天津市靜?？h六校聯(lián)考高二下期中數(shù)學試卷(文)含解析-資料下載頁
2025-01-08 21:15本頁面
【正文】 R，命題 p：對任意 x∈[0， 1]，不等式 2x﹣ 2≥m2﹣ 3m 恒成立；命題 q：存在 x∈[﹣1， 1]，使得 m≤ax 成立 （ Ⅰ ）若 p 為真命題，求 m 的取值范圍； （ Ⅱ ）當 a=1，若 p 且 q 為假， p 或 q 為真，求 m 的取值范圍． （ Ⅲ ）若 a＞ 0 且 p 是 q 的充分不必要條件，求 a 的取值范圍． 【考點】 命題的真假判斷與應用． 【分析】 （ Ⅰ ）由對任意 x∈[0， 1]，不等式 2x﹣ 2≥m2﹣ 3m 恒成立，知 m2﹣ 3m≤﹣ 2，由此能求出 m 的取值范圍． （ Ⅱ ）由 a=1，且存在 x∈[﹣ 1， 1]，使得 m≤ax 成立，推導出命題 q 滿足 m≤1，由 p 且 q 為假， p 或 q 為真，知 p、 q 一真一假．由此能求出 a 的范圍． （ Ⅲ ）由 a＞ 0 存在 x∈[﹣ 1， 1]，使得 m≤ax 成立，知命題 q 滿足 m≤a，再由 p 是 q 的充分不必要條件，能求出 a 的范圍． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 對任意 x∈[0， 1]，不等式 2x﹣ 2≥m2﹣ 3m 恒成立 ∴ ， 即 m2﹣ 3m≤﹣ 2， 解得 1≤m≤2， 即 p 為真命題時， m 的取值范圍是 [1， 2]． （ Ⅱ ） ∵ a=1，且存在 x∈[﹣ 1， 1]，使得 m≤ax 成立 ∴ m≤1 即命題 q 滿足 m≤1． ∵ p 且 q 為假， p 或 q 為 真 ∴ p、 q 一真一假． 當 p 真 q 假時，則 ，即 1＜ m≤2， 當 p 假 q 真時， ，即 m＜ 1． 第 15 頁（共 18 頁） 綜上所述， m＜ 1 或 1＜ m≤2． （ Ⅲ ） ∵ a＞ 0 存在 x∈[﹣ 1， 1]，使得 m≤ax 成立， ∴ 命題 q 滿足 m≤a， ∵ p 是 q 的充分不必要條件， ∴ a≥2． 19．（ Ⅰ ）已知奇函數(shù) f（ x）的定義域為 [﹣ 2， 2]，且在區(qū)間 [﹣ 2， 0]上遞減，求滿足 f（ 1﹣ m） +f（ 1﹣ m2）＜ 0 的實數(shù) m 的取值范圍． （ Ⅱ ）已知 f（ x）為定義在 [a﹣ 1， 2a+1]上的偶函數(shù)，當 x≥0 時， f（ x） =ex+1，則 f（ 2x+1）＞ f（ +1）的 解 x 的取值范圍． 【考點】 奇偶性與單調(diào)性的綜合． 【分析】 （ Ⅰ ）由題意得奇函數(shù) f（ x）在定義域 [﹣ 2， 2]內(nèi)遞減，將 f（ 1﹣ m） +f（ 1﹣ m2）＜ 0 轉(zhuǎn)化為： f（ 1﹣ m）＜ f（ m2﹣ 1），再由單調(diào)性列出關(guān)于實數(shù) m 的不等式組，解不等式組即可得到實數(shù) m 的取值范圍． （ Ⅱ ）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出 a 的值，然和根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知當 x≥0 時，函數(shù)為增函數(shù)，再由偶函數(shù)圖象在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可得當 x≤0 時， f（ x）為減函數(shù)，則 f（ 2x+1）＞ f（ +1）可轉(zhuǎn)化為 |2x+1|＞ | +1|，解得 x 的取值范圍即可． 【解 答】 解：（ Ⅰ ） ∵ f（ x）的定義域為 [﹣ 2， 2]， ∴ ，解得﹣ 1≤m≤ ． ①… 又 f（ x）為奇函數(shù)，且在 [﹣ 2， 0]上遞減， ∴ f（ x）在 [﹣ 2， 2]上遞減， ∴ f（ 1﹣ m）＜﹣ f（ 1﹣ m2） =f（ m2﹣ 1） ?1﹣ m＞ m2﹣ 1，即﹣ 2＜ m＜ 1． ②… 綜合 ①②可知，﹣ 1≤m＜ 1… （ Ⅱ ）函數(shù)為偶函數(shù)，滿足﹣（ a﹣ 1） =2a+1?a=0， … 所以函數(shù)的定義域為 [﹣ 1， 1]， 當 x≥0 時， f（ x） =ex+1，所以函數(shù) f（ x）在 [0， 1]上單調(diào)遞增， 所以 f（ 2x+1）＞ f（ +1）滿足 f（ |2x+1|）＞ f（ | +1|）， … 所以不等式的解的取值范圍是 … ?﹣ 1≤x＜﹣ …． 第 16 頁（共 18 頁） 20．已知函數(shù) （ 1）求 f（ x）的值域； （ 2）設函數(shù) g（ x） =ax﹣ 2， x∈[﹣ 2， 2]，對于任意 x1∈[﹣ 2， 2]，總存在 x0∈[﹣ 2， 2]，使得 g（ x0） =f（ x1）成立，求實數(shù) a 的取值范圍． 【考點】 函數(shù)的值域；函數(shù)恒成立問題． 【分析】 （ 1）對于分段函數(shù)的值域問題要分段求解，然后再綜合即可得出 f（ x）的值域； （ 2）根據(jù)對于任意 x1∈[﹣ 2， 2]，總存在 x0∈[﹣ 2， 2]，使得 g（ x0） =f（ x1）成立，得到函數(shù) f（ x）在 [﹣ 2， 2]，上值域是 g（ x）在 [﹣ 2， 2]，上值域的子集，下面利用求函數(shù)值域的方法求函數(shù) f（ x）、 g（ x）在 [﹣ 2， 2]，上值域，并列出不等式，解此不等式組即可求得實數(shù) a 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1）當 當 當∴ （ 2） ①若 a=0， g（ x） =﹣ 2，對于任意 ②當 a＞ 0 時， g（ x） =ax﹣ 2 在 [﹣ 2， 2]是增函數(shù)， g（ x） ∈[﹣ 2a﹣ 2， 2a﹣ 2] 任給 若存在 x0∈[﹣ 2， 2]，使得 g（ x0） =f（ x1）成立 則 ③a＜ 0， g（ x） =ax﹣ 2 在 [﹣ 2， 2]是減函數(shù)， g（ x） ∈[2a﹣ 2，﹣ 2a﹣2]∴ 第 17 頁（共 18 頁） 綜上，實數(shù) 第 18 頁（共 18 頁） 2022年 6月 14日
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