【正文】 慢程度。 切線的斜率是曲線上的縱坐標(biāo) y 對(duì)橫坐標(biāo) x 的變化率。 例 1（電流模型）設(shè)在 [ 0,t ]這 段時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電荷為 ??t? ，求 0t 時(shí)刻的電流 . 解：（ 1）若電流恒定 tQi ???? 時(shí)間電荷 （ 2）若電流不恒定，平均電流 ? ? ? ?t tQttQtQi ? ??????? 00 故 0t 時(shí)刻電流 ? ? ? ? ? ?00000 l i ml i m tttt dtdQt tQttQtQti ????? ????????? 例 2（細(xì)桿的線密度模型）設(shè)一質(zhì)量非均勻分布的細(xì)桿放在 軸x 上，在 [0， x ] 上的質(zhì)量 m 是 x 的函數(shù) ? ?xmm? ，求桿上 0x 的線密度。 解：如果細(xì)桿質(zhì)量分布是均勻的，則長度為 x? 的一段的質(zhì)量為 m? ，那么它的線密度為 xm???? 長度質(zhì)量? 反之，不能直接用此公式 . 利用導(dǎo)數(shù)定義的思想來求細(xì)桿的平均線密度，則 平均線密度 ? ? ? ?x xmxxmxm ? ??????? 00? 故 細(xì)桿在 0x 處的線密度，即 ? ? ? ? ? ? ? ?00000 0l i m xmdxdyx xmxxmx xxx ???? ???? ???? 例 3（邊際成本模型）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本。 解：設(shè)一產(chǎn)品產(chǎn)量為 x 單位時(shí)，總成本為 C=C（ x），稱 C（ x）為總成本函數(shù)，簡稱為總成本函數(shù)。當(dāng)產(chǎn)量由 x 變?yōu)? xx ?? 時(shí)，總成本函數(shù)改變量為 ? ? ? ?xCxxCC ????? 這時(shí)，總成本的平均變化率為 ? ? ? ?x xCxxCxC ? ?????? 它表示產(chǎn)量由 x 變到 xx ?? 時(shí)，在平均意義下的邊際成本。 當(dāng)總成本函數(shù) C（ x）可導(dǎo)時(shí)，其變化率 ? ? ? ? ? ?x xCxxCxCxC xx ? ??????? ???? 00/ l i ml i m 表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為 x 時(shí)的邊際成本，即邊際成本是總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。 例 4（化學(xué)反應(yīng)速度模型）在化學(xué) 反應(yīng)中一物質(zhì)的濃度 N 和時(shí)間 t 的關(guān)系為 N=N（ t）， 求：在 t 時(shí)刻物質(zhì)的瞬時(shí)反應(yīng)速度。 解： 當(dāng)時(shí)間以 t 變到 tt ?? 時(shí)，濃度的平均變化率為 ? ? ? ?t tNttNtN ? ?????? 令 0??t 時(shí)，該物質(zhì)在 t 時(shí)刻的瞬時(shí)反應(yīng)速度為： ? ? ? ? ? ?t tNttNtNtNtt ? ???????? ???? 00 l i ml i m 求導(dǎo)舉例 求導(dǎo)三步曲：（ 1）求增量 ? ? ? ?xfxxfy ????? （ 2）算比值 ? ? ? ?x xfxxfxy ? ?????? （ 3）定極限： xyyx ???? ?? 0lim 例 5 求函數(shù) cy? 的導(dǎo)數(shù)（ c 為常數(shù)） 解： （ 1） 0???? ccy （ 2） 0???xy （ 3） 0lim0 ????? xyx 即 0??c 即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于 0。 例 6 求函數(shù) xy sin? 的導(dǎo)數(shù) 解： （ 1） ? ?2s i n2c os2s i ns i n xxxxxxy ???????? ???????? （ 2）22s i n2c os2s i n2c os2 xxxxxxxxxy????????? ???????????? ????? （ 3） xxxxxxydxdyxx c o s22s i n)2c o s (l i ml i m 00 ????????????? 即 ? ? xcossin ?? 類似可得 ? ? xx sincos ??? 例 7 求函數(shù) ? ?的導(dǎo)數(shù)0,1,0l o g ???? xaaxy a 解： (1) ? ? ?????? ??????? xxxxxy aaa 1l ogl ogl og xxaxxxaxaxxxxxxxxxxxy????????? ????????????????? ????????? ????????? ??????1l o g11l o g1l o g1l o g1)2(11 (3) xxaxx xxxxyxy????? ?????? ???????? 1l o g1l i ml i m00 = axexa ln1log1 ? 即 ? ? axxa ln1log ?? 特別 ? ? xxea 1ln ??? 時(shí) 三、課堂練習(xí) 1. ? ? ?2sin ?? ? ? ?2ln ?? 2. P 42 習(xí)作題 4 四、小結(jié)新課 掌握用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三步曲，會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的變化率的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實(shí)際問題 . 五、布置作業(yè) P 61 習(xí)題三 5 選做： 4 課 題 ： 167。 求導(dǎo)法則 （一） 教學(xué)目的 ： 教學(xué)重點(diǎn) ： 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 教學(xué)難點(diǎn) ： 復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則 課 型 ： 講授課 課 時(shí) ： 2課時(shí) 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課 ？ ？ 思考： 函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)是否有相同的運(yùn)算法則呢？ 二、講授新課 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)的法則 定理 1 設(shè) 函數(shù) u=u(x)與 v=v(x)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，則 u(x)177。