【正文】 x=ρcosθ， y=ρsinθ， ρ= ． 20．（ 10 分）（選做題）已知 a， b， c∈（ 0， +∞），且 ，求 a+2b+3c 的最小值及取得最小值時(shí) a， b， c 的值． 考點(diǎn) ： 一般形式的柯西不等式。 1587885 專題 ： 計(jì)算題。 分析： 利用柯西不等式，即可求得 a+2b+3c 的最小值及取得最小值時(shí) a， b， c 的值． 解答： 解：由于（ 5 分） 又 ， ∴ a+2b+3c≥18，當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c=3 時(shí)等號成立 當(dāng) a=b=c=3 時(shí)， a+2b+3c 取得最小值 18 （ 10 分） 點(diǎn)評： 本題考查求最小值，解題的關(guān)鍵 是利用柯西不等式進(jìn)行求解，屬于中檔題． 21．（ 12 分）設(shè)命題 p：函數(shù) 是 R 上的減函數(shù)，命題 q：函數(shù) f（ x） =x2﹣ 4x+3 在 [0， a]的值域?yàn)?[﹣ 1， 3]．若 “p 且 q”為假命題， “p 或 q”為真命題，求 a 的取值范圍． 考點(diǎn) ： 復(fù)合命題的真假。 1587885 專題 ： 計(jì)算題。 分析： 命題中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出 a 的范圍，對于命題 q，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出 a 的范圍，因?yàn)?“p且 q”為假命題， “p 或 q”為真命題，得 p、 q 中一真一假，然后再分類討論； 解答： 解：命題 p： ∵ 函數(shù) 是 R 上的減函數(shù)， 由 得 …（ 3 分） 命題 q： ∵ f（ x） =（ x﹣ 2） 2﹣ 1，在 [0， a]上的值域?yàn)?[﹣ 1， 3]得 2≤a≤4…（ 7 分） ∵ p 且 q 為假， p 或 q 為真 得 p、 q 中一真一假． 若 p 真 q 假得， …（ 9 分） 若 p 假 q 真得， ． …（ 11 分） 綜上， ＜ a＜ 2 或． ≤a≤4． …（ 12 分） 點(diǎn)評： 此題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，以及分類討論思想的應(yīng)用，另外計(jì)算量比較大要仔細(xì)計(jì)算； 22．（ 13 分）（ 2022?孝感）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本 萬元，此外每生產(chǎn) 1 百件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入 萬元，經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為 5 百件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為 t（百件）時(shí)，銷售所得的收入為 萬元． （ 1）該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為 x 百件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量 x 的函數(shù)為 f（ x），求f（ x）． （ 2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，當(dāng)年所獲得的利潤最大． 考點(diǎn) ： 分段函數(shù)的應(yīng)用；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。 1587885 專題 ： 應(yīng)用題。 分析： （ 1）分類討論： ①當(dāng) 0≤x≤5 時(shí)， ②當(dāng) x＞ 5 時(shí)，分別寫出函數(shù) f（ x）的表達(dá)式，最后利用分段函數(shù)的形式寫出所求函數(shù)解析式即可 ； （ 2）分別求出當(dāng) 0≤x≤5 時(shí)，及當(dāng) x＞ 5 時(shí)， f（ x）的最大值，最后綜上所述，當(dāng) x 為多少時(shí)， f（ x）有最大值，即當(dāng)年產(chǎn)量為多少件時(shí)，公司可獲得最大年利潤． 解答： 解（ I）當(dāng) 0＜ x≤5 時(shí)， f（ x） = ﹣（ +） = （ 2 分） 當(dāng) x＞ 5 時(shí)， ﹣（ +） = （ 4 分） ∴ （ 6 分） （ 2） 0≤x≤5 時(shí)， f（ x） =﹣ （ x﹣ ） 2+ ， ∴ 在 x= 時(shí)， f（ x）有最大值 萬元，（ 10 分） 當(dāng) x＞ 5 時(shí)， f（ x） =12﹣ x＜ 12﹣ 5＜ （ 12 分） 綜上所述，當(dāng) x= 時(shí)， f（ x）有 最大值，即當(dāng)年產(chǎn)量為 475 件時(shí)，公司可獲得最大年利潤（ 13 分） 點(diǎn)評： 本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，屬于基礎(chǔ)題．