0 , ( 4 ) 0 , 4 0t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 0gm? , 2( ) ( 1 ) 4 0h t t m m? ? ? ? ? 求 h 的最小值。對于自變量 t 來說,其對稱軸為 ( 1)xm?? ? 。 若 3m? ,則 m i n22( 1 ) 4 , ( 4 ) 0( 3 ) 4 0 , 1 0 9 0 , 9m h hm m m m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?得 3 若 m in0 3 , ( ( 1 ) ) 4 0m h h m m? ? ? ? ? ? ? ? 若 0, ( ) 0m h t?? 綜上, [0,9]m? 評析:此題為二次函數(shù)問題,總是的關鍵是轉化為求極值問題。 二試 二、 (滿分 50 分) 已知 f x dx3( )=4x - 滿足:對任意的 x∈【 - 1, 1】,有 f x 1??-1 ( ) ,求實數(shù) d。 解: (1 ) | 4 | 1 3 5fd? ? ? ?= - d f | | 1 1 3d? ? ? ?1 1 1(- )= - + d -2 2 2 下面驗證 f x x3( ) =4x - 3滿足當 | | 1x? 有 | ( )| 1fx? 由 x∈【 - 1, 1】 ,不妨設 x= cosθ ,則 f x 3c os c os 3 [ ]? ? ???3( )= 4c os - -1 ,1 ∵ 2?f x 3 1 ( 1 ) ( 2 ) 0x x x? ? ??3( )+ 1 = 4 x - -1 2f x 3 1 ( 1 ) ( 2 ) 0x x x? ? ?3( )-1 = 4 x - - - 1 ∴當 | | 1x? 有 | ( )| 1fx? 。 評注 :① 31x ?34x - + -4+3 +1 =0 ( x= - 1 時) ∴ 3 1 ( 1) ( .. .. .. .)xx??34x -+ 31x34x-+ +3 1)x3 2 2=4x +4x -(4x - ( 1 ) x xx ?2=4x -( +1) (4 -1) ( 1)( 4 x 1)x ??2= 4x - 2( 1)(2 )xx??-1 ②找具體的實例 | | 1x? | ( )| 1fx? f( x)= x, 2f x 2x?( ) -1 , f x 3x3( )=4x - | | 1x? ? x= cosθ f x cos?( )= 2f x c os c os??( )=2 -1= 2 cos3? = cos( 2? +? ) = cos2? cos? - sin2? sin? = 2c os c os si n c os? ? ? ?2(2 -1) -2 = 2c
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