v(x),u(x)v(x), )0)(()( )( ?xvxv xu也在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且有以下法則： （ 1） ])()([ ?? xvxu = )()( xvxu ??? (2) ])()([ ?? xvxu = )()( xvxu? +u(x) )(xv? ,特別 ])([ ?xcu = )(xuc? (c 為常數(shù) ) (3) ).0)(()( )()()().(])( )([ 2 ?????? xvxv xvxuxvxuxv xu特別，當(dāng) u(x)=c (c 為常數(shù) )時(shí)， 有 )( )(])([ 2 xv xvcxvc ???? 例 1 設(shè) y= 。7s inln4c os ??? xxx 求 y? 解： )7(s i n)ln4()c os( ??????? ?xxxy = xxxxx ln4)( c o sc o s)( // ?? =xxxxx 4sin2c os ?? 例 2 求 y=tanx 的導(dǎo)數(shù)。 xxx xxxxxxxxxxy222222s e cc os1c os s i nc osc os)(c oss i nc os)(s i n)c oss i n()(t a n??????????????解： 小結(jié)：非弦函數(shù)先化弦 ? ? 。sectan 2 xx ?? 類似可得： ? ? xx 2csccot ??? 例 3 已知 y=sec x， 求 y? . 解 : .tans e cc oss i nc os )(c os)c os1()(s e c22 xxxxxxxxy ??????????(非弦函數(shù)化成弦函數(shù) ) 類似可得 : xxx co tcsc)(csc ??? 例 4 設(shè) f(x)= xxxcos1 sin? ,求 )(/ xf . 解 :2)c os1( )c os1(s i n)c os1()s i n()( x xxxxxxxf ? ??????? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxc o s1s i n)c o s1(c o s )1()c o s1(s i n)c o s1(s i nc o sc o s)c o s1(s i n)c o s1()s i n(s i n)c o s1)(c o s( s i n2222`2???????????????????? 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 : 思考：設(shè) y= 2)23( ?x ，如何求 /y ？ 1218)4129(])23[( 22 ?????????? xxxxy x ① y= 2)23( ?x 可看成由 23,2 ??? xuuy 復(fù)合而成。 又 12183)23(2323,2 ??????????????? xxuuyuuy xuxu? ② ?????? xux uyy 綜上所述，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) . 定理 如果 )(xu ?? 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，函數(shù) y=f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn) u 處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù))]([ xfy ?? 也在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且有xuuyxy dddddd ?? 或 )()(})]([{ / xufxf ?? ??? 證 設(shè)自變量 x 有增量 x? ，則相應(yīng)的中間變量 )(xu ?? 有增量 u? ，從而 )(ufy? 有增量 ,y? xuuyxy ????????? （ 0??u ） )(xu ??? 在 x 處可導(dǎo) )(xu ?? 在 x 處連續(xù)，可知 0??x 時(shí)，必有 0??u 又已知xux ddxux ????? ?? 0lim,0 ，dudyuyx ????? 0lim 則有 dxdududyxuuyxuuyxy xuxx ???????????????? ???????? 0000 l i ml i m)(l i ml i m 即 dxdududydxdy ?? 或 ? ? )()()]([ / xufxf ?? ???? 以上法則也可用于多次復(fù)合的情形。 例如：設(shè) )(),(),( xvvuufy ?? ??? 都可導(dǎo)，則 dxdvdvdududydxdy ??? 或記為? ? )()()())](([ // xvufxf ???? ????? 例 5 xy sin? 的導(dǎo)數(shù)。 分析： xy sin? 可看作 xuuy ?? ,sin 復(fù)合而成 解：22c os2 1c os)()(s i n xxuxudxdududydxdy ????????? 例 6 求 22 xay ?? 的導(dǎo)數(shù)。 分析：此函數(shù)可看作由 uy? 與 22 xau ?? 復(fù)合而成 解：2222 )2(21)()( xa xxuxaudxdududydxdy ????????????? 三、課堂練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （ 1） xxy ln.? （ 2） xxy ln? （ 3） 2ln323 234 ????? xxxxy （ 4） xy 2ln? （ 5） xy 3sin2? 四、小結(jié) 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。求復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟：第一步：分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。第二步：應(yīng)用公式，應(yīng)注意： （ 1）心目中一定要明確每一步是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)； （ 2）不要丟掉所有前變量對(duì)后變量的導(dǎo)數(shù)這個(gè)“尾巴” （ 3）最后要把所有中間變量換成自變量的函數(shù)； 五、布置作業(yè) 61P 習(xí)題三 8 選做： 10 課 題 ： 167。 求導(dǎo)法則（二） 教學(xué)目的 ： 熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)求導(dǎo)法則。 教學(xué)重點(diǎn) ： 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 教學(xué)難點(diǎn) ： 弄清復(fù)合的結(jié)構(gòu) 課 型 ： 講授課 課 時(shí) ： 2課時(shí) 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是什么？ 二、講授新課 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)舉例 例 7 求 2tanln xy? 的導(dǎo)數(shù)。 xxxxxxxxxxxxxxyc s cs i n1212c o s12s i n2c o s)2(2s e c2t a n1)2(2s e c2t a n1)