函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為 整個(gè)函數(shù)的最小值． 23．（ 15 分）（ 2022?天津）已知函數(shù) f（ x） =4x3+3tx2﹣ 6t2x+t﹣ 1， x∈R，其中 t∈R． （ Ⅰ ）當(dāng) t=1 時(shí)，求曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 0， f（ 0））處的切線方程； （ Ⅱ ）當(dāng) t≠0 時(shí)，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）證明：對任意的 t∈（ 0， +∞）， f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)． 考點(diǎn) ： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。 1587885 專題 ： 計(jì)算題。 分析： （ I）當(dāng) t=1 時(shí)，求出函數(shù) f（ x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出 x=0 處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程； （ II）根據(jù) f39。（ 0） =0，解得 x=﹣ t 或 x= ，討論 t 的正負(fù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式 fˊ（ x）＞ 0 和 fˊ（ x）＜ 0 求出單調(diào)區(qū)間即可； （ III）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分兩種情況討論，當(dāng) ≥1 與當(dāng) 0＜ ＜ 1 時(shí)， 研究函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的符號進(jìn)行判定對任意 t∈（ 0， 2）， f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)從而得到結(jié)論． 解答： 解：（ I）當(dāng) t=1 時(shí)， f（ x） =4x3+3x2﹣ 6x， f（ 0） =0 f39。（ x） =12x2+6x﹣ 6， f39。（ 0） =﹣ 6，所以曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 0， f（ 0））處的切線方程為 y=﹣ 6x． （ II）解： f39。（ x） =12x2+6tx﹣ 6t2， f39。（ 0） =0，解得 x=﹣ t 或 x= ∵ t≠0，以下分兩種情況討論： （ 1）若 t＜ 0，則 ＜﹣ t， ∴ f（ x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣ ∞， ），（﹣ t， +∞）； f（ x）的單調(diào)減區(qū)間是（ ，﹣ t） （ 2）若 t＞ 0，則 ＞﹣ t， ∴ f（ x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣ ∞，﹣ t），（ ， +∞）； f（ x）的單調(diào)減區(qū)間是（﹣ t，） （ III）證明：由（ II）可知，當(dāng) t＞ 0 時(shí)， f（ x）在（ 0， ）內(nèi)單調(diào)遞減，在（ ， +∞）內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論： （ 1）當(dāng) ≥1，即 t≥2 時(shí)， f（ x）在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞減． f（ 0） =t﹣ 1＞ 0， f（ 1） =﹣ 6t2+4t+3≤﹣ 13＜ 0 所以對于任意 t∈[2， +∞）， f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)． （ 2）當(dāng) 0＜ ＜ 1，即 0＜ t＜ 2 時(shí)， f（ x）在（ 0， ）內(nèi)單調(diào)遞減，在（ ， 1）內(nèi)單調(diào)遞增 若 t∈（ 0， 1]， f（ ） = +t﹣ 1≤ ＜ 0， f（ 1） =） =﹣ 6t2+4t+3≥﹣ 2t+3＞ 0 所以 f（ x）在（ ， 1）內(nèi)存在零點(diǎn)． 若 t∈（ 1， 2）， f（ ） = +t﹣ 1＜ +1＜ 0， f（ 0） =t﹣ 1＞ 0∴ f（ x）在（ 0， ）內(nèi)存在零點(diǎn)． 所以，對任意 t∈（ 0， 2）， f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)． 綜上，對于任意 t∈（ 0， +∞）， f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)． 點(diǎn)評： 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào) 性、曲線的切線方程、函數(shù)零點(diǎn)、解不等式等 基礎(chǔ)知識(shí)，考查了計(jì)算能力和分類討論的思想．